Simetrie (statistici)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Exemplu de date experimentale care arată asimetrie

În teoria probabilității, o distribuție a probabilității este simetrică atunci când funcția sa de probabilitate P (în cazul discret ) sau funcția sa de densitate a probabilității (în cazul continuu ) sunt simetrice față de o anumită valoare :

sau .

Exemple de distribuții simetrice sunt distribuții uniforme (distribuție continuă discretă și uniformă ) pe seturi simetrice, distribuția normală și alte distribuții derivate din distribuții simetrice (distribuția Student t ) sau definite simetric ( distribuția Skellam cu parametri egali).

Un indice de asimetrie (în engleză skewness) al unei distribuții este o valoare care încearcă să ofere o măsură a lipsei sale de simetrie.

Există mai mulți indici de asimetrie. Pentru fiecare dintre ele valoarea 0 oferă o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca o distribuție să fie simetrică. (Fiecare distribuție simetrică are index 0, dar există și distribuții nesimetrice cu index 0).

Indicii de asimetrie utilizați în mod obișnuit se bazează pe unele proprietăți ale distribuțiilor simetrice sau, în special, ale distribuției normale . Pentru toate acestea

Indicele de asimetrie

Cel mai folosit indicele, cunoscut doar ca indicele asimetria sau asimetrici, este definit ca

prin momentele centrale , adică valorile așteptate ale puterilor variabilei aleatorii centrate

Deoarece primul moment central este întotdeauna zero și al doilea moment central ( varianța ) este zero numai pentru distribuțiile concentrate pe o singură valoare, al treilea moment central este cea mai mică ordine care poate „spera” să măsoare asimetria unei distribuții. În plus, redimensionarea pentru permite indexarea să rămână neschimbat pentru transformări liniare care transformă momentele centrale precum

Este uneori folosit în locul indicele

care, însă, pierde informații despre semnul asimetriei.

În statistici, indicele de asimetrie calculat pe un eșantion observat in medie urmează formula

Următorul moment central în schimb este folosit pentru a calcula kurtosis (care vrea să „măsoare” distanța distribuției de distribuția normală).

Proprietate

Fiecare distribuție simetrică are un indice de asimetrie 0.

Suma din variabilele aleatoare variabilele independente cu aceeași distribuție au momente centrale în special

O credință greșită, dar răspândită (și „susținută” de unele texte care o raportează ca o regulă orientativă ) este că semnul coeficientului poate determina pozițiile reciproce ale valorii așteptate, mediană și modul (dacă acesta este unic) al unei distribuții, în special că acestea trebuie să coincidă dacă . [1]

Indicele Pearson

Unii indici alternativi de asimetrie pentru un eșantion statistic au fost propuși de Karl Pearson ; implică media ( valoarea așteptată ), mediana , modul și abaterea standard (rădăcina pătrată a varianței):

  • Asimetria modei lui Pearson
  • primul coeficient de asimetrie Pearson
  • al doilea coeficient de asimetrie Pearson

Este demn de remarcat faptul că, deoarece o asimetrie nu este legată de o relație de ordine între medie, mod și mediană, semnul acestor indici nu oferă informații cu privire la tipul de asimetrie (coadă la dreapta sau coadă la stânga medianei , asimetrie în dreapta sau în stânga).

Exemplu

Un exemplu de distribuție nesimetrică cu coeficient de asimetrie 0 este distribuția discretă

care poate fi vizualizat ca rulajul unei matrițe ale cărei șase fețe au numerele „-4, -4, 1, 1, 1, 5”.

Această distribuție nu este în mod clar simetrică, cu toate acestea are o valoare așteptată egală cu 0 (este centrată) și un al treilea moment central egal cu de aceea are indici de asimetrie

În exemplu, modul și mediana nu coincid cu media, dar acest lucru poate fi obținut prin adăugarea a încă 4 „fețe” cu o valoare de 0; în acest fel, de asemenea, indicii Pearson devin nuli, iar distribuția rămâne nesimetrică.

Notă

  1. ^ (EN) Paul T. von Hippel, Mean, Median, and Skew: Correction in Textbook Rule , în Journal of Statistics Education. Adus pe 21 martie 2010 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică