Sistem de ecuații

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Intersecția unui cerc și a unei linii drepte este descrisă cu un sistem

În matematică , un sistem de ecuații este un set de două sau mai multe ecuații care admit aceleași soluții.

De exemplu:

este un sistem cu două ecuații și două necunoscute care descrie intersecția unui cerc și a unei linii drepte în plan cartezian .

Definiție

Scrierea generică a unui sistem de ecuații în necunoscute este următoarea:

unde este ele exprimă funcțiile necunoscutelor.

Set de definiții

Întregul mediu este setul de valori pe care variabilele le pot asuma și este specificat a priori . În general, se presupune că variabilele sunt reale și funcțiile au sens pentru fiecare valoare din mediul stabilit. Adesea setul de mediu este determinat a posteriori prin evaluarea pentru care valori reale are sens sistemul (evaluând astfel setul său definitoriu ). De exemplu, sistemul

are sens pentru orice pereche de numere reale cu .

În mod formal, setul de mediu este deci un subset al spațiului euclidian , unde este este numărul necunoscutelor.

În general, sistemele pot fi, de asemenea, studiate cu variabile nereale: pot fi complexe , de exemplu, sau mai în general aparțin unui anumit inel sau câmp .

Rezolvați un sistem

Rezolvarea unui sistem înseamnă determinarea întregului dintre valorile care, înlocuite cu variabilele, verifică toate ecuațiile. Întregul este un subset al setului de mediu și se numește setul de soluții ; fiecare dintre elementele sale este o soluție a sistemului.

De sine este setul de soluții ale -a ecuație, avem

Alte definiții

  • Două sisteme sunt echivalente dacă au același set de soluții.
  • Un sistem este rezolvabil sau compatibil dacă are cel puțin o soluție.
  • Un sistem este omogen dacă mulțimea de soluții conține, printre altele, și cea nulă sau echivalent dacă vectorul termenilor cunoscuți este compus doar din zerouri (vector nul).
  • Un sistem este polinom dacă fiecare ecuație este un polinom . În acest caz, gradul său este produsul gradelor polinomilor unici.
  • Un sistem este împărțit dacă fiecare ecuație poate fi exprimată ca o fracțiune de polinoame. În acest caz, setul de definiții nu conține doar valorile pentru care numitorii acestor ecuații se anulează, cu excepția cazului în care acestea sunt puncte de întrerupere care pot fi eliminate.
  • Un sistem este literal dacă coeficienții exprimați ca litere, numiți parametri , apar în ecuații. În acest caz, definiția și soluțiile pot depinde de acești parametri.

Instrumente de rezoluție

Cele mai de bază metode de rezolvare se bazează pe operații care transformă sistemul într-un alt echivalent, dar mai simplu. În exemplele următoare, numai sistemele liniare sunt luate în considerare pentru ușurința lor de rezoluție, dar aceste metode pot fi utilizate și în alte cazuri.

Metoda de înlocuire

O necunoscută este făcută explicită prin exprimarea acesteia în funcție de celelalte (de exemplu devine ) într-una dintre ecuațiile sistemului și expresia astfel obținută este substituită în celelalte ecuații în locul necunoscutului corespunzător. În acest fel necunoscutul dispare din toate ecuațiile, cu excepția primei. Metoda este aplicată iterativ până când se ajunge la o ecuație cu o singură necunoscută; valoarea acestuia din urmă este calculată și revine la prima, explicând treptat valorile necunoscutelor calculate.

Metoda de comparare

În două dintre ecuații, una dintre variabile (sau, în general, aceeași cantitate) este exprimată, obținându-se astfel posibilitatea egalării celui de-al doilea membru (care va fi independent de variabila explicită) pentru proprietatea tranzitivă a egalității. Ecuația astfel compusă poate fi rescrisă în locul uneia dintre cele două precedente, obținându-se un sistem echivalent.

Sisteme liniare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Set de ecuații liniare .

Dat fiind un sistem liniar în formă

unde este este vectorul coloană al necunoscutelor, este vectorul coloană al termenilor cunoscuți și este matricea coeficienților și este pătrată și inversabilă , soluția este unică și este egală cu produsul :

unde este este inversul . Calculul matricei inverse este adesea complicat și împovărător din punct de vedere al calculului, motiv pentru care un sistem liniar nu este rezolvat în mod normal prin calcularea directă a matricei inverse.

Regula lui Cramer are o mare importanță teoretică pentru sistemele liniare, dar nu este utilizată în practică din motive similare.

Metoda de eliminare gaussiană , care se bazează pe metoda de reducere, este de uz general pentru sistemele cu mii de ecuații.

Metoda de reducere

Metoda de reducere este specifică pentru sistemele liniare. Procedura constă în înlocuirea uneia dintre ecuațiile sistemului cu o combinație liniară adecvată a două ecuații ale aceluiași sistem, obținându-se un sistem echivalent cu cel dat. Mai exact, dacă două linii sunt exprimate ca produs între sub-matrici adecvate ale coeficienților și vectorul x al soluțiilor, acesta este

atunci este posibil să înlocuiți unul dintre cele două cu ecuația

.

unde este Și sunt două numere scalare , ambele diferite de zero.

Sisteme non-polinomiale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Sistem neliniar .

Studiul sistemelor non-polinomiale este adesea foarte dificil și, în majoritatea cazurilor, nu există formule sau algoritmi care să ne permită să descriem cu precizie setul de soluții. Chiar și sistemele polinomiale de grad scăzut sunt adesea de nerezolvat.

Adesea această problemă este rezolvată prin „liniarizarea sistemului”, adică prin studierea soluțiilor unui sistem liniar care aproximează sistemul dat. În acest fel este adesea posibil să se obțină o descriere calitativă sau aproximativă a soluțiilor.

Exemple

  • Luați în considerare sistemul:

Vrem să folosim metoda soluției prin substituție. Să clarificăm în prima ecuație și înlocuiți-o acolo unde apare în celelalte:

Acum să calculăm în al doilea în funcție de :

Astfel, a treia ecuație conține acum doar : rezolvarea vine

Deci, acum calculând în al doilea vine soluția

  • Luați în considerare sistemul:

Vrem să folosim metoda soluției pentru comparație. Izolăm variabila z în prima și a doua ecuații:

Să comparăm cele două expresii rezultate:

Din care rezultă:

Și rezolvând prin substituire între primele două ecuații:

Asa de:

Bibliografie

  • N. Dodero, P. Baroncini și R. Manfredi, Module de caracteristici matematice , Ghisetti și Corvi.

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 47646
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică