Sistem de ecuații liniare

În matematică și în special în algebra liniară , un sistem de ecuații liniare , numit și sistem liniar , este un sistem compus din mai multe ecuații liniare care trebuie verificate toate în același timp. O soluție a sistemului este un vector ale cărui elemente sunt soluțiile ecuațiilor care alcătuiesc sistemul, adică astfel încât, dacă sunt substituite necunoscutelor, fac ecuațiile identităților .

Definiție

Un sistem de ecuații liniare este un set de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ecuații liniare în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ necunoscute, care pot fi scrise după cum urmează: ^[1] ^[2]

{\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \ \ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \\ a_ {m , 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \\\ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \ \ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \\ a_ {m , 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \\\ end {cases}}}

Numarul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dintre necunoscute se mai numește și ordinea sistemului.

Dacă termenii cunoscuți $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ toate sunt nule și se spune că sistemul este omogen .

A $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upla $(x_{1},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ $(x_1, \ dots, x_n)$ a elementelor din domeniu este o soluție a sistemului dacă satisface toate $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ecuații. ^[3]

Se spune că două sisteme sunt echivalente dacă au același set de soluții. În special, două sisteme liniare sunt echivalente dacă fiecare ecuație a unuia este o combinație liniară a ecuațiilor celeilalte. ^[4]

Forma matricei

În notația oficială, sistemul este scris:

\sum _{j}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}

{\ displaystyle \ sum _ {j} ^ {n} a_ {ij} x_ {j} = b_ {i}}

\ sum_j ^ n a_ {ij} x_j = b_i

Prin definirea vectorilor coeficienților:

\mathbf {a} _{i}\equiv {\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i} \ equiv {\ begin {pmatrix} a_ {i1} \\\ vdots \\ a_ {in} \ end {pmatrix}}}

\ mathbf a_i \ equiv \ begin {pmatrix} a _ {i1} \\ \ vdots \\ a_ {in} \ end {pmatrix}

și vectorul de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ termeni cunoscuți:

\mathbf {b} \equiv {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {b} \ equiv {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}

\ mathbf b \ equiv \ begin {pmatrix} b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end {pmatrix}

sistemul este echivalent cu combinația liniară: ^[1]

\sum _{i}^{n}a^{i}x_{i}=\mathbf {b}

{\ displaystyle \ sum _ {i} ^ {n} a ^ {i} x_ {i} = \ mathbf {b}}

\ sum_i ^ n a ^ i x_i = \ mathbf b

Definire $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ vectorul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ necunoscute:

\mathbf {x} \equiv {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ equiv {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}}

\ mathbf x \ equiv \ begin {pmatrix} x_1 \\ \ vdots \\ x_n \ end {pmatrix}

fiecare ecuație este echivalentă cu un produs scalar standard: ^[5]

\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} =b_{1}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} = b_ {1}}

\ mathbf a_1 \ cdot \ mathbf x = b_1

\cdots

{\ displaystyle \ cdots}

\ cdots

\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} =b_{m}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {m} \ cdot \ mathbf {x} = b_ {m}}

\ mathbf a_m \ cdot \ mathbf x = b_m

Dacă sistemul este omogen, vectorul necunoscutelor este deci ortogonal cu vectorii coeficienților.

Folosind matricile și produsul scalar dintre matrice (produs rând cu coloană) putem separa coeficienții, necunoscutele și termenii cunoscuți ai sistemului, scriindu-l după cum urmează:

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ \\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ \\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}

Acum dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ dintre coeficienți:

A\equiv {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A \ equiv {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & \ cdots & a_ {m, n} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A \ equiv {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & \ cdots & a_ {m, n} \ end {pmatrix}}}

dintre care de fapt $\mathbf {a} ^{1},\ldots ,\mathbf {a} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {a} ^ {n}}$ $\ mathbf a ^ 1, \ ldots, \ mathbf a ^ n$ sunt coloanele, cu definițiile vectorului necunoscutelor și ale termenilor cunoscuți, sistemul este în cele din urmă scris sub formă de matrice:

A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}

{\ displaystyle A \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

A \ cdot \ mathbf x = \ mathbf b

Matrice completă

Sistemul poate fi descris folosind matricea completă:

(A,\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle (A, \ mathbf {b}) = \ left ({\ begin {matrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & b_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & \ cdots & a_ {m, n} & b_ {m} \ end {matrix}} \ right)}

{\ displaystyle (A, \ mathbf {b}) = \ left ({\ begin {matrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & b_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & \ cdots & a_ {m, n} & b_ {m} \ end {matrix}} \ right)}

respectiva matrice asociată sistemului. Se obține din juxtapunerea matricei coeficienților și a vectorului termenilor cunoscuți.

Matricile $A\$ ${\ displaystyle A \}$ $LA \$ Și $(A,\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (A, \ mathbf {b})}$ $(A, \ mathbf b)$ sunt numite respectiv incomplete (sau matrice de coeficienți) și matrice completă (sau tivită ). Numerele $x_{1},\dots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_1, \ dots, x_n$ sunt necunoscutele, numerele $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ sunt coeficienții și numerele $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ termeni cunoscuți. Coeficienții și termenii cunoscuți sunt elemente ale unui câmp , cum ar fi cel format din numere reale sau complexe .

Caracteristici

Gradul unui sistem de ecuații polinomiale este definit ca produsul gradelor ecuațiilor care îl compun. Deci, un sistem liniar este un sistem polinomial de gradul I.

În general, un sistem liniar poate fi:

Determinat , când are o singură soluție.
Imposibil , atunci când nu există nicio soluție.
Nedeterminat , când are soluții infinite.
Numeric , când soluțiile sunt reprezentate prin numere .
Literal , atunci când soluțiile sunt reprezentate prin expresii literale.
Omogen , când termenii cunoscuți sunt zero.

Dacă câmpul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a apartenenței coeficienților și a termenilor cunoscuți ai unui sistem de comandă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este infinit, există trei posibilități: există o singură soluție, nu există soluții sau există infinit. Teorema care afirmă acest fapt și care permite stabilirea dacă și câte soluții există fără rezolvarea sistemului este teorema Rouché-Capelli . Dacă există soluții, acestea formează un subspatiu afin de $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .

Sistemul omogen asociat

Luați în considerare operația liniară:

L(\mathbf {x} )=\sum _{i}^{n}x_{i}A^{i}

{\ displaystyle L (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} ^ {n} x_ {i} A ^ {i}}

L (\ mathbf x) = \ sum_i ^ n x_iA ^ i

Nucleul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este spațiul soluțiilor sistemului omogen asociat, în timp ce imaginea este spațiul generat de coloane $A^{1},\ldots ,A^{n}$ ${\ displaystyle A ^ {1}, \ ldots, A ^ {n}}$ $A ^ 1, \ ldots, A ^ n$ . Prin teorema rangului rezultă că dimensiunea spațiului soluției plus rangul pe coloane ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Deoarece vectorul necunoscutelor este ortogonal cu vectorii de rând ai matricei coeficienților, spațiul soluției este complementul ortogonal al subspaiului generat de rândurile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Prin urmare, suma dimensiunilor respective trebuie să fie egală cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Din cele două afirmații anterioare se concluzionează că rangul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pe rânduri este egal cu rangul pe coloane și că spațiul soluțiilor are dimensiune $n-r$ ${\ displaystyle nr}$ $n-r$ . ^[5] Spațiul soluției este, prin urmare, un subspațiu vectorial al dimensiunii $n-\rho (A)$ ${\ displaystyle n- \ rho (A)}$ $n- \ rho (A)$ .

Spațiul soluțiilor

Același subiect în detaliu: Teorema Rouché-Capelli .

Sistemul admite soluția dacă și numai dacă vectorul $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ este imaginea vectorială $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ obținută prin aplicare liniară $L_{A}\colon K^{n}\to K^{m}$ ${\ displaystyle L_ {A} \ colon K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ ${\ displaystyle L_ {A} \ colon K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ definit astfel:

L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} \

{\ displaystyle L_ {A} (\ mathbf {x}) = A \ mathbf {x} \}

L_A (\ mathbf x) = A \ mathbf x \

Imaginea lui $L_{A}$ ${\ displaystyle L_ {A}}$ $ACOLO$ este generat de vectorii dați de coloanele lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și apoi $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ este în imagine dacă și numai dacă întinderea coloanelor din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ conține $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ , adică dacă și numai dacă spațiul generat de coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu spațiul generat de coloanele din $(A|\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (A | \ mathbf {b})}$ $(A | \ mathbf {b})$ . În mod echivalent, sistemul admite soluția dacă și numai dacă cele două matrice au același rang, așa cum este stabilit de teorema Rouché-Capelli.

Dacă există o soluție $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _ {0}$ , orice altă soluție este scrisă ca $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {v}$ , unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este o soluție a sistemului liniar omogen asociat: ^[6]

A\mathbf {v} =0

{\ displaystyle A \ mathbf {v} = 0}

A \ mathbf {v} = 0

Intr-adevar:

A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \

{\ displaystyle A (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {v}) = A \ mathbf {x} _ {0} + A \ mathbf {v} = \ mathbf {b} + \ mathbf {0 } = \ mathbf {b} \}

A (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {v}) = A \ mathbf {x} _ {0} + A \ mathbf {v} = \ mathbf {b} + \ mathbf {0} = \ mathbf {b} \

Spațiul soluțiilor, obținut prin traducerea nucleului cu vectorul $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _ {0}$ , este deci subspatiul afin dat de:

\operatorname {Sol} (A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A,\mathbf {0} )

{\ displaystyle \ operatorname {Sol} (A, \ mathbf {b}) = \ mathbf {x} _ {0} + \ operatorname {Sol} (A, \ mathbf {0})}

\ operatorname {Sol} (A, \ mathbf b) = \ mathbf x_0 + \ operatorname {Sol} (A, \ mathbf 0)

Dimensiunea spațiului soluției sistemului complet este egală cu dimensiunea spațiului soluției sistemului omogen asociat. ^[7] Prin teorema Rouché-Capelli această soluție este unică dacă și numai dacă rangul matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Altfel dacă câmpul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este infinit, există soluții infinite, iar acestea formează un subspatiu vectorial al $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , având ca dimensiune nulitatea $t=n-\operatorname {rk} (A)$ ${\ displaystyle t = n- \ operatorname {rk} (A)}$ ${\ displaystyle t = n- \ operatorname {rk} (A)}$ a matricei.

Instrumente de rezoluție

Același subiect în detaliu: Sistem de ecuații .

Dat fiind un sistem liniar în formă

A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}

{\ displaystyle A \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

{\ displaystyle A \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}

unde este $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ este vectorul coloană al necunoscutelor, $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ este vectorul coloană al termenilor cunoscuți și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea coeficienților și este pătrată și inversabilă , soluția este unică și este egală cu produsul :

A^{-1}\cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle A ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {b}}

{\ displaystyle A ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {b}}

unde este $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {{- 1}}$ este inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Calculul matricei inverse este adesea complicat și împovărător din punct de vedere al calculului, motiv pentru care un sistem liniar nu este rezolvat în mod normal prin calcularea directă a matricei inverse.

Regula lui Cramer are o mare importanță teoretică pentru sistemele liniare, dar nu este utilizată în practică din motive similare.

Metoda de eliminare gaussiană , care se bazează pe metoda de reducere, este de uz general pentru sistemele cu mii de ecuații.

Metoda de reducere

Metoda de reducere este specifică pentru sistemele liniare. Procedura constă în înlocuirea uneia dintre ecuațiile sistemului cu o combinație liniară adecvată a două ecuații ale aceluiași sistem, obținându-se un sistem echivalent cu cel dat. Mai exact, dacă două linii sunt exprimate ca produsul unor sub-matrici adecvate ale coeficienților și vectorul x al soluțiilor, acesta este

{\begin{cases}A\mathbf {x} =\mathbf {c} \\B\mathbf {x} =\mathbf {d} \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} A \ mathbf {x} = \ mathbf {c} \\ B \ mathbf {x} = \ mathbf {d} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} A \ mathbf {x} = \ mathbf {c} \\ B \ mathbf {x} = \ mathbf {d} \ end {cases}}}

atunci este posibil să înlocuiți unul dintre cele două cu ecuația

m\cdot A\mathbf {x} +n\cdot B\mathbf {x} =m\cdot \mathbf {c} +n\cdot \mathbf {d}

{\ displaystyle m \ cdot A \ mathbf {x} + n \ cdot B \ mathbf {x} = m \ cdot \ mathbf {c} + n \ cdot \ mathbf {d}}

{\ displaystyle m \ cdot A \ mathbf {x} + n \ cdot B \ mathbf {x} = m \ cdot \ mathbf {c} + n \ cdot \ mathbf {d}}

.

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt două numere scalare , ambele diferite de zero.

Notă

^ ^a ^b Lang , p. 61 .
^ Hoffman, Kunze , p. 3 .
^ Hoffman, Kunze , p. 4 .
^ Hoffman, Kunze , p. 6 .
^ ^a ^b Lang , p. 176 .
^ Lang , p. 177 .
^ Lang , p. 178 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Kenneth Hoffman și Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
F. Odetti și M. Raimondo, Elements of Linear Algebra and Analytical Geometry , ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse privind sistemul de ecuații liniare
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe sistem de ecuații liniare

Controlul autorității	GND ( DE ) 4035826-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Lang , p. 61 .

[2] Hoffman, Kunze , p. 3 .

[3] Hoffman, Kunze , p. 4 .

[4] Hoffman, Kunze , p. 6 .

[scalare-5] Lang , p. 176 .

[6] Lang , p. 177 .

[7] Lang , p. 178 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema