Sistem de numerotare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Un sistem de numerotare este un mod de exprimare și reprezentare a numerelor printr-un set de simboluri . [1] [2] Numerele, din cele mai vechi timpuri, au fost un instrument necesar pentru a cuantifica un set de elemente. Toate civilizațiile cunoscute au conceput un sistem de numerotare, începând cu populațiile primitive care au adoptat sistemul de numerotare aditivă până în prezent, în care sistemul de numerotare pozițională este răspândit.

În cursul istoriei au fost adoptate diverse notații numerale, în mare măsură nu foarte raționale, până la atingerea cu o anumită dificultate a celor mai comune, practice și canonice notații de astăzi, notațiile poziționale zecimale .

fundal

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Istoria numerelor .
Algorists against the Abacists , din Margarita philosophica ( 1503 ) a lui Gregor Reisch .

In Roma antica un sistem a fost utilizat în principal bazat pe numărul cinci ( a se vedea cifre romane ), aditiv și non- pozițional : simbolul X reprezintă întotdeauna cele zece număr, V numărul cinci, și așa mai departe; în schimb, sistemul zecimal comun este pozițional : fiecare cifră capătă un sens diferit în funcție de poziția în care se găsește (unități, zeci, sute etc.); sistemele de poziție au fost predate de arabi .

De la mijlocul secolului al XX-lea , au fost specificate sisteme de numerotare adecvate nu numai pentru oameni, ci și pentru mașini. Pentru a satisface anumite nevoi, alături de sistemul canonic, sunt considerate unele sisteme exotice care au unele merite practice și un anumit interes matematic. Odată cu dezvoltarea computerului , au apărut alte probleme care sunt acum stăpânite satisfăcător.

Tipuri

Sistemele de numerotare se referă, așadar, la succesiunea așa-numitelor numere naturale . Cele mai vechi sisteme de numerotare au o bază de zece , cu referire la actul de numărare cu degetele mâinilor. Pentru o definiție mai formală a unui sistem de numerotare pozițională:

  • alegem orice număr natural b (altul decât zero și unu), pe care îl vom numi bază
  • alegem b simboluri diferite, pe care le vom numi cifre
  • compuneți numerele având în vedere că valoarea fiecărei cifre trebuie înmulțită cu:
    • b 0 adică 1 (unitate) dacă este ultima cifră din dreapta numărului pe care îl luăm în considerare
    • b 1 care este b dacă este a doua cifră din dreapta,
    • b 2 dacă este a treia cifră din dreapta,
    • și așa mai departe, b (n-1) dacă este a n-a cifră din dreapta
  • suma tuturor valorilor astfel obținute este numărul pe care îl luăm în considerare

Sistemul zecimal-pozițional

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: sistemul numeric zecimal și notația pozițională .

Motivele superiorității sistemului numeric pozițional zecimal, care s-a răspândit din India , sunt principiul pozițional (care denotă în sine diferitele ordine numerice) și utilizarea a zece simboluri, inclusiv zero (care a completat golurile). un sistem pozițional). Un sistem pozițional este o dezvoltare naturală și sistematică a sistemului multiplicativ în care se folosește o bază fixă, acestea dispar ca determinanți și multiplicatori superflui și unde coeficientul este reprezentat de poziția cifrei în întreaga reprezentare numerică. Celelalte notații trebuiau să dea fiecărei cifre o valoare fixă, indiferent de poziții. În numerotarea chineză semnele pentru 7829 sunt 7, în timp ce cu sistemul pe care îl folosim, acestea sunt 4. În sistemul nostru, indicatorii puterilor de 10 sunt suprimați, iar cifrele unităților iau valori diferite în funcție de poziții (ideal amestec între numărul de cifre și necesitatea iterației acestora). În acest fel, limbajul scris comunică o rețea de concepte printr-o simplă permutare a câtorva simboluri.

Sistemul pozițional zecimal permite, de asemenea, o executare convenabilă a operațiilor aritmetice : puneți numerele care trebuie adăugate unul sub celălalt și le puteți adăuga coloană cu coloană, aducând totalurile care depășesc 10 în coloana următoare (ordinea superioară). Dacă, pe de altă parte, se utilizează cifre romane, nu există nicio notație care să aibă eficacitate algoritmică (adică nu este posibil să se efectueze operații fără a recurge la un suport extern, cum ar fi abacul ).

Babilonienii , chinezii și mayașii cu principiul poziției erau deja capabili să reprezinte orice număr cu o cantitate redusă de cifre de bază, dar aveau limitări:

  • Babilonienii nu au asociat cifre diferite cu cele 59 de unități semnificative din primul ordin, ci au iterat cele două simboluri disponibile. Nu au conceput zero nici ca număr (cantitate nulă), nici ca operator aritmetic.
  • Chinezii au păstrat notația ideografică și au reintrodus elemente ale notației multiplicative. Mai mult, utilizarea lor de zero a fost sporadică și de mică semnificație.
  • Maya, cu anomalia multiplicatorului celui de-al treilea ordin numeric, a pierdut posibilitatea de a folosi zero ca operator.

Notații alfabetice numerice

Scribii evrei și matematicienii greci au dobândit, de asemenea, notații numerice echivalente cu hieraticul egiptean, dar au folosit literele (în ordine consecutivă) ale alfabetelor respective.

Alfabetul a fost prima îmbunătățire a scrierii adaptabilă la fiecare inflexiune a fiecărui limbaj articulat și a dat posibilitatea de a scrie toate cuvintele cu un număr mic de semne fonetice (litere). A fost opera fenicienilor , comercianți conduși de o nevoie de înțelegere a conciziei. Comerțul s-a răspândit în sistemul lor:

Prin urmare, a existat o încercare de a suprapune ordinea alfabetică și numerică. Evreii foloseau numerotarea alfabetică:

Număr Evreiască Greacă
1 Aleph (') Alfa (a)
2 Beth (b) Beta (b)
3 Gimel (g) Gama (g)
4 Daleth (d) Delta (d)
5 El (h ') Epsilon (e)
6 Waw (w) Faw-Digamma (f)
7 Zain (z) Zeta (dz)
8 Heth (h) Vârsta (e)
9 Teth (t) Theta (th)
10 Yod (y) Iota (i)
20 Kaf (k, kh) Kappa (k)
30 Lamed (l) Lambda (l)
40 Mem (substantiv) Mi m)
50 Monahie (n) Ni (n)
60 Samekh (s) Xi (ks)
70 Ayin (') Omicron (o)
80 Pe (p, f) Pi (p)
90 Sade (s) San (s)
100 Qof (q) Qoppa (q)
200 Res (r) Ro (r)
300 Păcat (e) Sigma (e)
400 Tav (t) Tau (t)
Ypsilon (y)
Phi (ph)
Psi (ps)
Cine cine)
Omega (o)

Evoluția sistemelor numerice

Numerele concrete

Chiar și astăzi există popoare care nu pot conta, în sensul că nu concep numere abstracte și sunt nedumerite de operații de tip 2 + 2 = 4. Pigmeii din Africa , Botocudos din Brazilia , Aranda din Australia calculează 1, 2, maxim 3 și apoi vorbesc imediat în termeni de „mulți” („atât cât părul de pe cap”). Cu toate acestea, copiii acestor triburi au o viteză de învățare similară cu cea a copiilor noștri.

Boșimanii nu depășesc cinci. Încă nu există abstracție matematică, percepția pluralității este încă indisociată de natura obiectelor luate în considerare.

Pentru Aranda:

  • 1 este ninta
  • 2 este tare
  • 3 este tare, dar ninta (2 și 1)
  • 4 este tare, dar tare (2 și 2), la rândul său sinonim cu multe.

„2 și 1” și „2 și 2” nu sunt numere abstracte, ci perechi de lucruri distincte: ne confruntăm cu o descriere nesistematică a mărimilor cu utilizarea unui lexicon specific pe care prin analogie îl definim „numeral”; numărul real implică recunoașterea unei relații care este definită ca fiind constantă între diferiții termeni ai unei succesiuni, o relație care la rândul său permite extragerea de la obiectele individuale concrete care trebuie calculate și articularea seriei într-o formă independentă de empiriul. Poate că rădăcinile îndepărtate ale axiomelor lui Peano stau în această schimbare cognitivă.

Această incapacitate de a număra dincolo de primele numere și implicațiile emoționale și culturale legate de aceasta, poate fi bine exemplificată de o poveste care i s-a întâmplat lui Francis Galton, care, într-o tranzacție cu un Damera sud-african, s-a confruntat cu această situație: a trebuit să primească 2 oaie în schimbul a 4 bețe; cu toate acestea, Damera nu a înțeles această echivalență, deoarece nu a putut sintetiza noțiunea de „4”. Prin urmare, tranzacția astfel construită l-a încurcat și a mers înainte și înapoi de la o oaie la alta; a fost liniștit doar atunci când suma a fost împărțită în cele două tranzacții unice care o compuneau [ fără sursă ] .

Această incapacitate de a număra dincolo de trei sau patru poate fi găsită și în lexiconul indo-european și în alte culturi: în Egiptul faraonic 3x corespunde pluralului de x: 3 scarabe = scarabe. În chinezii antici 3 copaci (森) = pădure, 3 om = mulțime. Pentru sumerieni 1 s-a spus gesh care înseamnă și bărbat, 2 s-a spus min care înseamnă și femeie, 3 era esh care era sinonim cu mulți și era un sufix al pluralului. Și aici vedem rețeaua de referințe simbolice pe care o situație profană ar putea să o genereze: dacă 3 ar fi pur și simplu 2 și 1, cel de bărbat unit celor două femele a dat naștere la multiplicitatea descendenților. Articularea primelor numere a fost simbolic izomorfă pentru copulare și generare. Vom găsi acest model în One și în diadă infinită a pitagoreici și a „ezoterice“ Platon . În lexicul indo-european 3 și „multe” sunt aproape sinonime: în franceză „molto” este foarte ; în latină și engleză „3 ori” și „de multe ori” sunt adesea indicate cu același semn; „al di là” este tres în franceza veche, trans în latină, through în engleză; în engleză mulțimea este mulțime ; în italiană se spune „prea mult” și se spune „trupă”. Chiar și 4 are în rădăcinile sale lexicale aceeași referință la multiplicitate: în germană vier (4) și viel (molto) sunt aproape homofone; tetrațele grecești și quattuorul latin sunt legate etimologic de cetera latină, „celelalte lucruri” (gândiți-vă la 1, 2, 3 ... etc.).

Un semn al acestei diviziuni între primele două-trei numere și cunoașterea celorlalte (cetera ...) este, de asemenea, prezența în limbile antice a numerelor în sens gramatical, cum ar fi dual ( greacă , ebraică , arabă ), în timp ce în triburile oceanice c 'este chiar dual, procesul, patru. În acest caz substantivele sunt și ele declinabile, evident împreună cu pluralul. Lipsa abstractizării în abordarea numerică a realității este exemplificată și de faptul că multe limbaje primitive, cum ar fi de ex. limba tsimshiană din Columbia Britanică , au cuvinte diferite pentru a indica anumite cantități numerice de obiecte plate sau de obiecte alungite sau de bărbați sau canoe etc.: 8 obiecte plate = yuktalt , 8 obiecte alungite = ektlaedskan , 8 în numărul oral = guandalt . Chiar și în limbile europene există o urmă a acestei diferențieri: în engleză o pereche (pantofi), un cuplu (oameni), o bretele (găini), un jug (boi). În pereche italiană, pereche, pereche ...

În latină, numai numerele de la 1 la 4 au sex și declin , în timp ce de la 5 încoace nu. Mai mult, romanii au chemat copiii de la primul la al patrulea cu nume fără relație cu numerele; începând cu al cincilea numele au devenit Quintus, Sextus, Septimius, Octavius ​​etc. În cele din urmă, anul roman dinaintea reformei iuliene a fost de 10 luni, dintre care primul a fost Martius, apoi Aprilis, Maius și Iunius; începând cu luna a cincea găsim Quintilis, Sextilis, septembrie, octombrie etc.

Această dificultate pentru om de a trece dincolo de primele numere se datorează în principal faptului că acest prag corespunde cu cel dintre percepția directă a pluralității și calculul extensiv al acesteia. Percepția directă a pluralității este percepția cuplurilor, triplurilor entităților identice sau similare și este instinctivă: chiar și copilul între 6 și 12 luni are o evaluare globală a spațiului, are o percepție a seturilor de obiecte familiare și își dă seama dacă în cele din urmă ceva este dispărut. Între 12 și 18 luni distinge între 1, 2 și „mai multe” obiecte; între 2 și 3 ani concepe 3.

Și animalele au o percepție directă a pluralității și recunosc dacă unul sau mai mulți constituenți au fost eliminați dintr-un set. Un căluș , antrenat să-și aleagă hrana din două grămezi de semințe, distinge diferențele între 1, 2, 3, 4 semințe, dar nu între 4 și 5 semințe, 7 și 5 etc. Păsările disting cantități concrete de la 1 la 4, dar nu mai mult. Nu știm să facem mult mai bine: în practică apelăm la comparație, divizare, grupare mentală sau calculul abstract efectiv.

Pe scurt, trecerea dincolo de 4 cu ajutorul unei reprezentări vizuale nesimbolice a fost foarte dificilă. Prin urmare, vedem că o relație cognitivă cu realități numerice și cantitative fără numărare pare să fi fost posibilă până la punctul de a ne face să considerăm primele numere ca totalități perceptive empirice diferențiate calitativ ( gestalten ) și nu deconstruibile din punct de vedere operațional. Cu toate acestea, din 4 a fost necesară o tehnică care să permită într-un fel sau altul controlul unor cantități mai mari. Vom vedea mai târziu cum această problemă a fost rezolvată cel puțin temporar prin scris sau cu semne grafice și crestături scrise. Între timp, era nevoie de o metodă care să-i permită fermierului analfabet să verifice dacă turma îi lipsea oile la întoarcerea de pe pășune. Această tehnică a fost numărarea prin corespondență sau prin comparație: păstorii, fiecărui animal care trecea prin pragul unui gard, corespundeau unei pietre sau unui alt obiect mic și manipulabil: scoici, oase, bucăți de balegă. Pietrele obținute le-au păstrat în siguranță. Când turma s-a întors, unul câte unul au trecut peste oi, de data aceasta la intrare, și fiecare a asociat din nou pietrele puse deoparte. În acest fel nu știau nici câte pietre erau sau câte oi erau, dar știau, presupunând că numărul pietrelor este constant, dacă oile s-au schimbat în număr.

Corpul uman și primele baze numerice

O fază importantă în evoluția metodei de calcul a fost utilizarea corpului uman. Această utilizare a fost probabil legată și de concepția corpului ca microcosmos, adică ca univers / lume / zeu la scară mai mică. La rândul său, această concepție a fost extinsă la om nu mai mult ca trup, ci ca minte și / sau suflet. Conceptul de microcosmos ar fi servit pentru a cunoaște lumea și structura ei începând dintr-o parte a acesteia, uneori una privilegiată.

La numărarea cu corpul, de cele mai multe ori una pornea de la una dintre mâini, se îndrepta spre cap și se întorcea spre cealaltă mână pentru a coborî apoi în picioare și a reveni la punctul de plecare. În triburile în care corpul a fost numărat (și poate încă este numărat) cu ocazia tranzacțiilor, ritualurilor, calculelor legate de anotimpuri și de trecerea timpului și a stelelor, s-a folosit mai mult de o persoană, deci numărarea a devenit colectivă, operațiune socială, rituală. Numărarea a rămas un risc, dar a devenit un risc comun, un risc care ar putea fi confruntat organizat pentru a obține beneficii pentru întreaga comunitate.

Dar cel mai important lucru legat de calculul „corporal” a fost că a constituit o etapă importantă în procesul de creștere a potențialului epistemic și cognitiv al contelui însuși. De fapt, corpul, comparativ cu o grămadă de pietre, are diferențe semnificative tocmai pentru numărare: grămada de pietre este intern omogenă (fiecare piatră nu are diferențe semnificative cu celelalte), discontinuă, inarticulată. Pe de altă parte, corpul uman este continuu, articulat, fiecare parte a acestuia este diferită de alta și, prin urmare, permite două lucruri:

  1. trecerea de la numărarea prin comparație (cu pietre de fapt) la numărarea prin succesiune : în timp ce înainte, adică numărarea era asocierea unui obiect cu altul care era o referință, acum, în schimb, am făcut un pas înainte spre „abstractizare, deoarece este posibil să se calculeze o singură serie de obiecte (părțile corpului) fără a face referire la o altă serie; etapele individuale ale numărării sunt bine determinate (degete, încheietura mâinii, cot, urechi), relația este doar cea internă către membrii unei singure serii și calea este deschisă pentru a doua consecință luată în considerare, și anume
  2. cea mai abstractă determinare a numerelor: dacă faci întotdeauna șapte pași pentru a merge la cot (5 degete + încheietura mâinii + cot), de acum înainte cotul va fi o referință sigură pentru difuzoare, fără a fi nevoie să începi să numeri din nou.

Desigur, există și alte metode pentru a lega mai puternic numărătoarea de timp: una este cea a cântecelor și a rimei de grădiniță (să ne gândim la cele care, în timp ce copii erau folosiți pentru a determina cine a plătit un gaj, cine a intrat „sub” într-un joc și, prin urmare, a înlocuit un număr. adevărat și adecvat) a cărui structură internă a permis constituirea unei serii numerice auto-referențiale, în sensul că numără doar relațiile interne dintre membrii aceleiași serii, membri care se definesc reciproc.

Mai mult, numărarea prin corp este legată și de relația dintre numărare, control, dominație și crimă. După cum am spus, numărarea înseamnă cunoașterea, dominarea, eliminarea unei ființe umane: numărarea degetelor de la picioare a altuia implică moartea lor („tragerea picioarelor”, care este, de asemenea, un mod de a reasambla un cadavru, este, de asemenea, un mod de a-l număra, de a cunoașteți-o, pentru care, conform unei superstiții, nu se întinde cu picioarele spre ușă, așa cum nu se expune picioarele oricui intră). Numărarea mai generală este permisă de faptul că evenimentele se termină, se termină temporal și sunt spațial finite; adică le poți depăși numărându-le și lăsându-le în urma ta (cam ca soldații care trec în revistă).

În sfârșit, numărarea corpului face din seria numerelor și a numerelor unice o structură determinată și figurală datorită căreia se deschide calea interpretării geometric-figurative care va fi elaborată de pitagoreici și apoi preluată de întreaga tradiție ezoterică : relația dintre numere devine o relație ierarhică și se pun bazele conceptului de ordinal, ale căror legături cu numerele cardinale vor fi în cele din urmă mai bine descrise în cursul reflecției filosofice finale a acestei cercetări asupra istoriei calculului și a notației numerice.

Un alt pasaj important și ulterior din această poveste este cel de la corpul uman la mână ca instrument de numărare. Înainte de a aborda acest subiect, totuși, merită să faceți o divagare pe baza numerică care a precedat introducerea mâinii ca „mașină” pentru numărare; prin bază numerică se înțelege primul modul de calcul care conține toate cifrele simple ale unui sistem, toate semnele fundamentale a căror repetare reproduce întreaga serie numerică în nelimitarea sa. Prima bază, așa cum am văzut deja, este baza 2 pe care unii o conectează la simetrie, la caracterul bilobat al unor organisme biologice, inclusiv corpul uman însuși (2 urechi, 2 ochi, 2 brațe, 2 picioare etc.). Popoarele care nu știu să numere într-un mod mai abstract sunt cele despre care se spune că numără pe baza a două: acest sistem a fost probabil răspândit în întreaga lume, în timp ce în prezent există urme ale acestuia doar în emisfera sudică (avem a văzut Botocudos , Damera și apoi Gumulgals australieni , sud- americani Bakairi și Bushmen ).

Aceste sisteme merg atât de departe: de exemplu. indienii Zamuco ajung până la 9 (2 + 2 + 2 + 2 + 1). De asemenea, sistemul a fost perfecționat: de ex. într-o inscripție persană din timpul lui Darius I (aproximativ secolul VI î.Hr. ), există o listă de simboluri numerice de la unu la zece; comparând această listă cu o inscripție babiloniană anterioară (1800-1600 î.Hr.) ne dăm seama că sistemul persan este o introducere a unui sistem de bază 10 într-un context de bază 2 preexistent: să ne uităm la ex. numărul 3; în babiloniană este III, în timp ce în persană este

 THE
II 

După cum se poate vedea, a treia pană se află într-o poziție specială și relevantă față de celelalte două; plasarea primelor două pe etaje diferite creează o bază intermediară 2 auxiliară față de baza 10, altfel numărul 3 ar fi fost

 THE
THE
THE

În acest sens, poate sistemul babilonian a fost un sistem orizontal de bază 3, unde saltul de nivel are loc cu 4, 7 și 10 și unde numărul care se adaugă devine un fel de trunchi / bază de copac și poate nu întâmplător va vedea că simbolic arborele este conectat la numărul 4

 III \ I /
II

Pentru unii, sistemul de bază 2 a fost anterior numărării cu degetele mâinii și adaugă că a existat un singur centru difuzional al acestei tehnici de calcul, dar este mai ușor să ne gândim la o multitudine de centre în care un fel de abordare intuitivă la cantități legate de bazele materiale ale gândirii, o abordare care va fi ulterior elaborată într-un mod diferențiat în funcție de latitudine (gândiți-vă la îmbunătățirile sistemului făcute de Zamuto , Boscimani și alții).

De asemenea, interesant despre trecerea de la numărarea cu corpul la cea cu mâna este așa - numitul sistem neo-binar , adică un sistem intermediar în care, de exemplu, în australienii aborigeni avem 1, 2, 3 și apoi ( 2 + 2), (2 +3), (3 + 3) etc. Uneori metoda de agregare a numerelor de bază pentru a constitui altele este aditivă, alteori este multiplicativă, alteori există scădere. De exemplu. contează un trib primitiv din Paraguay

 1, 2, 3, 4, (2 + 3), (2 × 3), 1+ (2 × 3), (2 × 4), 1+ (2 × 4), 2+ (2 × 4). ..

alternative: (2 × 4) -1 (2 × 5) -1 (2 × 5) ...

Apoi, așa cum vom vedea, când vom introduce mâna, vom avea ca (2 + 3) sau (2 × 2 + 1) să devină 5, în timp ce 4 devine (5-1) și de aici va derivă notația numerică romană . Să vedem o secvență în acest sens:

 1, 2, 3, 4, 5 (mână), (5 + 1), (5 + 2), (5 + 3), (5 + 4), (5 × 2), 
(5 × 2 + 1), (5 × 2 + 2), ... (5 × 3), (5 × 3 + 1), (5 × 3 + 2), ... (5 × 4), ...

Cu toate acestea, sistemul neo-binar sau alte sisteme mixte înrudite devin incomode atunci când, după elaborarea unei unități colective minime (bază sau modul), calculul generează la rândul său un meta-calcul al coloanelor în care sunt unitățile și modulele formate din acestea. distribuite.unitate. Acest meta-calcul se termină, de asemenea, găsindu-se împotriva limitelor căruia modulul este o expresie sau, odată ce acestea sunt depășite, împotriva limitelor naturale ale percepției directe a cantității. Pentru a da un exemplu, să începem cu un sistem de bază 3:

 III
                            III
                            III
                            III

După cum puteți vedea, numărul de rânduri, fiecare dintre cele trei unități, este 4 și este mai mult decât modulul 3 adoptat în mod special pentru a evita confuziile perceptive și de citire (vă reamintim că, în acest caz, nu avem de-a face cu un sistem pozițional analog la a noastră, unde fiecare coloană ulterioară este o ordine numerică diferită). Neo-binarul, așa cum am spus, este o formă mixtă, este, de asemenea, contigu din punct de vedere geografic cu reziduurile sistemului binar: în Madras, de exemplu. vedem un reziduu de neo-binar unde

 1 =. 2 = .. 3 = ... 6 = ::: 7 = :::. 8 = ::: ..

În Bombay, pe de altă parte, putem găsi un număr de 5 baze cu o meta-bază multiplicativă 5 cu posibilitatea de a număra până la 30; în acest caz, însă, avem deja de-a face cu un sistem mixt.

Pentru a vorbi despre sistemul chinar, pe de altă parte, trebuie să ne referim în mod evident la intrarea mâinii în câmpul de calcul, a cărei intrare are o urmă în diferite limbi, cum ar fi limba ali a Africii Centrale Republica unde 5 se spune moro (mână), în timp ce 10 este mbouna spune că ar fi uniunea sincopată a moro + bouna (două) și adică (5 × 2) sau „două mâini”. În limba Bugilai din Noua Guinee, în schimb:

 1 = tarangesa = degetul mic al mâinii stângi
2 = meta kina = degetul următor
3 = guigi meta kina = degetul centrului
4 = topea = index
5 = send = inch

Marea predispoziție a mâinii de a fi o mașină de numărat este permisă de acești factori:

  • Articulație complexă care face dificilă reprezentarea unui sculptor și care îi permite să se miște în multe feluri
  • Aranjamentul asimetric și diferențiat al degetelor care permite ochiului celor care numără să se orienteze mai bine și să reprezinte diferența dintre numere, să reflecte caracterul lor individual și determinat.
  • Relația privilegiată dintre mână și creier , tematizată de diverși antropologi și paleontologi
  • Opozabilitatea degetului mare care vă permite să desprindeți un deget de celelalte pentru a nu provoca confuzie perceptivă
  • Opozabilitatea degetului mare vă permite, de asemenea, să numărați cu o bază diferită, folosind degetul mare ca pointer
  • În cele din urmă, autonomia relativă a fiecărui deget permite un număr mare de combinații; de fapt, deoarece degetele pot fi ridicate atât împreună, cât și una câte una și acest lucru permite să reprezinte numărul atât ca totalitate, cât și ca autoconstituire a acestei totalități și, în cele din urmă, și ca ordinal. Un exemplu al primului caz ar putea fi 4 ca totalitate, adică IIII (imaginați-vă că acestea sunt patru degete ridicate); un exemplu al celui de-al doilea caz ar putea fi constituția progresivă a 4, și anume I ... II ... III ... IIII (imaginați-vă că este un număr cu degetele mâinii); un exemplu de ordinal ar putea fi (chiar dacă nu este o practică obișnuită în Occident, dar răspândit în alte populații) cel al degetului inelar sau al degetului mic ridicat pentru a indica 4 intenționat ca al patrulea număr (dorind să facă fără zero).

Mâna ca instrument de numărare și bazele sale numerice

După cum am văzut, odată cu apariția mâinii ca un instrument de calcul flexibil, își fac apariția alte baze numerice. În mod ideal, mergeți de la baza 2 la baza 5. Un exemplu de bază 5 este limbajul Api Noua Hebrideană :

 1 = tai 6 = otai = unul nou
2 = lua 7 = olua = new two
3 = tolu 8 = otolu = new three
4 = diverse 9 = ovare = patru noi
5 = lună = mână 10 = lună = două mâini (2 × 5)

11 = lualuna i tai = 2 maini + 1
12 = lualuna i lua = 2 hands + 2

15 = toluluna = 3 mâini (3 × 5)
16 = toluluna i tai = 3 hands + 1

20 = variluna = 4 mâini (4 × 5)

Faptul că baza 5 în acest caz se bazează pe utilizarea de calcul a mâinii poate fi dedus din denumirea numărului 6 (unul nou), a numărului 5 (mâna) și a numărului 10 (două mâini).

În ceea ce privește consecințele filosofice ale denumirilor menționate anterior (legate mai ales de problema kantiană a matematicii ca disciplină a priori sintetică) vom vedea mai departe. Baza 5 este prezentă și în Africa , Oceania și sudul Indiei , locuri în care supraviețuiesc încă relicvele sistemelor de notare numerică reziduală.

Această bază (și mâna care este omologul său somatic) are, de asemenea, conexiuni istorico-mitice interesante: prima este legată de mitologia indiană unde regele Pandu , incapabil să se unească cu soția sa Kunti , este înlocuit de divinități care generează Yudishtira , Arjuna și Bhima. (judecătorul, conducătorul și forța nedisciplinată) care sunt identificate cu mijlocul, respectiv indexul și degetul mare. Kunti fa unire con le divinità anche un'altra moglie, Madri, che genera altri due figli tra loro gemelli, Nakula il Bello e Sahadeva (anulare e mignolo, il primo dei quali poco si muove senza il secondo, o senza il medio).

Ancora più interessante è il mito egizio in cui Nut (dea del cielo stellato) si unisce a Geb (la terra), ma viene punita da Ra (il Sole) che gli impedisce di procreare nei 360 giorni dell'anno. Allora Thot , innamorato di Nut, gioca con Ra e vince cinque giorni, che vengono aggiunti al calendario e nei quali Nut genera Seth , Horus , Osiride , Iside e Nephtis , rispettivamente pollice, indice, medio, anulare e mignolo. Il fatto che Seth faccia a pezzi Osiride si può forse collegare al conteggio che il pollice fa sulle giunture delle altre dita, quasi facendole a pezzi.

Tale base consente anche di arrivare a numeri più grandi (nella fattispecie fino al numero 30), contando con una mano le unità e con l'altra le cinquine che risultano con il computo per unità (non è 5×5 ma 5×6 in quanto tenendo aperta a supporto mnemonico la mano delle cinquine si può contare ancora sino a 5 con la mano delle unità). Invece con la base 10 stessa si può contare fino a 10 con le due mani ma poi il riferimento è direttamente mnemonico o diventa un ulteriore elemento esterno vista la mancanza di un arto ulteriore.

I piedi e la base 20

Ben presto la base 5 si è legata a un'altra base pure legata agli arti e alle dita, la base 20. In realtà è più corretto dire che le basi 10 e 20 siano tentativi di estendere la base 5, in quanto il calcolo delle dita di una mano si può estendere a tutte e due le mani (base 10) e alle dita delle mani e dei piedi insieme (base 20).

Un utilizzo misto (base 5 e base 20), dovuto forse all'eredità Maya , è presente negli Aztechi :

 1= ce 6= chica ce (5+1)
2= ome 7= chicome (5+2) chica-ome
3= yey 8= chicuyey (5+3)
4= navi 9= chicnavi (5+4)
5= chica 10= matlactli

20= cem poualli = 1 ventina
30= cem poualli on matlactli = 20×1+10
53= ome poualli on matlactli on yey= 20×2+10+3
(terzo dito del primo piede al secondo conteggio)

Con l'ingresso della base 20 il numero 20 diventava non più "2mani + 2piedi" ma direttamente "uomo" e dunque una nuova unità di misura antropomorfica: per i Banda della Repubblica Centrafricana il termine per 20 è lo stesso per dire "impiccare un uomo", così come contare le dita di un uomo è trattarlo come morto, esaurirlo, manipolarlo come un pupazzo.

Nei dialetti Maya huc uinic = una ventina = un uomo. Per i Maya il mese era di 20 giorni, come un periodo storico era di 20 anni. Per i Malinke della Nuova Guinea 20 è sinonimo di "uomo completo" mentre 40 è sinonimo di "letto" (dita delle mani e dei piedi di uomo e donna coricati sullo stesso giaciglio).

Come la base 10 è un'interazione, un sovrapporsi tra due basi (base 5 e base 2), così la base 20 è una sovrapposizione tra base 10 e base 2 o meglio ancora una doppia simmetria di 5

 5 5
5 5 
(5+5+5+5)
(5×2) + (5×2)
5×2×2

Così era pure per i Maya, un sistema ausiliare di base 5 o 10 che si iterava dalle 4 alle 2 volte.

Dunque tale base congiunta era utilizzata da

Essa andò in crisi quando i piedi furono più sistematicamente coperti da calzature. Di essa rimangono ancora tracce in Spagna , Gran Bretagna , Irlanda e Francia , forse collegate alla cultura megalitica o almeno a quella celtica .

In inglese troviamo one score = 1×20 ( score dal sassone sceran = taglio, tacca) Nell' antico francese 80 = quatrevingts = 4×20

Un ospedale francese del XIII secolo era chiamato Hopital des quinzevingts (15×20=300). In latino il termine viginti (20) non è collegabile né a 2 né a 10, ma sembra essere associabile con termini come victi o vincti (che sta per "legati mani e piedi"). I sistemi quinari-decimali e quinari-vigesimali furono comunque sostituiti da quello decimale.

Le falangi e la base 12

Altra base numerica storicamente importante è la base 12. Essa è stata molto diffusa e tuttora ha sparsi molti relitti in tutto il mondo (es. fra tutti il termine dozzina ). Essa era usata da Sumeri e Assiro - babilonesi come misura per le lunghezze, le superfici, i volumi e le capacità. In questo contesto la durata della giornata era suddivisa in 12 periodi detti danna di 2 ore ciascuno; a sua volta il cerchio, l' eclittica e lo zodiaco erano suddivisi da queste popolazioni in 12 beru (settori) di 30º ciascuno. Per i Romani l' asse , unità di misura di peso e moneta, era divisa in 12 once come pure in Francia un soldo tornese era divisibile in 12 denari tornesi. Per quanto riguarda le lunghezze britanniche :

 1 piede = 12 pollici	
1 pollice = 12 linee
1 linea = 12 punti 

Per quanto riguarda le misure di peso 12 once (once = una volta) = 1 (vecchia) libbra. Per quanto riguarda le misure monetarie 12 pence = 1 scellino (da shekel/ siclo ?).

L'origine della base 12 sta forse nel numero delle falangi (3 per ogni dito) computabili utilizzando il pollice come cursore (3×4=12); più probabilmente la ragione è dovuta al fatto che un sistema numerico con base 12 ha un numero maggiore di divisori interi rispetto a uno in base 10; infatti un sistema in base 10 ha solo l'unità, il 2, il 5 e il 10; mentre il 12 può essere diviso per 1, 2, 3, 4, 6 e 12; questo tornava utile soprattutto nell'uso monetario, quando per esempio era necessario dividere delle somme tra più persone, i divisori 3 e 4 sono molto più comuni del 5.

La base 12 è presente in Indocina , India , Pakistan , Afghanistan , Iran , Iraq , Turchia , Siria ed Egitto (tale diffusione fa pensare a un utilizzo relativamente recente in ambito islamico ). Nella lingua inglese è rimasta traccia dell'utilizzo della base 12 con i nomi specifici (non composti con un suffisso) "eleven" e "twelve", che indicano rispettivamente il numero undici e il numero dodici, mentre il suffisso "teen" comincia a essere usato solo dal numero 13. L'interazione tra base 10 e base 12 sembra riecheggiare in alcuni termini e in alcune locuzioni antiche: ad es. in antico tedesco 11 = 1 rimasto (dopo che sono state tolte tutte le dita) e 12 = 2 rimaste, da cui forse twelwe = twalif = two left = 2 lasciate fuori. Anche nella tradizione ebraica il resto d' Israele sono le due tribù che derivano dal sottrarre le dita della mano (10) alla base 12.

Il mistero della base 60

Altra importante base, forse collegata alla base 12, è la base 60. La base 60 presa alla lettera prevederebbe 60 segni diversi e sarebbe un sovraccarico della memoria. Essa è stata parzialmente utilizzata dalle civiltà mesopotamiche e da astronomi greci e arabi per misurare archi e angoli. Attualmente viene usata per le misure angolari (e dunque anche latitudine e longitudine ) e per le misure cronometriche . I Sumeri , raffinati commercianti, elaborarono un sistema numerico che si basava su 5, 10, 20.

 1, 2, 3, 4, 5, 5+1, 5+2, 5+3, 5+4, 10, 20, 10×3, 20×2, (20×2+10)

60 era una nuova unità che fu denominata geshta per differenziarla da gesh = 1.

 1= gesh, ash, dish 4= limmu 7= imin (ia+min)
2= min 5= ia 8= ussu
3= esh 6= ash (ia+gesh?) 9= ilimmu (ia+limmu)
10= u (le dita) 20 = nish
30 (3×10) 40 (2×20) 50 (40+10)

"Imin" e "ilimmu" sono tracce di un sistema a base 5. Anche "ash" forse è un residuo di questo tipo. Come si vede dai numeri oltre il 20, le basi utilizzate e gli algoritmi di composizione sono molteplici, a indicare l'arcaicità del metodo.

 600= gesh-u (60×10)
3600= shar
36.000= shar-u (3600×10)
216.000= shar-gal (3600×60)
2.160.000= shar-gal-u (3600×60×10)

Numerazione con diversi livelli

 1, 10, 60, 600, 3600, 36.000, 216.000, 2.160.000, 12.960.000
1-10-10×6-(10×6×10)-(10×6×10×6)-(10×6×10×6×10)-(10×6×10×6×10×6)-(10×6×10×6×10×6×10)-(10×6×10×6×10×6×10×6)

Perché la base 60?

  • Ipotesi di Otto Neugebauer . Nei testi economici cuneiformi importanza primaria ebbe l'unità di peso (lo shekel che era 1/60 del mana ) come l' assis latino che era 1/12 di oncia e poi divenne 1/12 di ora. A tale ipotesi si può obiettare che un sistema metrologico presuppone un sistema di numerazione e non il contrario.
  • Ipotesi astronomica. Anno 360 giorni (12 mesi lunari × 30 giorni); zodiaco 6 costellazioni; sole in ogni costellazione 60 giorni; possibilità di dividere un cerchio in sei parti uguali di 60º ognuna e con la corda di una di esse (sestante) uguale al raggio del cerchio stesso. A tale ipotesi si può obiettare che la suddivisione del cerchio in 360° è avvenuta solo negli ultimi secoli aC, evidentemente dopo l'introduzione della base 60.
  • 60 rapporto tra l'ora sumera (2 h) e il diametro apparente del sole espresso in unità di tempo pari ognuna a 2 min.
  • Ipotesi della natura mista della base 60. Questa sarebbe il frutto di una sintesi tra base 10 e base 6 e la prova sarebbe le modalità di costituzione dei numeri sumeri vista sopra (v. il ruolo del numero 6). Ma questa tesi ha l'inconveniente di dover poi spiegare l'origine altrettanto misteriosa di questa base 6.
  • Ipotesi utilitaristica ( Teone di Alessandria , IV secolo ). Base 60 ha tanti divisori compresi i primi 6 numeri interi di cui è il minimo comune multiplo oltre a esserlo di 12 e 10. Tale sistema consente di rappresentare molte frazioni con interi (es. ½ sarebbe 30=60/2). Ma questo spiega meglio il successo della base 60, non tanto la sua origine. Anche se è ragionevole pensare al frutto di uno studio approfondito fatto da una classe sacerdotale specializzata come quella mesopotamica , visto che si sovrappose probabilmente a un sistema decimale spontaneamente usato (e di cui vi è traccia come sistema ausiliare).
  • Ipotesi di George Ifrah . Base 60 sarebbe la sintesi tra la base 5 e la base 12 (fondata sulla conta delle falangi di quattro dita), la base 12 computata su una mano e quella 5 computata come multiplo del 12 sull'altra mano. Oppure il contrario (la base 5 computata su una mano e la base 12 come multiplo del 5 sull'altra mano): traccia linguistica di quest'usanza sarebbe in latino il termine "digiti" (dita) per indicare le unità e il termine "articuli" (articolazioni) per indicare le decine. Dalla Mesopotamia questa tecnica si sarebbe diffusa a Oriente ( India ).

Il trionfo della base 10

La base che infine è stata adottata è la base 10, che non è né troppo grande (con l'inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l'inconveniente di complicate combinazioni di pochi segni). Inoltre tale base è ben radicata nella costituzione degli arti dell'essere umano (le 10 dita). Il sistema decimale ha una procedura di costituzione periodica dei numeri a tutti livelli praticamente identica (in pratica non c'è bisogno di basi ausiliarie come nel caso della base 60).

La vasta diffusione della base 10 è forse legata alla discesa degli Indoeuropei e all'esistenza di una sola lingua madre nel 2500-3000 aC, giacché le affinità linguistiche del lessico numerico fanno pensare a un'elaborazione precedente l'inizio della diffusione. Forse il sistema decimale si è costituito a un'epoca in cui c'era ancora la comunicazione unicamente orale, per cui i simboli scritti sarebbero addirittura più recenti dei numerali.

In certe regioni dell' Africa Occidentale già si può vedere l'utilizzo di una base 10: ad es. gli animali possono venir contati infilando conchiglie in una striscia bianca fino al numero di 10, con il quale si infila una prima conchiglia in una striscia blu che fa da supporto mnemonico esterno, si svuota la striscia bianca e la si riempie di nuovo fino sempre a 10 ecc.; quando la striscia blu arriva poi a 10 conchiglie (10 decine), si svuota e si mette una prima conchiglia in una striscia rossa (centinaia) ecc. Anche in Cina troviamo un sistema decimale ben sviluppato:

 1= yi 11= shi-yi (10+1) 100= bai
2= er 12= shi-er (10+2) 200= er-bai (2×100)
3= san 13= shi-san (10+3) 300= san-bai (3×100)
4= si
5= wu 20= er-shi (2×10) 1000= qian
6= liù 30= san-shi (3×10) 2000= er-qian (2×1000)
7= qi 40= si-shi (4×10) 10000= wan
8= ba
9= jiu
10= shi

Ad es. 53.781:
Cinquantatremilasettecentottantuno 33 lettere in italiano letterale
Wu-wan san-qian qi-bai ba-shi yi 24 lettere in cinese (nella trascrizione in alfabeto latino, che corrispondono a 9 caratteri cinesi)
Cinquediecimilatremillesettecentoottodieciuno 45 lettere traducendo in italiano letterale

10000 in italiano è dieci-mila, in cinese è un termine coniato ex novo ( wan ). In italiano vi sono comunque i termini cento e mille .

Aspetti positivi del sistema a base 10 sono come si è già detto:

  • Il miglior adattamento alla memoria umana (rispetto ad es. alla base 60)
  • Una tavola di moltiplicazione facilmente memorizzabile
  • Migliore rappresentabilità grafica rispetto a basi più piccole (es. in un sistema binario 2452 sarebbe 100110010100)

Tuttavia queste ragioni non sarebbero sufficienti rispetto a basi vicine alla base 10, quali la base 11 e la base 12. La base 12 ad es. preferita dal naturalista francese Buffon :

  • Ha più divisori , dunque calcolatori e commercianti sarebbero facilitati perché della base potrebbero utilizzare la metà, un terzo, un quarto e un sesto.
  • L'anno avrebbe un numero di mesi uguale alla base.
  • Un giorno avrebbe un numero di ore doppio della base.
  • Un'ora e un minuto avrebbero rispettivamente un numero di minuti e di secondi quintupli della base.
  • La misura in gradi del cerchio sarebbe 30 volte la base e così pure l' eclittica .

Molte ragioni per preferire la base 12 sarebbero cioè legate al fatto che molte misurazioni si effettuano ancora con base 12 o base 60 e fondamentalmente sulla presenza di un maggior numero di divisori. Quest'ultimo aspetto ha un inconveniente nella presenza di un maggior numero di ridondanze (doppioni) frazionarie (es. nel sistema decimale 0,68 è lo stesso che 68/100, 34/50 e 17/25). La base 11 invece ha una rappresentazione priva di queste ambiguità in quanto essendo un numero primo è divisibile solo per sé stessa, per cui le frazioni sarebbero irriducibili e avrebbero una sola rappresentazione simbolica possibile.

Per tutte queste ragioni però la base 10 sembra essere il giusto mezzo tra base 12 (troppi divisori) e base 11 (nessun divisore), oltre ad avere l'indubbio vantaggio di essere esemplificabile in maniera immediata dal numero delle dita delle mani con un forte vantaggio nell'apprendimento infantile. Per Alain Boyer la formalizzazione linguistica e poi scritta di una base 10 già esistente e somaticamente ben riconoscibile, è stata decisiva per il trionfo della base 10. Se, cosa abbastanza improbabile, il linguaggio scritto avesse preceduto la costituzione della base si sarebbe potuto pensare a una molteplicità di basi.

Comunque storicamente la scelta della base 10 si è definita in maniera quasi ufficiale e politica con le decisioni prese dalla Convenzione di Parigi dopo la Rivoluzione francese che disciplinò anche i sistemi di misurazione almeno per ciò che riguarda l' Europa continentale.

Nelle popolazioni più primitive le diverse basi hanno distribuzioni diseguali ma qualche residuo arcaico rimane sempre: ad es. Eels nel 1913 fece una statistica tra centinaia di tribù del Nordamerica dove concluse che il 31% faceva uso di una base 10, il 31% di una base quinaria-decimale, il 27% di una arcaica base 2, il 10% di una base vigesimale e l'1% di una base 3.

Del resto ci sono stati anche dei tentativi di usare basi non legate alla mano tipo la base 4 (anche se più probabilmente tale base è legata all'uso del pollice come cursore che conta le altre dita della mano) di cui vi è traccia nella parola indoeuropea per "8" che sarebbe solo la forma duale di "4", e anche nella relazione che si può instaurare tra il termine "novem" e il termine "novum", quasi che si fosse di fronte a una nuova serie numerica su base ottonaria.

Note

  1. ^ Enciclopedia Treccani - Numerazione , su treccani.it . URL consultato il 26 luglio 2011 .
  2. ^ Sapere.it - Numerazione , su sapere.it . URL consultato il 26 luglio 2011 .

Bibliografia

  • Cajori, Florian: A History of Mathematical Notations vol. I, The Open Court Publishing Company (1928)
  • Cajori, Florian: A History of Mathematical Notations Vol. II, The Open Court Publishing Company (1929)
  • Ifrah, George (1984) Storia universale dei numeri Milano: Mondadori. ISBN 88-04-29443-4
  • Joseph, George Gheverghese (2000) The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 2nd. ed. London: Penguin Books.
  • Nicosia, Giovanni Giuseppe (2008) Numeri e culture. Alla scoperta delle culture matematiche nell'epoca della globalizzazione. Trento: Erickson.
  • Zaslavsky, Claudia (1973) Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Third revised ed., 1999. Chicago: Lawrence Hill Books. ISBN 1-55652-350-5

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 5271 · LCCN ( EN ) sh85093233 · GND ( DE ) 4117700-9 · NDL ( EN , JA ) 00762396
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica