Sistem dinamic

Ciclică simetrice Thomas atractor

În fizică , matematică și inginerie , în special în teoria sistemelor , un sistem dinamic este un model matematic care reprezintă un obiect ( sistem ) cu un număr finit de grade de libertate care evoluează în timp în conformitate cu o lege deterministă ; de obicei, un sistem dinamic este reprezentat analitic printr-o ecuație diferențială , apoi exprimată în diferite formalisme și identificată printr-un vector în spațiul de fază , spațiul de stare al sistemului, unde „stare” este un termen care indică setul de mărimi fizice , numite variabile de stare, ale căror valori reale „descriu” sistemul la un moment dat în timp.

Descriere

Ilustrația schematică a unei reprezentări geometrice a unui sistem dinamic

Studiul sistemelor dinamice reprezintă unul dintre cele mai vechi și mai importante domenii ale matematicii și fizicii; este un model matematic folosit pentru a descrie sistemele mecanice în contextul mecanicii clasice și în reformularea sa dezvoltat de mecanica lagrangiană și mecanica hamiltoniană și care este prezent în multe domenii ale ingineriei , precum automatizarea și ingineria sistemelor . Aplicațiile sunt multiple, variind de la circuite electrice la sisteme termodinamice .

La sfârșitul secolului al XIX-lea, atunci, Henri Poincaré observă posibilitatea unui comportament extrem de neregulat al unor sisteme dinamice prin studierea problemei celor trei corpuri : în anii 50 ai secolului următor, în urma experimentelor numerice ale meteorologului Edward Lorenz , care studiază atmosfera Pământului a dezvăluit o dependență sensibilă de condițiile inițiale , rezultatele lui Poincaré au fost foarte apreciate de comunitatea științifică și au pus bazele teoriei haosului . Comportamentul haotic al sistemelor dinamice, ale căror omologi matematici pot atinge grade de complexitate care fac obligatorie utilizarea computerelor , a fost găsit în multe și diferite domenii ale studiului naturii civilizației umane, inclusiv în biologie și economie . Un sistem dinamic poate fi definit ca un sistem a cărui modelare matematică poate fi exprimată printr-o ecuație diferențială ( diferențială obișnuită sau parțială). Pornind de la aceasta, există diverse formalisme matematice utile pentru descrierea și studiul său atât în domeniile fizic, cât și ingineresc ( ingineria sistemelor și automată ).

Pot fi identificate două tipuri de sistem dinamic:

dacă evoluția are loc la intervale de timp discrete, sistemul se numește sistem dinamic discret și este definit prin iterația unei funcții;
dacă evoluția este continuă și definită printr-o ecuație diferențială , sistemul se numește sistem dinamic continuu .

O importanță deosebită sunt sistemele dinamice liniare , cele mai simple de analizat, deoarece ecuațiile neliniare nu sunt de obicei rezolvabile exact. Dintre sistemele liniare, sistemele liniare invariante în timp (sistemele LTI) sunt utilizate pe scară largă în teoria semnalului și teoria controlului . Una dintre caracteristicile sistemelor dinamice care este cel mai adesea studiată este stabilitatea . De exemplu, este obișnuit să se studieze stabilitatea în termeni de limitare a ieșirilor în raport cu o intrare limitată ( stabilitate externă ) sau în termeni de îndepărtare de o stare de echilibru ( stabilitate internă ). Pentru a analiza matematic comportamentul unui sistem dinamic, sunt utilizate mai presus de toate două tipuri de descriere, reprezentarea în spațiul de stare și formalismul domeniului frecvenței (a se vedea funcția de transfer în cazul sistemelor staționare ).

Definiție

Mai exact, pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ poate fi definit $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ astfel încât:

\Phi (0,x)=x,

{\ displaystyle \ Phi (0, x) = x,}

{\ displaystyle \ Phi (0, x) = x,}

\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)=\Phi (t_{1},\Phi (t_{2},x))=\Phi (t_{1}+t_{2},x)\qquad t_{1},t_{2},t_{1}+t_{2}\in I(x),

{\ displaystyle \ Phi (t_ {1}, x) \ circ \ Phi (t_ {2}, x) = \ Phi (t_ {1}, \ Phi (t_ {2}, x)) = \ Phi (t_ {1} + t_ {2}, x) \ qquad t_ {1}, t_ {2}, t_ {1} + t_ {2} \ în I (x),}

{\ displaystyle \ Phi (t_ {1}, x) \ circ \ Phi (t_ {2}, x) = \ Phi (t_ {1}, \ Phi (t_ {2}, x)) = \ Phi (t_ {1} + t_ {2}, x) \ qquad t_ {1}, t_ {2}, t_ {1} + t_ {2} \ în I (x),}

unde este:

I(x)=\{t\in T:(t,x)\in U\}.

{\ displaystyle I (x) = \ {t \ în T: (t, x) \ în U \}.}

{\ displaystyle I (x) = \ {t \ în T: (t, x) \ în U \}.}

Aceasta reflectă faptul că legea evoluției $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ a sistemului în sine nu se schimbă în timp. Funcții $\Phi (t,x)$ ${\ displaystyle \ Phi (t, x)}$ $\ Phi (t, x)$ parametrizat de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , cu legea compoziției $\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)$ ${\ displaystyle \ Phi (t_ {1}, x) \ circ \ Phi (t_ {2}, x)}$ ${\ displaystyle \ Phi (t_ {1}, x) \ circ \ Phi (t_ {2}, x)}$ , formează un grup comutativ cu un singur parametru . Frecvent în cazul discret $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ coincide cu $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , în timp ce în cazul continuu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ coincide cu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . ^[1]

Graficul $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este traiectoria sistemului de-a lungul timpului și al întregului:

\gamma _{x_{0}}:=\{\Phi (t,x_{0}):t\in I(x_{0})\},

{\ displaystyle \ gamma _ {x_ {0}}: = \ {\ Phi (t, x_ {0}): t \ in I (x_ {0}) \},}

{\ displaystyle \ gamma _ {x_ {0}}: = \ {\ Phi (t, x_ {0}): t \ in I (x_ {0}) \},}

este orbita care trece prin $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ (adică imaginea de flux în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ).

Un subset $S\subset M$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ si a zis $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ - invariant dacă:

\Phi (t,x)\in S\qquad \forall x\in S\quad \forall t\in T.

{\ displaystyle \ Phi (t, x) \ in S \ qquad \ forall x \ in S \ quad \ forall t \ in T.}

{\ displaystyle \ Phi (t, x) \ in S \ qquad \ forall x \ in S \ quad \ forall t \ in T.}

În special, astfel încât $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este invariant trebuie să apară $I(x)=T$ ${\ displaystyle I (x) = T}$ ${\ displaystyle I (x) = T}$ pentru toți $x\in S$ ${\ displaystyle x \ în S}$ $x \ în S$ , adică fluxul lung $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ trebuie definit pentru toate punctele $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ oricand.

Apoi avem următoarea definiție: fi $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ o varietate diferențială $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ terminat și $\Phi =\{\Phi ^{t},\;t\in T\}$ ${\ displaystyle \ Phi = \ {\ Phi ^ {t}, \; t \ in T \}}$ ${\ displaystyle \ Phi = \ {\ Phi ^ {t}, \; t \ in T \}}$ un grup de difeomorfisme ale hărților regulate $\Phi ^{t}:U\to U$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t}: U \ to U}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {t}: U \ to U}$ , apoi cuplul $(U,\Phi )$ ${\ displaystyle (U, \ Phi)}$ ${\ displaystyle (U, \ Phi)}$ se numește sistem dinamic inversabil regulat ( continuu dacă $T=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {R}}$ sau discret dacă $T=\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {Z}}$ sau $T=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {N}}$ ).

Sisteme fizice

Același subiect în detaliu: Mecanica Lagrangiană și Mecanica Hamiltoniană .

Dinamica sistemelor fizice poate fi caracterizată prin faptul că mișcarea lor între două puncte de coordonate generalizate $\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t_ {1})}$ Și $\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t_ {2})}$ urmează o cale care face acțiunea funcțională staționară, adică la variația zero: ^[2]

\delta {\mathcal {A}}=0,

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {A}} = 0,}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {A}} = 0,}

în conformitate cu principiul celei mai mici acțiuni ( principiul variațional al lui Hamilton ). Acțiunea este integrala în timp a Lagrangianului ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ : ^[3]

{\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t,

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t,}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t,}

unde este ${\mathcal {L}}\in {\mathcal {C}}^{2}[t_{1},t_{2}]$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ în {\ mathcal {C}} ^ {2} [t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ în {\ mathcal {C}} ^ {2} [t_ {1}, t_ {2}]}$ . Dovedește că ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ definită în acest fel, satisface ecuațiile Euler-Lagrange :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

unde este ${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$ Făcerea acțiunii staționare corespunde minimizării energiei sistemului în cauză și, de obicei, se face o funcție care să corespundă cu energia totală a sistemului ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ , numit hamiltonian și introdus în 1835 de William Rowan Hamilton , care depinde de coordonatele generalizate $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ și din momentele respective conjugate:

p_{j}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\implies \mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle p_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} , \ mathbf {q}, t) \ implica \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}} {\ mathcal {L}} ({\ punct {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle p_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} , \ mathbf {q}, t) \ implica \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}} {\ mathcal {L}} ({\ punct {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}

Hamiltonianul este dat de sumă ${\mathcal {H}}=T+V$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + V}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + V}$ a energiei cinetice $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și energie potențială $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a sistemului, și este transformata Legendre a Lagrangianului ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ : ^[4] ^[5]

{\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L }} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L }} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}

unde este ${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$ . Formalizarea unei probleme dinamice prin principiul acțiunii minime (valabilă pentru sistemele holonomice și monogene ) stă la baza reformulării mecanicii clasice dezvoltată de mecanica hamiltoniană și lagrangiană.

În special ecuațiile Hamilton :

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\qquad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }},

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q }}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {q}} {\ mathrm {d} t}} = + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q }}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {q}} {\ mathrm {d} t}} = + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}},}

acestea sunt echivalente cu ecuațiile de mișcare Euler-Lagrange, care la rândul lor sunt echivalente cu ecuațiile lui Newton . ^[6]

Principiul conservării energiei este apoi exprimat, în acest context, spunând că ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este o primă integrală a ecuațiilor lui Hamilton sau cu faptul că Lagrangianul nu depinde în mod explicit de timp:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0.

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} = 0.}

Mai general, prin teorema lui Noether la fiecare simetrie a Lagrangianului sau la fiecare transformare continuă infinitesimală a coordonatelor $({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ care lasă neschimbată ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ , corespunde unei cantități conservate .

Exemplu

În mecanica clasică, un exemplu elementar de sistem dinamic este furnizat de un punct care se mișcă în spațiu. Punctul este complet caracterizat prin poziția sa $r(t)$ ${\ displaystyle r (t)}$ $r (t)$ (un vector dependent de $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ ) și viteza acestuia $v(t)={\dot {r}}(t)=dr/dt$ ${\ displaystyle v (t) = {\ dot {r}} (t) = dr / dt}$ ${\ displaystyle v (t) = {\ dot {r}} (t) = dr / dt}$ . Starea acestui sistem este vectorul $(r(t),v(t))\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle (r (t), v (t)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (r (t), v (t)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , unde este $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este spațiul de stare utilizat și elementele sale reprezintă toate stările posibile pe care sistemul le poate asuma. Spațiul de stare este numit și spațiul de fază . Prin urmare, evoluția temporală a punctului este dată de cele două derivate:

{\dot {r}}(t)=v(t),\quad {\ddot {r}}(t)={\dot {v}}(t)=a,

{\ displaystyle {\ dot {r}} (t) = v (t), \ quad {\ ddot {r}} (t) = {\ dot {v}} (t) = a,}

{\ displaystyle {\ dot {r}} (t) = v (t), \ quad {\ ddot {r}} (t) = {\ dot {v}} (t) = a,}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este accelerarea punctului (care depinde de suma forțelor la care este supus). Definire:

x(t)=(r(t),v(t)),

{\ displaystyle x (t) = (r (t), v (t)),}

{\ displaystyle x (t) = (r (t), v (t)),}

mișcarea punctului poate fi scrisă cu ecuația ordinară autonomă :

{\dot {x}}(t)=f(x(t))

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t))}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t))}

Alegând un punct și o viteză inițiale $x_{0}=(r_{0},v_{0})$ ${\ displaystyle x_ {0} = (r_ {0}, v_ {0})}$ ${\ displaystyle x_ {0} = (r_ {0}, v_ {0})}$ , adică prin plasare $x(t=0)\equiv x_{0}$ ${\ displaystyle x (t = 0) \ equiv x_ {0}}$ ${\ displaystyle x (t = 0) \ equiv x_ {0}}$ , obținem evoluția sistemului pornind de la $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ( problemă cauchy pentru ecuația diferențială).

Toate sistemele dinamice în timp continuu sunt scrise în același mod, posibil cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care depinde în mod explicit de timp:

{\dot {x}}(t)=f(x(t),t)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t), t) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t), t) \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

unde este $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ este cel puțin o funcție diferențiată . Acest sistem poate fi urmărit înapoi la cel autonom ( $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ) cu o schimbare de variabile.

Soluția $(x_{0},t)$ ${\ displaystyle (x_ {0}, t)}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, t)}$ dupa cum $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este traiectoria ( orbita ) urmată de sistem în spațiul de fază începând de la $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . În configurarea formală a studiului unui sistem dinamic, ne asigurăm că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este suficient de regulat pentru a oferi o soluție unică ( teorema existenței și unicității ), în conformitate cu faptul că evoluția sistemului pornind de la un punct dat este unică. În general, un sistem dinamic $(T,M,\Phi )$ ${\ displaystyle (T, M, \ Phi)}$ $(T, M, \ Phi)$ este definit de un grup (sau un semigrup ) $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , care este setul de valori ale parametrului timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Este un set $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , numit spațiu de fază sau spațiu de stare. Funcția de evoluție a timpului ( flux ) $\Phi \colon U\subset T\times M\to M$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon U \ subset T \ times M \ to M}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon U \ subset T \ times M \ to M}$ determină acțiunea de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . În teoria ergodică $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un spațiu măsurabil cu măsură de probabilitate $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este o funcție măsurabilă care păstrează $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , în timp ce se află în așa-numita topologie dinamică $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un spațiu topologic complet e $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este o funcție continuă (adesea și inversabilă ). ^[7]

Exemple tipice de sisteme dinamice continue sunt:

sistemul de pradă-prădător Volterra-Lotka pentru dinamica populației;
sistemul Lorenz pentru evoluția condițiilor meteorologice.

Exemple de sisteme dinamice discrete sunt:

Clasificare

Sisteme continue

Având în vedere o varietate $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , este $v:S\to S$ ${\ displaystyle v: S \ to S}$ ${\ displaystyle v: S \ to S}$ un câmp vector diferențiat , adică care se asociază fiecărui punct $z\in S$ ${\ displaystyle z \ in S}$ $z \ în S$ un vector ale cărui coordonate sunt legate de coordonatele lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ (definit în vecinătatea sa cu privire la o bază) prin intermediul unei funcții diferențiabile. Un sistem dinamic este definit de ecuația autonomă ( ecuația mișcării pentru sistemele mecanice):

v(z)={\frac {dz}{dt}}.

{\ displaystyle v (z) = {\ frac {dz} {dt}}.}

{\ displaystyle v (z) = {\ frac {dz} {dt}}.}

Deoarece aceasta este o ecuație diferențială obișnuită , existența relativă și teorema unicității soluției stabilește că luarea unui punct inițial $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ există o gamă $-a\leq t\leq b$ ${\ displaystyle -a \ leq t \ leq b}$ ${\ displaystyle -a \ leq t \ leq b}$ , cu $a,b>0$ ${\ displaystyle a, b> 0}$ ${\ displaystyle a, b> 0}$ , în care sistemul dinamic are o soluție unică $z(t)=\phi _{t}(z_{0})$ ${\ displaystyle z (t) = \ phi _ {t} (z_ {0})}$ ${\ displaystyle z (t) = \ phi _ {t} (z_ {0})}$ .

Dacă soluția ( traiectoria ) există pentru toate timpurile și pentru orice alegere a punctului de plecare $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ avem faptul că timpul poate curge în direcția opusă, adică este posibil să prezicem trecutul cunoscând o stare a sistemului în viitor. În special, se întâmplă că $\phi _{t}^{-1}=\phi _{-t}$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {- 1} = \ phi _ {- t}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {- 1} = \ phi _ {- t}}$ iar setul de $\phi _{t}$ ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$ formează un grup continuu cu un parametru de difeomorfisme pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Structura matematică care este atribuită spațiului de fază $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu toate acestea depinde de context; de obicei este un spațiu topologic , în care are sens să vorbim de continuitate în evoluția temporală a statului. Un spațiu topologic în care este posibil să se utilizeze instrumente metrice și diferențiale este, de exemplu, varietatea diferențiată , una dintre cele mai utilizate structuri, deoarece este deosebit de potrivit pentru modelarea sistemelor fizice . Pentru sistemele în care o noțiune de măsură este asociată cu starea, de exemplu o probabilitate , se folosește un spațiu măsurabil . De asemenea, necesită ca fluxul $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este compatibil cu structura $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ : În cazul în care $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este respectiv un spațiu topologic, un spațiu măsurabil, o varietate diferențiată sau o varietate complexă, $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este un homeomorfism , o funcție măsurabilă , un difeomorfism sau o funcție holomorfă .

Sisteme discrete

Sistemele dinamice discrete sunt definite printr-o iterație de tipul:

X_{n+1}=f(X_{n})\qquad n\geq 0,

{\ displaystyle X_ {n + 1} = f (X_ {n}) \ qquad n \ geq 0,}

{\ displaystyle X_ {n + 1} = f (X_ {n}) \ qquad n \ geq 0,}

a unei funcții $f:S\to S$ ${\ displaystyle f: S \ to S}$ ${\ displaystyle f: S \ to S}$ , cu $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ . Poate fi văzut ca o ecuație diferențială :

X_{n+1}-X_{n}=f(X_{n})-X_{n}\qquad n\geq 0,

{\ displaystyle X_ {n + 1} -X_ {n} = f (X_ {n}) - X_ {n} \ qquad n \ geq 0,}

{\ displaystyle X_ {n + 1} -X_ {n} = f (X_ {n}) - X_ {n} \ qquad n \ geq 0,}

decât definitorie $F(X_{n})=f(X_{n})-X_{n}$ ${\ displaystyle F (X_ {n}) = f (X_ {n}) - X_ {n}}$ ${\ displaystyle F (X_ {n}) = f (X_ {n}) - X_ {n}}$ ia aceeași formă ca și ecuația diferențială obișnuită a cazului continuu.

Orbitele unui sistem discret sunt o succesiune de stări $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ . Prin urmare, grupul de transformări este dat de set:

G=\{Id,f,f^{2},f^{3},\dots f^{n},\dots \}.

{\ displaystyle G = \ {Id, f, f ^ {2}, f ^ {3}, \ dots f ^ {n}, \ dots \}.}

{\ displaystyle G = \ {Id, f, f ^ {2}, f ^ {3}, \ dots f ^ {n}, \ dots \}.}

unde expresia $f^{k}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ indică compoziția funcțiilor $f\circ \dots \circ f$ ${\ displaystyle f \ circ \ dots \ circ f}$ ${\ displaystyle f \ circ \ dots \ circ f}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu sine însuși iterat $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ori.

Clasificare bazată pe intrări și ieșiri

În domeniul ingineriei, sistemele dinamice sunt clasificate în funcție de numărul de variabile de intrare și ieșire, de fapt avem:

sisteme de intrare simplă și ieșire simplă ( SISO , din engleză single input-single output );
sisteme multiple de intrare și ieșire multiplă ( MIMO , din engleză multiple input-multiple output );

și mai rar:

sisteme de intrare simplă și de ieșire multiplă ( SIMO , din engleză single input-multiple output );
sisteme multiple de intrare și ieșire simplă ( MISO , de la intrare multiplă-ieșire simplă ).

Sisteme liniare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

O tehnică utilizată pentru a studia o problemă neliniară

{\dot {x}}=f(x(t))

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x (t))}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x (t))}

în vecinătatea unui punct de echilibru este să-l aproximăm la un sistem liniar

{\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)

{\ displaystyle {\ dot {z}} = J_ {f} (x_ {0}) \ cdot z (t)}

{\ displaystyle {\ dot {z}} = J_ {f} (x_ {0}) \ cdot z (t)}

într-un cartier al punctului de echilibru prin matricea iacobiană

J_{f}

{\ displaystyle J_ {f}}

{\ displaystyle J_ {f}}

din

f

{\ displaystyle f}

f

. În funcție de comportamentul sistemului (în funcție de determinantul

J_{f}

{\ displaystyle J_ {f}}

{\ displaystyle J_ {f}}

) echilibrul este clasificat ca stabil, asimptotic stabil

O clasă foarte importantă de sisteme dinamice este cea a sistemelor liniare, în care legătura dintre variabilele de intrare și ieșire este liniară . Acestea sunt utilizate, de exemplu, în teoria semnalului sau teoria circuitelor și sunt adesea analizate în frecvență prin utilizarea transformărilor integrale , cum ar fi transformata Fourier sau transformata Laplace .

Un sistem liniar de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ State $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf x \ in \ R ^ n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ intrare $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbf u \ in \ R ^ m$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ieșiri $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ $\ mathbf y \ in \ R ^ q$ este descris de o ecuație precum: ^[8]

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t),

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t),}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t),}

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t),

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t),}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t),}

unde este $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ , $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ${\ displaystyle B \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ ${\ displaystyle B \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ , $C\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R} ^ {q \ times n}}$ ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R} ^ {q \ times n}}$ Și $D\in \mathbb {R} ^{q\times m}$ ${\ displaystyle D \ in \ mathbb {R} ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle D \ in \ mathbb {R} ^ {q \ times m}}$ sunt matrici (care în cazul staționar nu depind de timp).

Sisteme liniare și staționare

Același subiect în detaliu: sistem invariant în timp, sistem dinamic liniar staționar și sistem dinamic liniar staționar discret .

Un sistem liniar și staționar dinamic este, de asemenea, numit liniar timp-invariant , adesea prescurtat cu acronimul LTI (din engleza Linear Time-Invariant ). În cazul unui sistem continuu, acesta se caracterizează prin faptul că ieșirea $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ pentru un semnal de intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este descris de convoluție :

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

{\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t- \ tau) \ cdot h (\ tau) \, \ operatorname { d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} x (t- \ tau) \ cdot h (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau

unde este $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ este răspunsul la impuls , adică răspunsul sistemului la intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o funcție delta Dirac . Dacă funcția $h(\tau )$ ${\ displaystyle h (\ tau)}$ $h (\ tau)$ nu este nimic când $\tau <0$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ $\ tau <0$ asa de $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ depinde doar de valorile asumate de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ înainte de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , iar sistemul se numește cauzal .

Un sistem discret de timp transformă secvența în intrare $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ într-o altă succesiune $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ , dat de convoluția discretă cu răspunsul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ spre delta Kronecker :

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

Elementele $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ poate depinde de orice element al $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ . Obișnuit $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ depinde mai mult de elementele din apropierea timpului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Sistemele staționare liniare sunt adesea descrise în domeniul frecvenței ( răspuns de frecvență ) prin funcția de transfer , definită ca transformarea Laplace a răspunsului impulsului Delta.

Sisteme proprii strict

O altă clasificare pentru sistemele liniare le împarte în strict adecvate (sau pur dinamice ) atunci când ieșirea depinde exclusiv de stările sistemului și, în acest caz, în reprezentarea matricei, aceasta corespunde unei matrice $D(t)$ ${\ displaystyle D (t)}$ $D (t)$ nimic, în timp ce vorbim despre un sistem necorespunzător în toate celelalte cazuri. Un caz particular al unui sistem adecvat apare atunci când este matricea $C(t)$ ${\ displaystyle C (t)}$ ${\ displaystyle C (t)}$ la zero, în acest caz sistemul este numit nedinamic și nu este necesar să recurgeți la variabile de stare pentru a-l reprezenta, deoarece legătura dintre intrare și ieșire este instantanee. ^[9] Este posibil să se arate că un sistem pur dinamic are o funcție de transfer cu un grad al numărătorului mai mic decât cel al numitorului, în timp ce un sistem nedinamic are în mod evident o funcție de transfer cu un grad de zero.

Sisteme neliniare

Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico non lineare .

Sistemi complessi

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della complessità e Sistema complesso .

In fisica moderna un sistema complesso è un sistema dinamico a multicomponenti ovvero composto da diversi sottosistemi che tipicamente interagiscono tra loro. Tali sistemi vengono studiati tipicamente attraverso apposite metodologie di indagine di tipo "olistico" ovvero come computazione "in toto" ("il tutto è maggiore della somma delle singole parti") dei comportamenti dei singoli sottosistemi assieme alle loro reciproche interazioni (eventualmente non-lineari), descrivibili analiticamente tramite modelli matematici, anziché in maniera "riduzionistica" (cioè scomponendo e analizzando il sistema nei suoi componenti).

Analisi

Lo stesso argomento in dettaglio: Analisi dei sistemi dinamici .

L' analisi dei sistemi dinamici o è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono un modello matematico di sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, in meccanica classica le equazioni del moto di Newton sono state riformulate dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana , mentre in ingegneria i sistemi dinamici - che possono essere ad esempio circuiti - hanno una uscita ( output ) e un ingresso ( input ). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi dei sistemi di controllo .

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o più equazioni differenziali per le quali si specificano dei dati iniziali .

Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza

Lo stesso argomento in dettaglio: Risposta impulsiva , Dominio della frequenza e Rappresentazione spettrale dei segnali .

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (la trasformata di Laplace è mostrata in rosso).

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l'analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo (o segnale) ne indica la descrizione in termini dell'insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell'ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Rappresentazione nello spazio di stato

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio di stato .

Descrizione nello spazio delle fasi del moto caotico di un pendolo sotto l'influenza di una forza esterna.

In fisica matematica, in particolare in meccanica razionale e nella teoria dei sistemi dinamici, una ' rappresentazione in spazio di stato , nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano uno spazio vettoriale in cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Rappresentazione grafica

Traiettorie di stato

Supponendo di perturbare un sistema ed osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio , ovvero un punto fisso dell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall' equilibrio termico di un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Modello a scatole

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria dei Sistemi .

Modello black box

Nell' ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black-box , Modello white-box e Modello grey-box ).

L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddetta funzione di trasferimento ovvero il rapporto tra la trasformata di laplace dell'ingresso e la trasformata dell'uscita ovvero tramite la cosiddetta risposta impulsiva, antitrasformata della funzione di trasferimento ovvero risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dalla convoluzione di tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ovvero con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).

Stabilità e punti di equilibrio

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della stabilità .

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità del punto di equilibrio

x_{0}

x_{0}

x_0

: le soluzioni che partono dentro

V

{\displaystyle V}

V

rimangono in

U

{\displaystyle U}

U

per tutta l'evoluzione del sistema.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio la stabilità esterna , anche detta stabilità BIBO (da Bounded Input, Bounded Output ), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure la stabilità interna , che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione di equilibrio dopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento di sistemi lineari stazionari (per i quali si valutano i poli della funzione di trasferimento ), mentre la stabilità interna sfrutta la rappresentazione in spazio di stato del sistema ed è stata studiata in particolare da Aleksandr Michajlovič Ljapunov .

L'analisi della stabilità di un sistema meccanico è collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda il teorema di Lagrange-Dirichlet ).

Stabilità interna

Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità interna .

In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo.

Stabilità esterna

Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità esterna .

Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un $M<\infty$ $M<\infty$ $M<\infty$ tale che:

\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.

\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.

\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.

Nel caso di sistemi dinamici lineari , un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva $h(t)$ ${\displaystyle h(t)}$ $h(t)$ è assolutamente integrabile , cioè esiste un $M'<\infty$ $M'<\infty$ $M'<\infty$ tale che: ^[10]

\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.

\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.

\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.

Stabilità strutturale

Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità strutturale .

In matematica, la stabilità strutturale è una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici descrivibile qualitativamente come l'inalterabilità delle traiettorie a seguito di piccole perturbazioni di classe $C^{1}$ $C^{1}$ $C^1$ . Esempi di queste proprietà qualitative sono il numero di punti fissi e di orbite periodiche (ma non i loro periodi). A differenza della stabilità secondo Lyapunov, che considera perturbazioni nelle condizioni iniziali di un certo sistema, la stabilità strutturale riguarda le perturbazioni del sistema stesso. Le varianti di questa nozione si applicano ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie, ai campi vettoriali su varietà regolari, i flussi da essi generati, ei diffeomorfismi.

Controllabilità e osservabilità

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria del controllo , Controllabilità e Osservabilità .

Esempio di controllo ad anello

I concetti di controllabilità e osservabilità di un sistema dinamico sono stati introdotti da Kalman nel 1960 e sono alla base della teoria del controllo . Informalmente, un sistema è controllabile se è possibile portarlo in qualsiasi configurazione finale agendo opportunamente sull'ingresso in un tempo finito; viceversa, è osservabile se dall'uscita è possibile risalire allo stato del sistema. Nei sistemi lineari controllabilità e osservabilità sono due proprietà duali.

Sistemi lineari

Dato un sistema dinamico lineare :

{\dot {x}}=Ax+bu

{\dot {x}}=Ax+bu

{\dot {x}}=Ax+bu

y=c^{T}x

y=c^{T}x

y=c^{T}x

dove $c^{T}$ $c^{T}$ $c^{T}$ è un vettore costante, si consideri la matrice:

T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.

T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.

T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.

Il sistema è completamente osservabile se il rango di $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ è massimo.

Considerando invece la matrice:

R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},

R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},

R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},

il sistema è completamente controllabile se la matrice ha rango massimo.

Definendo il sistema duale: ^[11]

{\dot {x}}=A^{T}x+cu

{\dot {x}}=A^{T}x+cu

{\dot {x}}=A^{T}x+cu

y=b^{T}x

y=b^{T}x

y=b^{T}x

si dimostra che il sistema di partenza è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Sistemi non lineari

Dato un sistema dinamico definito su una varietà $M\in C^{\infty }$ $M\in C^{\infty }$ $M\in C^{\infty }$ di dimensione $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ :

{\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M

{\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M

{\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M

y=g(x)

{\displaystyle y=g(x)}

y=g(x)

con $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ l'ingresso, $y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y\in \mathbb {R} ^{n}$ l'uscita e $f,g\in C^{\infty }$ $f,g\in C^{\infty }$ $f,g\in C^{\infty }$ , i problemi di controllabilità si traducono nel verificare se lo spazio delle fasi $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili (altrimenti il sistema non è osservabile) o se, al contrario, contiene stati che il sistema non può raggiungere (il sistema non è controllabile).

Una descrizione matematica comunemente utilizzata considera l' algebra di Lie $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ di campi vettoriali sullo spazio delle fasi $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ generata dal campo vettoriale $f(\cdot ,u)$ $f(\cdot ,u)$ $f(\cdot ,u)$ , con $u\in \Omega$ $u\in \Omega$ $u\in \Omega$ un controllo costante: se la dimensione dell'algebra è costante esiste un'unica sotto-varietà $M'\subset M$ $M'\subset M$ $M'\subset M$ tangente lo stato iniziale $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ contenente tutte le orbite raggiungibili dal sistema (andando avanti o all'indietro nel tempo) passanti per $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ . Se la dimensione di $F(x_{0})$ $F(x_{0})$ $F(x_{0})$ è $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ allora $M=M'$ ${\displaystyle M=M'}$ $M=M'$ e il sistema è in qualche modo controllabile; in caso contrario, se la dimensione è minore di $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ si considera solo l'insieme $M^{'}$ ${\displaystyle M'}$ $M'$ in cui il sistema è controllabile. ^[12]

Sistemi ergodici

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria ergodica .

La teoria ergodica (dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Teoria delle biforcazioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria delle biforcazioni .

Biforcazioni nella mappa logistica

La teoria delle biforcazioni si occupa delle variazioni nella struttura delle orbite di un sistema dinamico al variare di un parametro del sistema, nel caso in cui tali variazioni non siano topologicamente equivalenti .

Caos e attrattori

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria del caos e Attrattore .

In matematica la teoria del caos è lo studio, attraverso modelli propri della fisica matematica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Esempio

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

la sezione del serbatoio $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ che rimane costante nel tempo;
una costante generale $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ del liquido considerato che comprende diversi fattori costanti rispetto al tempo come la densità del liquido e la dimensione del foro;
il livello di acqua nel serbatoio $x(t)$ ${\displaystyle x(t)}$ $x(t)$ che definiamo come variabile di stato del sistema;
la portata d'acqua entrante che definiamo ingresso del sistema $u(t);$ ${\displaystyle u(t);}$ $u(t);$
la portata uscente dell'acqua che definiamo uscita del sistema $y(t)$ ${\displaystyle y(t)}$ $y(t)$ che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema, infatti $y(t)=Kx(t).$ ${\displaystyle y(t)=Kx(t).}$ $y(t)=Kx(t).$

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema $x(t-\Delta t).$ $x(t-\Delta t).$ $x(t-\Delta t).$ Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:

{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).

{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).

{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ posso ragionare sulle variabili del sistema:

so che $u(t)-Kx(t)$ ${\displaystyle u(t)-Kx(t)}$ $u(t)-Kx(t)$ corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
so che tale valore è uguale a $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ (in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
$u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$ $u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$ $u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$
ricavo il rapporto ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ e ottengo
${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo $\Delta t$ $\Delta t$ $\Delta t$ che viene scelto "empiricamente" tramite la formula $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ ossia $0,1$ ${\displaystyle 0,1}$ $0,1$ diviso il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.

Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un equilibrio dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato di equilibrio che si conservi nel tempo.

Note

^ ( EN ) Jinpeng An - Homogeneous Dynamics Archiviato il 20 settembre 2015 in Internet Archive .
^ ( EN ) Analytical Mechanics, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ ( EN ) Simon JA Malham - An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics
^ ( EN ) Britannica - Hamiltonian function
^ ( EN ) LN Hand, JD Finch, Analytical Mechanics , Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Ernst Hairer - Lecture 1: Hamiltonian systems
^ Treccani: Enciclopedia del Novecento II Supplemento (1998) - Sistemi dinamici
^ Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici Archiviato il 25 aprile 2016 in Internet Archive .
^ Classificazione dei sistemi dinamici Archiviato il 25 aprile 2016 in Internet Archive . su unibs.it
^ ( EN ) Mauricio de Oliveira - Stability
^ ( EN ) William J. Terrel - Controllability, Observability, and Duality
^ ( EN ) Robert Hermann, Arthur J. Krener - Nonlinear Controllability and Observability

Bibliografia

( EN ) VI Arnold , Mathematical methods of classical mechanics , Springer-Verlag, 1982, ISBN 0-387-96890-3 .
( EN ) Jacob Palis and Wellington de Melo, Geometric theory of dynamical systems: an introduction , Springer-Verlag, 1982, ISBN 0-387-90668-1 .
( EN ) David Ruelle , Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory , Academic Press, 1989, ISBN 0-12-601710-7 .
( EN ) Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds. , Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces , Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X .
( EN ) Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw, Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition , Addison-Wesley, 1992, ISBN 0-201-56716-4 .
( EN ) Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and James A. Yorke , Chaos. An introduction to dynamical systems , Springer Verlag, 2000, ISBN 0-387-94677-2 .
( EN ) Oded Galor, Discrete Dynamical Systems , Springer, 2011, ISBN 978-3-642-07185-0 .
( EN ) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems , Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5 .
( EN ) James Meiss, Differential Dynamical Systems , SIAM, 2007, ISBN 0-89871-635-7 .
( EN ) Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert Devaney, Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos , Academic Press, 2003, ISBN 0-12-349703-5 .
( EN ) Julien Clinton Sprott, Chaos and time-series analysis , Oxford University Press, 2003, ISBN 0-19-850839-5 .
( EN ) Steven H. Strogatz , Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology chemistry and engineering , Addison Wesley, 1994, ISBN 0-201-54344-3 .
( EN ) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
( EN ) Stephen Wiggins, Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos , Springer, 2003, ISBN 0-387-00177-8 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su sistema dinamico

Collegamenti esterni

( EN ) DV Anosov, Dynamical system , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Michael Proctor - Dynamical Systems ( PDF ), su damtp.cam.ac.uk .
Carla Dionisi - Sistemi dinamici ( PDF ), su web.math.unifi.it .
( EN ) Evans M. Harrell II - Dynamical Systems and Chaos , su mathphysics.com .
( EN ) Eric W. Weisstein, Dynamical System , in MathWorld , Wolfram Research.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 21431 · NDL ( EN , JA ) 00576625

Portale Controlli automatici

Portale Fisica

Portale Matematica

[1] ( EN ) Jinpeng An - Homogeneous Dynamics Archiviato il 20 settembre 2015 in Internet Archive .

[2] ( EN ) Analytical Mechanics, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[3] ( EN ) Simon JA Malham - An introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics

[4] ( EN ) Britannica - Hamiltonian function

[5] ( EN ) LN Hand, JD Finch, Analytical Mechanics , Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[6] Ernst Hairer - Lecture 1: Hamiltonian systems

[7] Treccani: Enciclopedia del Novecento II Supplemento (1998) - Sistemi dinamici

[8] Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici Archiviato il 25 aprile 2016 in Internet Archive .

[9] Classificazione dei sistemi dinamici Archiviato il 25 aprile 2016 in Internet Archive . su unibs.it

[10] ( EN ) Mauricio de Oliveira - Stability

[11] ( EN ) William J. Terrel - Controllability, Observability, and Duality

[12] ( EN ) Robert Hermann, Arthur J. Krener - Nonlinear Controllability and Observability

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]