Sistem numeric ieftin

Pentru a număra de la 1 la 10 pe o bază brânză, puteți utiliza falangele unei mâini, în loc de toate cele zece degete.

Sistemul numeric duodecimal (numit și duzină sau bază 12 , adesea prescurtat doz ) este un sistem de numerotare pozițională care folosește douăsprezece cifre , adică în acest sistem valorii zece și valoarea unsprezece sunt atribuite propriilor simboluri, mai degrabă decât recurgerea la la combinații de mai multe simboluri.

Ca o cifră pentru a înlocui zece, puteți utiliza:

• ᘔ (un 2 inversat) ^[1]
• χ (un Chi cu litere mici) (de la cifra romană X) ^{[2] [3] [4]}
• A (similar cu sistemul hexadecimal )
• T (din engleza „Ten”)
• X (din cifra romană X)

Cu toate acestea, pentru a înlocui cele unsprezece, puteți utiliza:

• B (similar cu sistemul hexadecimal )
• E (din engleză „Eleven”)
• ε (un Epsilon cu litere mici, adică un invers 3 ) ^{[1] [2] [3] [4]}

Deși din punct de vedere tehnic nu există nume reale, în lumea de limbă engleză cele două cifre suplimentare sunt uneori numite Dek (din greaca dec a ) și respectiv El (din engleza el even ). ^{[2] [3]}

Valoarea doisprezece, pe care într-un sistem zecimal clasic am fi scris-o ca „12” (care înseamnă „1 deceniu + 2 unități”), este raportată aici ca „10” („1 duzină + 0 unități”). Rezultă că, dacă am scrie „12” într-un sistem ieftin, indicăm valoarea pe care, în sistemul zecimal, am fi indicat-o ca „14”. Pe o scară mai mare există notația „100”: în sistemul zecimal înseamnă „1 zece de zeci” și indică numărul o sută , în timp ce în sistemul duodecimal indică „1 duzină de duzină”, venind să indice zecimalul „144” (12 × 12). Valoarea de bază de 12 sute este scrisă "84" (adică "8 duzini + 4 unități"). Dimpotrivă, scrierea „0,1” nu indică o zecime dintr-o unitate, ci o doisprezecea (0,08 3 ) și „0,01” nu un cent, ci o sută patruzeci și patru (0,0069 4 ).

Numărul doisprezece este un număr foarte compus , de fapt este cel mai mic număr cu patru divizori (2, 3, 4 și 6, cu excepția 1 și 12), precum și cel mai mic pentru a fi multiplu al primelor patru numere naturale. Acest lucru implică versatilitatea sa de a fi folosit ca bază a unui sistem numeric, fiind o bază duodecimală mai confortabilă în viața de zi cu zi decât o bază zecimală. Un exemplu pot fi primele fracții:

(În verde , cazurile în care o versiune este mai scurtă decât cealaltă și, prin urmare, preferabilă)

Origini

Același subiect în detaliu: Sistem de numerotare § Falange și baza 12 .

Limbile umane care folosesc un sistem de numere de bază 12 sunt rare. De fapt, nu putem menționa decât limbile învecinate din Nigeria și India , cum ar fi dialectele africane Janji, Gbiri-Niragu, Piti și Gwandara, sau Nepali Chepang și Maldivian . ^{[5] [6]}

Limbile germanice au nume proprii, și nu compuse, pentru numerele 11 și 12, precum unsprezece și douăsprezece în engleză , elleve și tolv în daneză , elf și zwölf în germană etc. Acest lucru ne duce adesea să credem că sunt reziduuri ale unui vechi sistem duodecimal; în realitate se crede că aceste cuvinte derivă din proto-germanic * ainlif și * twalif și înseamnă literalmente unul dincolo și două dincolo , arătând astfel natura lor zecimală. ^{[7] [8]}

Din punct de vedere istoric, unitățile de timp ale multor civilizații se referă la numărul 12 ca pivot central. Există, de exemplu, 12 semne zodiacale, 12 luni într-un an și 12 ore într-o zi babiloniană . În tradiția chineză, calendarele , ceasurile și busolele se bazează pe cele douăsprezece ramuri pământești . În sistemul imperial britanic , 12 inci alcătuiesc un picior, o lire este egală cu 12 uncii de troy și 12 bănuți echivalează odată cu un șiling .

Romanii antici , deși nu aveau un sistem pozițional, ci aditiv , au folosit un sistem fracțional bazat pe 12 în care partea a douăsprezecea a unității a fost numită uncia , de unde și actuala uncie și inch engleză. Mult mai târziu, Carol cel Mare a instituit și un nou sistem monetar în imperiul său în care 12 denari alcătuiau un ban.

Conversia între baze

Metoda de a adăuga multipli de puteri de bază

Să ne imaginăm că trebuie să convertim numărul ieftin 3'1A5'B23.6 într-o bază zecimală. În primul rând, trebuie să exprimăm numărul ca suma produselor între cifre simple și puteri ale bazei. Adică: 3'1A5'B23.6 = 3'000'000 + 100'000 + A0'000 + 5'000 + B00 + 20 + 3 + 0.6

Acest lucru se datorează faptului că fiecare dintre numerele obținute corespunde formulei c * b ^z , unde c este cifra care caracterizează numărul (de exemplu 5 în 5 000 ), b este baza și z este numărul de zerouri (de exemplu 5 în 1 00'000 ). După aceea, este necesar să luați forma c * b ^z a fiecărui addend și să-l convertiți din sistemul duodecimal în cel zecimal; pentru a face acest lucru, este suficient să convertiți valoarea b : anterior această valoare era 10, deoarece fiecare bază este scrisă 10 în baza însăși, dar acum trebuie să exprimăm acea valoare într-o bază mai mică, o bază în care sunt scrise 10 _doz 12 _dec . Prin urmare, schimbăm expresia c * 10 ^z la c * 12 ^z pentru fiecare dintre addende; singura modificare suplimentară are loc pentru c = A → c = 10 și c = B → c = 11 .

Acum, să calculăm fiecare formulă zecimală și să adăugăm rezultatele: vom obține să știm cum să scriem 3'1A5'B23.6 _doz în bază zecimală. Mai jos, dezvoltarea:

 Zecimal gros

 3'000'000 = 3x10 ^ 6 = 3x12 ^ 6 = 8'957'952
   100'000 = 1x10 ^ 5 = 1x12 ^ 5 = 248'832
    A0'000 = Ax10 ^ 4 = 10x12 ^ 4 = 207'360
     5'000 = 5x10 ^ 3 = 5x12 ^ 3 = 8'640
       B00 = Bx10 ^ 2 = 11x12 ^ 2 = 1'584
        20 = 2x10 ^ 1 = 2x12 ^ 1 = 24
         3 = 3x10 ^ 0 = 3x12 ^ 0 = 3
         0,6 = 6x10 ^ -1 = 6x12 ^ -1 = 0,5
-------------------------------------------------- ----
 3'1A5'B23.6 = 9'424'395.5

Acum știm că 3'1A5'B23.6 _doz = 9'424'395.5 _dec .

Masă multiplicativă brânză

Acum să încercăm să facem opusul, adică să convertim numărul zecimal 9'424'395.5 într-o bază ieftină. La fel ca înainte, să descompunem: 9'424'395,5 = 9'000'000 + 400'000 + 20'000 + 300 + 90 + 5 + 0,5

Apoi, luând forma c * b ^z în care am plasat adunările, schimbăm valoarea lui b nu de la 10 la 12 ca înainte, ci de la 10 la A (pe scurt, valoarea lui b trebuie schimbată la valoarea lui baza inițială exprimată în baza destinației). De data aceasta, înmulțirile și adunarea finală vor fi efectuate conform regulilor brânzeturi (vezi opus pentru tabelul multiplicativ).

 Zecimal gros

 9'000'000 = 9x10 ^ 6 = 9xA ^ 6 = 3'020'400
   400'000 = 4x10 ^ 5 = 4xA ^ 5 = 173'594
    20'000 = 2x10 ^ 4 = 2xA ^ 4 = B'6A8
     4'000 = 4x10 ^ 3 = 4xA ^ 3 = 2'394
       300 = 3x10 ^ 2 = 3xA ^ 2 = 210
        90 = 9x10 ^ 1 = 9xA ^ 1 = 76
         5 = 5x10 ^ 0 = 5xA ^ 0 = 5
         0,5 = 5x10 ^ -1 = 5xA ^ -1 = 0,6
-------------------------------------------------- ----
 9'424'395.5 = 3'1A5'B23.6

Chiar și acum, prin urmare, am ajuns la concluzia că 9'424'395,5 _dec = 3'1A5'B23.6 _doz .

Metoda restului diviziunii

O altă modalitate de a converti un număr zecimal la unul brânzet este să împărțiți acel număr la 12 și să puneți restul diviziunii deoparte; apoi luați rezultatul fără restul și îl împărțiți din nou la 12, raportând din nou restul de data aceasta. Continuați până când coeficientul fără rest este egal cu 0.

Să vedem, de exemplu, cum să convertim numărul 9'424'370 _dec la baza duodecimală.

Odată ce împărțirile sunt terminate, să luăm toate resturile în ordine de la ultimul la primul: 3, 1, 10, 5, 11, 0 și 2. Întrucât sunt 10 și 11, să le convertim în simbolurile brânză relative, sau în mod convențional A și B. Numărul duodecimal corespunzător 9'424'370 _dec va fi deci 3'1A5'B02 _doz .

Diverse numere convertite din duodecimal în zecimal

Diverse numere convertite din zecimal în duodecimal

Conversia puterii

Dozzinalism și duodecimalizare

Cauza duodecimalizării a fost mult timp avansată de F. Emerson Andrews în cartea sa din 1935 The New Numbers: How Accepting a Duodecimal Base would Simplify Mathematics . Emerson a remarcat și a subliniat că, datorită utilizării pe scară largă a multiplilor și a factorilor de doisprezece în multe unități tradiționale de măsură, multe dintre avantajele computaționale pe care le lăuda adoptarea sistemului metric zecimal ar fi putut fi foarte bine aplicate unui sistem de bază ca Ei bine. ^[4]

El a fost cel care a sugerat utilizarea minusculelor Chi (χ) și Epsilon (ε) pentru asemănarea cu Romanul X și E-ul Unsprezece , ca utilizarea zilnică a lui A și B similar sistemelor hexazecimale și vigesimale, într-un text. în alfabetul latin, ar fi putut fi confuz.

O altă notație populară este cea introdusă de Sir Isaac Pitman, care a sugerat utilizarea unui 2 inversat (ᘔ) pentru zece și același lucru pentru 3 (Ɛ) ca unsprezece. În sprijinul acestui fapt este faptul că, fiind simboluri inspirate din figurile existente, ar fi fost mai ușor pentru mase să se obișnuiască să le recunoască mai degrabă ca numere reale, decât ca simboluri artificiale. Pentru aceasta, ᘔ și Ɛ au fost adoptate de Societatea Dozenal din Marea Britanie, care a luptat pentru ca acestea să fie inserate între caracterele Unicode .

Alte propuneri au fost asterisc și hash (* și #) datorită faptului că sunt deja prezente pe tastaturile telefoanelor, dar au fost criticate pentru că nu au forme plauzibile pentru a fi numere. Astfel ne-am gândit la Φ (uniunea grafică a 1 și 0 ) și +, x sau † (intersecția celor două 1 ), dar utilizarea acestor ultimele trei simboluri ar fi putut fi confundată cu simbolurile adunării sau multiplicării .

Cu toate acestea, o problemă cu aceste cifre, atât ᘔ & Ɛ, cât și celelalte variante, este că nu pot fi reprezentate în faimoasele afișaje cu șapte segmente sau pot fi scrise acolo, dar în același mod ca și alte caractere (ᘔ = 2, Ɛ = E di eroare ).

Societatea Dozenal din America și Societatea Dozenal din Marea Britanie promovează adoptarea pe scară largă a sistemului de bază 12. Cele două asociații specifică că preferă să folosească cuvântul „ieftin” decât „duodecimal”, deoarece acesta din urmă păstrează o rădăcină latină cu referințe la o terminologie zecimală, în timp ce duzina indică o bază tradițională de douăsprezece unități de măsură care nu ia în considerare numărul zece.

Notă

Elemente conexe

• Sistem de numerotare
• De bază (aritmetică)
• Sistem de numerotare # Falangele și baza 12

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un sistem numeric ieftin

linkuri externe

• ( EN ) Sistem numeric ieftin , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică