Sistemul numeric senarian
Sistemul de numere senare (cunoscut și ca bază-6 , eximal sau sesimal ) are șase ca bază și poate adopta cifrele de la 0 la 5 ca numere. A fost adoptat independent de un număr mic de culturi. La fel ca zecimalele , este un număr semi- prim, deși este produsul singurelor două numere consecutive care sunt ambele prime (2 și 3), are un grad ridicat de proprietăți matematice datorită dimensiunii sale. Întrucât șase este un număr foarte mare compus, multe dintre argumentele în favoarea sistemului duodecimal se aplică și pentru baza-6. La rândul său, logica senară se referă la o extensie a sistemelor logice ternare ale lui Jan Łukasiewicz și Stephen Cole Kleene adaptate pentru a explica logica testelor statistice și a modelelor de date lipsă în științe folosind metode empirice. [1]
Proprietăți matematice
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 10 | 12 | 14 | 20 |
| 3 | 3 | 10 | 13 | 20 | 23 | 30 |
| 4 | 4 | 12 | 20 | 24 | 32 | 40 |
| 5 | 5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 100 |
Senario poate fi considerat interesant în studiul numerelor prime , deoarece toate numerele prime, altele decât 2 și 3, atunci când sunt exprimate în senario, au 1 sau 5 ca cifră finală. În senario, numerele prime sunt scrise ca:
- 2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... ( EN ) Secvența A004680 , pe Enciclopedia on-line a secvențelor întregi , Fundația OEIS.
Adică, pentru fiecare număr prim p mai mare de 3, avem relațiile aritmetice modulare pentru care p ≡ 1 sau 5 (mod 6) (adică 6 împarte p - 1 sau p - 5); ultima cifră este 1 sau 5. Acest lucru este demonstrat de contradicție. Pentru orice număr întreg n :
- Dacă n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
- Dacă n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
- Dacă n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
- Dacă n ≡ 4 (mod 6), 2 | n
De asemenea, deoarece cele mai mici patru prime (2, 3, 5, 7) sunt divizori sau vecini cu 6, senario are criterii simple de divizibilitate pentru multe numere.
În plus, toate numerele pare perfecte dincolo de 6 au 44 ca ultime două cifre atunci când sunt exprimate în senario, lucru demonstrat de faptul că fiecare număr par este de forma 2 p −1 (2 p −1), unde 2 p - 1 este prim.
Senarul este, de asemenea, cel mai mare număr de bază r care nu are alte totaluri decât 1 și r - 1, ceea ce face ca tabelul său de înmulțire să fie foarte regulat pentru dimensiunea sa, minimizând efortul necesar pentru a-l memora. Această proprietate maximizează probabilitatea ca rezultatul unei înmulțiri întregi să ajungă la zero, deoarece niciunul dintre factorii săi nu o face.
Fracții
Deoarece șase este produsul primelor două numere prime și este adiacent următoarelor două numere prime, multe fracții senari au reprezentări simple:
| Baza zecimală Primii factori ai bazei: 2 , 5 Primii factori de bază: 3 Primii factori deasupra bazei: 11 | Baza senară Primii factori ai bazei: 2 , 3 Primii factori de bază: 5 Primii factori deasupra bazei: 11 | ||||
| Fracții | Primii factori ai numitorului | Reprezentarea pozițională | Reprezentarea pozițională | Primii factori a numitorului | Fracțiune |
|---|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 2 | 0,5 | 0,3 | 2 | 1/2 |
| 1/3 | 3 | 0. 3333 ... = 0. 3 | 0,2 | 3 | 1/3 |
| 1/4 | 2 | 0,25 | 0,13 | 2 | 1/4 |
| 1/5 | 5 | 0,2 | 0. 1111 ... = 0. 1 | 5 | 1/5 |
| 1/6 | 2 , 3 | 0,1 6 | 0,1 | 2 , 3 | 1/10 |
| 1/7 | 7 | 0. 142857 | 0. 05 | 11 | 1/11 |
| 1/8 | 2 | 0,125 | 0,043 | 2 | 1/12 |
| 1/9 | 3 | 0. 1 | 0,04 | 3 | 1/13 |
| 1/10 | 2 , 5 | 0,1 | 0,0 3 | 2 , 5 | 1/14 |
| 1/11 | 11 | 0. 09 | 0. 0313452421 | 15 | 1/15 |
| 1/12 | 2 , 3 | 0,08 3 | 0,03 | 2 , 3 | 1/20 |
| 1/13 | 13 | 0. 076923 | 0. 024340531215 | 21 | 1/21 |
| 1/14 | 2 , 7 | 0,0 714285 | 0,0 23 | 2 , 11 | 1/22 |
| 1/15 | 3 , 5 | 0,0 6 | 0,0 2 | 3 , 5 | 1/23 |
| 1/16 | 2 | 0,0625 | 0,0213 | 2 | 1/24 |
| 1/17 | 17 | 0. 0588235294117647 | 0. 0204122453514331 | 25 | 1/25 |
| 1/18 | 2 , 3 | 0,0 5 | 0,02 | 2 , 3 | 1/30 |
| 1/19 | 19 | 0. 052631578947368421 | 0. 015211325 | 31 | 1/31 |
| 1/20 | 2 , 5 | 0,05 | 0,01 4 | 2 , 5 | 1/32 |
| 1/21 | 3 , 7 | 0. 047619 | 0,0 14 | 3 , 11 | 1/33 |
| 1/22 | 2 , 11 | 0,0 45 | 0,0 1345242103 | 2 , 15 | 1/34 |
| 1/23 | 23 | 0. 0434782608695652173913 | 0. 01322030441 | 35 | 1/35 |
| 1/24 | 2 , 3 | 0,041 6 | 0,013 | 2 , 3 | 1/40 |
| 1/25 | 5 | 0,04 | 0. 01235 | 5 | 1/41 |
| 1/26 | 2 , 13 | 0,0 384615 | 0,0 121502434053 | 2 , 21 | 1/42 |
| 1/27 | 3 | 0. 037 | 0,012 | 3 | 1/43 |
| 1/28 | 2 , 7 | 0,03 571428 | 0,01 14 | 2 , 11 | 1/44 |
| 1/29 | 29 | 0. 0344827586206896551724137931 | 0. 01124045443151 | 45 | 1/45 |
| 1/30 | 2 , 3 , 5 | 0,0 3 | 0,0 1 | 2 , 3 , 5 | 1/50 |
| 1/31 | 31 | 0. 032258064516129 | 0. 010545 | 51 | 1/51 |
| 1/32 | 2 | 0,03125 | 0,01043 | 2 | 1/52 |
| 1/33 | 3 , 11 | 0. 03 | 0,0 1031345242 | 3 , 15 | 1/53 |
| 1/34 | 2 , 17 | 0,0 2941176470588235 | 0,0 1020412245351433 | 2 , 25 | 1/54 |
| 1/35 | 5 , 7 | 0,0 285714 | 0. 01 | 5 , 11 | 1/55 |
| 1/36 | 2 , 3 | 0,02 7 | 0,01 | 2 , 3 | 1/100 |
Numărând pe degete
34 senario =
cu numărătoarea
22 zecimale ,
deget senar
Se poate spune că fiecare mână umană normală are șase poziții lipsite de ambiguitate; un pumn, un deget (sau un deget mare) extins, doi, trei, patru și apoi toți cinci extinși.
Dacă mâna dreaptă este utilizată pentru a reprezenta o unitate și stânga pentru a reprezenta „șase”, devine posibil ca o persoană să reprezinte valori de la zero la 55 senario (35 zecimal ) cu degetele, în loc de zece obișnuite obținute în numărarea degetelor standard. de exemplu. dacă trei degete sunt extinse pe mâna stângă și patru pe dreapta, este reprezentat 34 senario . Acest lucru echivalează cu 3 × 6 + 4, care este 22 zecimal .
De asemenea, această metodă este cel mai puțin abstract mod de numărare folosind două mâini care reflectă conceptul de notație pozițională , deoarece mișcarea de la o poziție la alta se face prin trecerea de la o mână la cealaltă. În timp ce culturile mai dezvoltate numără până la 5 foarte similar, peste 5 culturi non-occidentale se abat de la metodele occidentale, cum ar fi gesturile numerice chinezești. Întrucât chiar și numărarea senară a degetelor deviază doar dincolo de 5, această metodă de numărare rivalizează cu simplitatea metodelor tradiționale de numărare, fapt care poate avea implicații pentru predarea notării poziției tinerilor studenți.
Care mână este utilizată pentru „șase” și care pentru unități depinde de preferințele numărării, totuși atunci când este privită din perspectiva contorului, folosind mâna stângă ca cea mai semnificativă cifră corespunde reprezentării scrise a aceluiași grav număr. Răsucirea mâinii „șase” pe spate poate ajuta la clarificarea în continuare a mâinii care reprezintă „șase” și care reprezintă unitățile. Dezavantajul numărării senarului este însă că, fără acordul prealabil, două părți nu ar putea utiliza acest sistem, nefiind sigur care mână reprezintă „șase” și care mână reprezintă unități, în timp ce numărarea zecimală (cu numere peste 5 exprimate printr-un palma deschisă și degetele suplimentare) fiind, în esență, un sistem unar , necesită doar celeilalte părți să numere numărul de degete extinse.
În baschetul NCAA, numerele de uniformă ale jucătorilor sunt limitate la numere senariare de până la două cifre, astfel încât arbitrii pot raporta care jucător a comis o infracțiune folosind acest sistem de numărare a degetelor. [2]
Sistemele de numărare a degetelor mai abstracte, cum ar fi chisanbop sau degetul binar , vă permit să numărați până la 99, 1023 sau chiar mai mult, în funcție de metodă (deși nu neapărat de natură senară). Călugărul și istoricul englez Bede a descris în primul capitol al lucrării sale De temporum ratione (725), intitulat „ Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum ”, un sistem care a permis să se numere până la 9.999 pe două mâini. [3] [4]
Limbi naturale
În ciuda rarității culturilor care grupează cantități mari cu 6, o revizuire a dezvoltării sistemelor numerice sugerează un prag de numerozitate de 6 (fiind posibil conceptualizat ca „întreg”, „pumn” sau „peste cinci degete” [5] ), cu 1-6, care sunt adesea forme și numere pure, care ulterior sunt construite sau împrumutate. [6]
Limba Ndom din Papua Noua Guinee se crede că au numere Senari. [7] Mer înseamnă 6, mer an thef înseamnă 6 × 2 = 12, nif înseamnă 36 și nif thef înseamnă 36 × 2 = 72.
Un alt exemplu de Papua Noua Guinee sunt limbile Yam . În aceste limbi, numărarea este legată de numărarea ritualizată a cartofilor dulci. Aceste limbi se numără dintr-o bază șase, folosind cuvinte pentru puteri de șase, până la 6 6 pentru unele dintre aceste limbi. Un exemplu este limba Komnzo cu următoarele numere: nibo (6 1 ), fta (6 2 ), taruba (6 3 ), damno (6 4 ), wärämäkä (6 5 ), wi (6 6 ).
Unele limbi Niger-Congo s-au raportat că folosesc un sistem de numere senare, de obicei în plus față de altul, cum ar fi zecimal sau vigesimal . [6]
Limbajul proto-uralic a fost, de asemenea, suspectat că are numere senariale, cu un număr pentru „7” fiind împrumutat la o dată ulterioară, deși dovezile pentru construirea unor numere mai mari (8 și 9) subtractiv din zece sugerează că este posibil să nu fie cazul . [6]
Baza 36 ca o compresie a sânilor
În unele scopuri, baza 6 poate fi o bază prea mică pentru a fi confortabilă. Acest obstacol poate fi ocolit folosind pătratul său, baza 36 (hexatrigesimal), deoarece conversia este facilitată pur și simplu prin efectuarea următoarelor substituții:
| Zecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Baza 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| Baza 36 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | LA | B. | C. | D. | ȘI | F. | G. | H. |
| Zecimal | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| Baza 6 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| Baza 36 | THE | J | K. | L | M. | Nu. | SAU | P. | Î | R. | S. | T. | U | V. | W | X | Da | Z |
Prin urmare, numărul de bază 36 WIKIPEDIA 36 este egal cu numărul senarial 523032304122213014 6 . În zecimal, este 91.730.738.691.298.
Alegerea lui 36 ca bază este convenabilă, deoarece cifrele pot fi reprezentate folosind cifrele arabe 0-9 și literele latine A - Z: această alegere este baza schemei de codare Base36. Efectul de compresie a lui 36, fiind pătratul lui 6, face ca multe modele și reprezentări să fie mai scurte în baza 36:
1/9 10 = 0,04 6 = 0,4 36
1/16 10 = 0,0213 6 = 0,29 36
1/5 10 = 0. 1 6 = 0. 7 36
1/7 10 = 0. 05 6 = 0. 5 36
Notă
- ^ 2019, https://www.amazon.com/dp/B081PT2CPR .
- ^ The New York Times , http://mobile.nytimes.com/2015/03/31/sports/ncaabasketball/numerals-on-college-basketball-jerseys-you-can-count-them-on-one-hand. html . .
- ^ Bloom, Jonathan M., Hand sums : The ancient art of counting with your fingers , on bcm.bc.edu , Yale University Press, 2001. Accesat la 12 mai 2012 (arhivat din original la 13 august 2011) .
- ^ Dactylonomy , pe laputanlogic.com , Laputan Logic, 16 noiembrie 2006. Accesat la 12 mai 2012 (arhivat din original la 23 martie 2012) .
- ^ Juliette Blevins, Origins of Northern Costanoan ʃak: en 'six': A Reconsideration of Senary Counting in Utian , în International Journal of American Linguistics , vol. 71, nr. 1, 3 mai 2018, pp. 87-101, DOI : 10.1086 / 430579 .
- ^ a b c Copie arhivată ( PDF ), pe ling.uni-konstanz.de . Adus la 27 august 2014 (arhivat din original la 6 aprilie 2016) .
- ^ Copie arhivată , vol. 13, 2001, DOI : 10.1007 / BF03217098 . Adus la 8 decembrie 2019 (arhivat din original la 26 septembrie 2015) .
