Solid de rotație

În matematică și în special în geometrie , un solid de rotație sau de revoluție este figura obținută prin rotirea în jurul unei axe $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ o regiune plată $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , pe planul căruia se află axa însăși.

De exemplu, torul se obține prin rotația unui cerc în jurul unei axe exterioare cercului însuși.

Solidele obținute din rotația trapezelor

Figura plană rotativă este adesea un trapez cu baza pe axă. Sfera, de exemplu, este solidul de rotație al semicercului în jurul diametrului; cilindrul este generat de dreptunghi.

Rotirea unei curbe

În acest caz, solidul este delimitat de o suprafață laterală obținută prin rotirea unei curbe în jurul axei ( suprafața de rotație ) și, eventual, de două baze circulare perpendiculare pe această axă.

Definiția ca locus al punctelor

Cu excepția rotațiilor tridimensionale ale spațiului, axa poate fi considerată coincidentă cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru a exprima solidul în coordonate cilindrice :

T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt două valori reale cu $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ , functia $\rho =\rho (y,z)={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (y, z) = {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (y, z) = {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ este raza cilindrului axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și funcție $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ este o funcție non-negativă și continuă, al cărei grafic este curba definiției situată pe plan $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ .

Volumul și suprafața

Același subiect în detaliu: teoremele Pappo-Guldino .

Volumul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a solidului $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în mod ideal poate fi obținut prin „tăierea” în discuri cu grosime „infinitesimală” $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ de-a lungul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ( Teorema lui Fubini ). Discul corespunzător $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are volum egal cu aria cercului de rază $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ înmulțit cu grosimea $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ . Apoi adăugând diferitele contribuții infinitezimale $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ (sau integratoare) avem

V=\int _{a}^{b}\pi f(x)^{2}\,dx.

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi f (x) ^ {2} \, dx.}

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi f (x) ^ {2} \, dx.}

Suprafața este dată în schimb de:

A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx.

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \, dx.}

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \, dx.}

Dacă solidul este dat de

T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq g(x)\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq g (x) \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq g (x) \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

adică figura de rotit este între două funcții non-negative, atunci volumul este

V=\int _{a}^{b}\pi \left(f(x)^{2}-g(x)^{2}\right)dx.

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi \ left (f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right) dx.}

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi \ left (f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right) dx.}

Volumul solidului, dacă este obținut prin rotație față de axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , cu $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ , poate fi calculat gândindu-l ca fiind suma suprafețelor laterale ale cilindrilor axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , raza $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și înălțime $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Deci adăugând cu privire la $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ (adică integrarea), avem: