Solid platonic

În matematică , în special în geometria solidă , termenul solid platonic este sinonim cu solid regulat și cu poliedru regulat convex și indică un poliedru convex care are poligoane regulate congruente pentru fețe (adică exact superpozabile) și care are toate muchiile și vârfurile echivalente . Rezultă că până și angoloidele sale au aceeași amplitudine.

Cele cinci poliedre regulate convexe (solide platonice)
tetraedru	hexaedru sau cub	octaedru	dodecaedru	icosaedru
( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )	( Model 3D )

Numele fiecărei figuri este derivat din numărul fețelor sale, respectiv 4, 6, 8, 12 și 20.

fundal

Modelul Kepler al sistemului solar care folosește solidele platonice

Regularitatea solidelor platonice este extraordinar de evocatoare: aceasta a însemnat că au fost studiate pe larg din cele mai vechi timpuri, luând adesea în considerare aceste semnificații ascunse și oferindu-le valori ezoterice .

Au făcut obiectul studiului Pitagora și Platon . Acesta din urmă, în Timeu , a asociat fiecăruia dintre ele unul dintre cele patru elemente : tetraedrul , focul , cubul pământul , tot aerul „ octaedrul l”, tot apa „ icosaedrul l”, ^[1] în timp ce în Fedon credea că dodecaedrul era forma „ universului : ^[2]

„Adevăratul pământ pentru cei care îl privesc de sus prezintă figura acelor bile de piele cu doisprezece pene, pestrițe, distincte în culoare”.

Platon își recuperează conștiința în aceste solide prezența unei raționalități superioare ascunse în realitatea comună, atribuindu-le rolul de intermediari între perfecțiunea lumii supercelestiale și volubilitatea fenomenelor naturale, ^[3] putând astfel să spună că „Dumnezeu geometrizează întotdeauna . " ^[4]

Un Theaetetus , discipol al matematicianului Teodoro și elev al lui Platon , este creditat cu demonstrația și construcția celor cinci poliedre regulate și descoperirea a două dintre ele: „ octaedrul și„ icosaedrul ^[5] ^[6] .

Poliedrele regulate au fost apoi studiate de geometrii greco-alexandrieni. Construcția acestor solide este conținută în cea de-a treisprezecea carte a Elementelor lui Euclid . ^[7] Propoziția 13 descrie construcția tetraedrului regulat, propunerea 14 este dedicată octaedru regulat, propunerea 15 cubului, propunerea 16 icosaedru regulat și propunerea 17 către dodecaedrul regulat.

Interesul pentru solidele platonice a fost viu chiar și în rândul matematicienilor și al artiștilor Renașterii: au studiat proprietățile metrice Piero della Francesca (în tratatul De corporibus regularibus), Luca Pacioli (care le-a inclus în De Divina Proportione) și apoi Niccolo Tartaglia și Rafael Bombelli .

Kepler pur, în cartea sa Mysterium cosmographicum, trage, în termeni diferiți, studiul lui Platon în jurul sensului poliedrelor regulate în structura lumii: el a argumentat, de fapt, că poliedrele platonice erau strâns legate de proporțiile armonioase pe care caracterizează-l. ^[8]

«Pământul este sfera care măsoară pe toate celelalte. Circumscrieți-i un dodecaedru: sfera care îl include va fi Marte [în sensul că conține orbita, care în acel moment se credea încă circulară, a mișcării sale în jurul soarelui]. Circumscrieți un tetraedru către Marte: sfera care îl include va fi Jupiter. Circumscrieți un cub lui Jupiter: sfera care îl include va fi Saturn. Înscrie acum un icosaedru pe Pământ: sfera înscrisă pe el va fi Venus. Înscrieți un octaedru la Venus: sfera înscrisă la acesta va fi Mercur. Ai motivul numărului de planete "

Chiar și arta are numeroase referințe la solidele platonice: printre cele mai faimoase exemple, se numără Salvador Dalí (care a folosit-o în Corpus Hypercubus și în Ultima Sa cină , așezat într-un dodecaedru ) și Maurits Cornelis Escher , care a exploatat proprietățile sale geometrice pentru a realiza unele a teselelor sale.

De ce sunt doar cinci?

Poliedrele regulate nu pot fi mai mari de cinci.

Dovadă cu unghiul

{3.3} Defect de 180 °	{3.4} Defect de 120 °	{3.5} Defect de 60 °	{3.6} Defect de 0 °
{4.3} Defect de 90 °	{4.4} Defect de 0 °	{5.3} Defect de 36 °	{6.3} Defect de 0 °

Doar triunghiul echilateral, pătratul și ajustarea pentagonului pot avea fețe poliedrice regulate. Explicația pe care ni-o dă Euclid în Elemente :

În fiecare vârf trebuie să convergă cel puțin trei fețe (de fapt, nu există colțuri formate din unul sau doi poligoane).
În orice angoloid , suma unghiurilor fețelor care o delimitează trebuie să fie mai mică decât un unghi rotund, altfel figura este plană; suma lipsă pentru a forma 360 ° este defect definit.
Deoarece sunt necesare cel puțin trei fețe pentru fiecare unghi și deoarece sunt poligoane regulate, fiecare vârf al fiecărei fețe poate contribui la unghiul cu maxim 360 ° ÷ 3 = 120 °.
Poligoanele cu șase sau mai multe laturi au unghiuri mai mari sau egale cu 120 °, prin urmare numai triunghiul, pătratul și pentagonul pot forma solide platonice. Fiecare dintre aceste figuri se comportă diferit:
1. Fețele triunghiulare: unghiurile unui triunghi echilateral au o lățime de 60 °, deci 3, 4 sau 5 triunghiuri pot insista asupra unui vârf al solidului; se formează tetraedrul, octaedrul și respectiv icosaedrul.
2. Fețele pătrate: colțurile unui pătrat sunt ample la 90 °, prin urmare este posibil să se adune împreună într-un vârf fețele 3 (3 x 90 = 270) obținând un cub .
3. Fețele pentagonale: fiecare colț al unui pentagon obișnuit măsoară 108 °. Prin urmare, este posibil să se reunească în vârf fețe 3 (3 x 108 = 324) obținând un dodecaedru regulat .

Astfel se obțin cele cinci posibile solide platonice. ^[9]

Dovadă geometrică

Puteți demonstra că nu există mai mult de cinci poliedre obișnuite, de asemenea, din raportul Euler . Ambele au dat un poliedru cu fețe F , fiecare dintre ele fiind un poligon regulat cu n laturi și în care, la fiecare vârf, întâlnesc r muchii, care sunt în total S.

Înmulțind numărul laturilor fiecărei fețe cu numărul fețelor poliedrului obținem dublul totalității muchiilor (fiecare margine este numărată de două ori, o dată pe prima față și o dată pe fața atașată la prima pentru acea margine):

nF=2S

{\ displaystyle nF = 2S}

nF = 2S

În plus, totalitatea muchiilor înmulțite cu două este egal cu numărul de vârfuri V r înmulțit cu numărul de muchii care se întâlnesc în ele, deoarece fiecare margine conectează două vârfuri:

rV=2S

{\ displaystyle rV = 2S}

rV = 2S

așa că primești

F={\frac {2S}{n}}

{\ displaystyle F = {\ frac {2S} {n}}}

F = {\ frac {2S} {n}}

V={\frac {2S}{r}}

{\ displaystyle V = {\ frac {2S} {r}}}

V = {\ frac {2S} {r}}

și înlocuind aceste valori în caracteristica lui Euler-Poincare :

V+F-S=2

{\ displaystyle V + FS = 2}

V + F-S = 2

{\frac {2S}{r}}+{\frac {2S}{n}}-S=2

{\ displaystyle {\ frac {2S} {r}} + {\ frac {2S} {n}} - S = 2}

{\ frac {2S} {r}} + {\ frac {2S} {n}} - S = 2

și împărțind la 2S, ajungeți la

{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} + {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {r}} + {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}

Atât n cât și r trebuie să fie mai mari sau egale cu trei, deoarece un poligon trebuie să aibă cel puțin trei laturi și cel puțin trei laturi trebuie să se întâlnească la vârful fiecărui angoloid al unui poliedru.

În plus, n și r nu pot fi ambele egale cu patru, deoarece în acest caz primul membru al ecuației ar fi egal cu 0, în timp ce 1 / S este pozitiv. Dacă n și r au fost simultan mai mult de trei, S ar trebui să fie negativ; această posibilitate este deci exclusă și cel puțin una trebuie să fie trei.

Dacă n = 3, avem

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {S}}

{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {S}}}

{\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {S}}

și atunci r poate fi egal cu 3, 4 sau 5, cazuri care corespund respectiv tetraedrului , tuturor ' octaedrului și tuturor' icosaedrului .

În mod similar, dacă r = 3, atunci n poate presupune doar valorile 3, 4 sau 5. Poate arunca 3 deoarece am luat în considerare în cazul anterior; rămân cazurile 4 și 5, care corespund cubului și dodecaedrului .

Nu există alte cazuri posibile și, prin urmare, există cel mult cinci poliedre regulate.

Proprietăți combinatorii

Un poliedru convex este un solid platonic dacă:

toate fețele sale sunt poligoane regulate convexe congruente;
niciuna dintre fețele sale nu se intersectează cu celelalte, cu excepția marginilor;
același număr de fețe se întâlnesc la fiecare vârf.

Fiecare solid platonic poate fi, de asemenea, caracterizat printr-o notație {p, q} unde

p = numărul laturilor fiecărei fețe (sau numărul vârfurilor fiecărei fețe) și

q = numărul de fețe pe care le întâlnești în fiecare vârf (sau numărul de muchii care se întâlnesc la fiecare vârf).

Abrevierea {p, q}, numită notație Schläfli , oferă o descriere combinatorică a poliedrului. Notarea lui Schläfli este explicată în tabelul de mai jos.

Poliedru	Vârfuri	Margini	Fețe	Notare Schläfli	Poziţie a vârfurilor
tetraedru	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
cub	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
octaedru	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dodecaedru	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
icosaedru	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Proprietăți metrice ale solidelor platonice

Următorul tabel grupează unele dintre principalele proprietăți metrice ale solidelor platonice, măsura marginii unui poliedru fiind setată egală cu $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Nume	Raza sferei			Suprafaţă	Volum
Nume	Înscris	Circumscris	Tangente marginile	Suprafaţă	Volum
Tetraedru	${\frac {\sqrt {6}}{12}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {12}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {12}} d$	${\frac {\sqrt {6}}{4}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {4}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {4}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {4}} d$	${\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ ${\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {12}} d ^ {3}}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {12}} d ^ {3}$
cub	${\frac {1}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} d}$ ${\ frac {1} {2}} d$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} d$	$6d^{2}$ ${\ displaystyle 6d ^ {2}}$ $6d ^ {2}$	$d^{3}$ ${\ displaystyle d ^ {3}}$ $d ^ {3}$
Octaedru	${\frac {\sqrt {6}}{6}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {6}} {6}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {6}}} {6}} d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} d}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} d$	${\frac {1}{2}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} d}$ ${\ frac {1} {2}} d$	$2{\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ $2 {\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} d ^ {3}}$ ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {3}} d ^ {3}$
Dodecaedru	${\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} {\ sqrt {(10 (25 + 11 {\ sqrt {5}})}} d}$ ${\ frac {1} {20}} {\ sqrt {(10 (25 + 11 {\ sqrt {5}})}} d$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d$	${\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (3 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {1} {4}} (3 + {\ sqrt {5}}) d$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}d^{2}$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} d ^ {2}}$ $3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} d ^ {2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) d ^ {3}}$ ${\ frac {1} {4}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) d ^ {3}$
Icosaedru	${\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {{\ sqrt {3}}} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(10 + 2 {\ sqrt {5}})}}} d}$ ${\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(10 + 2 {\ sqrt {5}})}} d$	${\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d}$ ${\ frac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}) d$	$5{\sqrt {3}}d^{2}$ ${\ displaystyle 5 {\ sqrt {3}} d ^ {2}}$ $5 {\ sqrt {3}} d ^ {2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})d^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d ^ {3}}$ ${\ frac {5} {12}} (3 + {\ sqrt {5}}) d ^ {3}$

Unghiuri între fețele poliedrelor obișnuite (utile pentru construirea de modele cu materiale cu grosime deloc neglijabilă)

Pentru cub - soluție banală - unghi de 90 °

Pentru celelalte poliedre, soluția poate fi obținută considerând unul dintre vârfuri ca fiind cuspida unei piramide drepte regulate care are ca bază poligonul obținut prin îmbinarea vârfurilor adiacente cu cel ales anterior și evaluarea unghiului β dintre înălțimi conduse către aceeași margine laterală a acestei piramide.

Tetraedru: → β ≈ 70 °, 53 ≈ 70 ° 32 '

Octahedron: → β ≈ 109 °, 47 ≈ 109 ° 28 '

Dodecaedru: → β ≈ 116 °, 57 ≈ 116 ° 34 '

Icosaedru: → β ≈ 138 °, 19 ≈ 138 ° 11 '

Dualitatea și simetriile solidelor platonice

Dualitatea poliedrică , adică transfigurarea unui poliedru într-un al doilea poliedru care prezintă respectiv vârfurile, muchiile și fețele corespunzătoare fețelor, muchiilor și vârfurilor primului și care prezintă relațiile de incidență consecvente între aceste trei tipuri de obiecte, este o involuție care transformă tetraedrele în tetraedre și schimbă cuburi cu octaedre și dodecaedre cu icosaedre.

Regularitatea ridicată a solidelor platonice se reflectă în faptul că fiecare dintre ele are un grup extins de simetrie asociat. Aceste grupuri pot fi considerate subgrupuri ale grupurilor de simetrie de vârf sau grupurile de simetrie de margine sau grupurile de simetrie a feței. Grupurile de simetrie a două solide platonice duale sunt izomorfe: de fapt prin dualitate permutările vârfurilor unui poliedru devin permutări ale fețelor poliedrului dual (în timp ce permutările marginilor unui poliedru devin permutări ale marginilor dualului ).

Grupul de simetrie al tetraedrului este indicat de T _d, grupul de simetrie al cubului și octaedrul cu O _h, grupul de simetrie al icosaedrului și dodecaedrul cu I _h.

Solidele și cristalele platonice

Unele cristale iau forma unor solide obișnuite: de exemplu, clorura de sodiu , sare comună de masă, este dispusă în cristale cubice, în timp ce fluorura de calciu , și anume fluoritul , este prezentată sub forma octaedrelor regulate. Există, de asemenea, multe cristale care sunt aranjate după compoziții și variante ale solidelor platonice; acest lucru este echivalent cu a spune că rețelele de cristal respective prezintă proprietăți remarcabile de simetrie . Aceste proprietăți joacă un rol fundamental în clasificarea lor.

Notă

^ Giovanni Reale, pentru o nouă interpretare a lui Platon, 2003, p. 678, ISBN 88-343-1036-5 .
^ Platon, Fedon, 110b.
^ Vincenzo Schettino, Știință și artă: chimie, arti fi gurativ și literatură, p. 15 , Florence University Press, 2014.
^ Citat atribuit lui Platon de Plutarh în Quaestiones convivales, VIII 2 ( Moralia 718c-720c).
^ Theaetetus www.treccani.it Adus pe 20-02-2012
^(EN) George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid, Hodges, Figgis, & Company, 1889, p. 206.
^ Quadrivium. Număr, geometrie, muzică, astronomie, Sironi Editore, 2011, p. 144, ISBN 88-518-0169-X .
^ Massimo Corradi, Cele patru elemente: aer, apă, pământ și foc, 2008, p. 64, ISBN 1-4092-2642-5 .
^ Solidele platonice , pe gpmeneghin.com. Adus de douăzeci și unu mai 2016.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere solide platonice

linkuri externe

Solid platonic , în Dicționar de filosofie , Institutul Enciclopediei Italiene , 2009.
(EN) Solid platonic , al Enciclopediei Britannice , Encyclopædia Britannica, Inc.
Construirea solidelor platonice 5 prin utilizarea unui software numeric
Stella: Polyhedron Navigator Instrument pentru explorarea poliedrelor
Pagina Modele de hârtie a poliedrelor plină de link-uri
O scurtă istorie a poliedrelor obișnuite (PDF) pe matematica.unito.it.
Câteva imagini poliedre obișnuite pe matematita.it.
(RO) Poliedrele uniforme de pe mathconsult.ch.
(EN) Poliedre de realitate virtuală în Enciclopedia poliedrelor
(EN) London South Bank University Structura și comportamentul apei
(RO) Cartea XIII a Elementelor lui Euclid

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 22329 · GND (DE) 4046302-3

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] Giovanni Reale, pentru o nouă interpretare a lui Platon, 2003, p. 678, ISBN 88-343-1036-5 .

[2] Platon, Fedon, 110b.

[3] Vincenzo Schettino, Știință și artă: chimie, arti fi gurativ și literatură, p. 15 , Florence University Press, 2014.

[4] Citat atribuit lui Platon de Plutarh în Quaestiones convivales, VIII 2 ( Moralia 718c-720c).

[5] Theaetetus www.treccani.it Adus pe 20-02-2012

[allen-6] (EN) George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid, Hodges, Figgis, & Company, 1889, p. 206.

[7] Quadrivium. Număr, geometrie, muzică, astronomie, Sironi Editore, 2011, p. 144, ISBN 88-518-0169-X .

[8] Massimo Corradi, Cele patru elemente: aer, apă, pământ și foc, 2008, p. 64, ISBN 1-4092-2642-5 .

[9] Solidele platonice , pe gpmeneghin.com. Adus de douăzeci și unu mai 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]