Subspatiu ortogonal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

In algebra liniara , subspațiul ortogonale realizează conceptul de ortogonalitate prin subspatiile unui spațiu vectorial cu un produs scalar . Atunci când produsul scalar este definit ca fiind pozitiv, subspațiul ortogonale este adesea numit , de asemenea , complementul ortogonal.

Definiție

Este un spațiu vector pe un câmp echipat cu un produs scalar sau o formă Hermitian . Este un subspatiu vectorial al . Subspatiul ortogonal din este mulțimea vectorilor ortogonali cu toți vectorii : [1]

Unde doi vectori din se numesc ortogonali dacă și numai dacă .

Se arată ușor că întregul , cu suma și produsul împrumutat de la , Este un subspatiu vectorial al ; se mai arată că, dacă este subspatiul generat de vectorii , asa de:

Dimensiuni și sumă directă

Subspatiul ortogonal este un subspatiu vectorial al . Dimensiunea acesteia nu este , în general fixă, dar inegalitatea deține:

Dacă produsul punct sau forma hermitiană este nedegenerată, egalitatea deține:

În cele din urmă, dacă Și este un produs cu punct pozitiv definit sau dacă Și este o formă Hermitian definită pozitiv , spațiu și ei sunt ortogonale în sumă directă : [2]

Acesta este cazul , de exemplu , în orice spațiu euclidian sau spațiu Hilbert . Același rezultat este valabil dacă este denumit negativ. Din acest motiv, dacă pozitivă sau negativă este definită subspatiului ortogonale este de asemenea , numit complement ortogonale.

Relații cu alte operațiuni

Următoarele relații se aplică fiecărui cuplu Și a subspatiilor de :

De sine nu este degenerat, merită:

Radical

Radicalul este definit ca subspațiul format din vectori care sunt ortogonali față de orice vector al :

Un produs scalar (sau forma Hermitiană) este non-degenerat atunci când radicalul este subspațiul banal (adică este format din doar elementul zero).

Notă

  1. ^ Hoffman, Kunze , p. 285.
  2. ^ Hoffman, Kunze , p. 286.

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe


Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică