Subspatiu vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Trei subspatii distincte ale dimensiunii 2 in . Două dintre acestea se intersectează într-un subspațiu de dimensiunea 1 (evidențiat în albastru).

În matematică și în special în algebră liniară , un subspatiu vectorial este un subset al unui spațiu vectorial , având proprietăți de natură să-l facă la rândul său un alt spațiu vectorial. Exemple de subspații vectoriale sunt linii drepte și plane în spațiul euclidian tridimensional care trece prin origine.

Definiție

Este fie un câmp un spațiu vectorial pe și fie un subset nevazut de . Întregul este un subspatiu vectorial al dacă este un spațiu vectorial pe cu operațiile de adunare și multiplicare la scară și dacă este închisă față de ele. [1]

Dovedește că este un subspațiu vectorial dacă și numai dacă se mențin următoarele proprietăți: [2]

  • De sine Și sunt elemente ale , apoi și suma lor este un element al .
  • De sine este un element al Și este un scalar în , apoi produsul este un element al .

Primele două condiții sunt echivalente cu următoarele: dacă Și sunt elemente ale , Și sunt elemente ale , asa de este un element al . [3]

Din definiție rezultă că pentru orice spațiu vectorial decorurile Și sunt subspatiile sale vectoriale, numite subspatii improprii sau banale . Unii autori omit apartenența vectorului nul în definiție, deoarece se arată că aparține fiecărui subspațiu vectorial. De fapt, pentru fiecare vectorul:

aparține lui datorită închiderii ansamblului în raport cu produsul la scară. Mai mult, este ușor dovedit că subspaiul unui subspai al unui spațiu este subspatiu de la fel.

Aceste proprietăți asigură că suma și operațiunile produsului la scară sunt bine definite chiar și atunci când sunt limitate la . În acest moment, cele opt axiome ale spațiului vectorial, care au fost garantate pentru , se aplică și la și, prin urmare, de asemenea este un spațiu vectorial.

Exemple

Multe exemple de spații vectoriale se construiesc ca subspatii ale spațiilor vectoriale standard, cum ar fi , matricile , sau polinoamele cu coeficienți în .

  • Numai originea formează cel mai mic subespai al oricărui spațiu vectorial.
  • O linie sau un plan care trece prin origine este subspatiile lui .
  • Soluțiile unui sistem liniar omogen cu coeficienți în iar în n variabile sunt un subspatiu vectorial al .
  • Matricele diagonale , simetrice și antisimetrice formează trei sub spații ale spațiului matricei pătrate .
  • Nucleul și imaginea unei aplicații liniare sunt subspatii de respectiv și de .
  • Polinomii de grade cel mult sunt un subspatiu al spatiului de polinoame cu coeficienți în cu variabilă .
  • De sine este un set și un punct de , funcții din în care anulează (adică astfel încât ) constituie un subspatiu al spatiului tuturor functiilor din în . De asemenea, funcții de la în care anulează ambele în decât într-un al doilea punct constituie un subspatiu al celui precedent.
  • Setul de funcții continue din în oferă un sub spațiu al funcțiilor din în , iar setul de funcții diferențiate constituie un subspatiu.

Operații în sub spații

Intersecția din a două subspatii Și din este încă un subspațiu. De exemplu, intersecția a două planuri distincte în trecerea prin origine este o linie dreaptă, trecând întotdeauna prin origine.

Unirea în schimb, nu este, în general, un sub spațiu și este un sub spațiu dacă și numai dacă sau . O compoziție din două subspatii Și care oferă un subspatiu nou este așa-numita sumă , definit ca ansamblul tuturor vectorilor care sunt suma vectori Și . De exemplu, suma a două linii distincte (care trec întotdeauna prin origine) în este planul care le conține.

Formula lui Grassmann relatează dimensiunile celor patru spații , , Și .

Ortogonalul a unui subspatiu vectorial a unui spațiu pe care se definește o formă biliniară este ansamblul de vectori astfel încât pentru fiecare .

Coeficientul unui spațiu vector

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: spațiul vectorial de cotizare .

De sine este un subspatiu vectorial al , putem construi grupul coeficientului și, la rândul său, oferindu-i o structură naturală a spațiului vectorial.

Tocmai se definește relația de echivalență dacă și numai dacă . O singură clasă de echivalență este adesea notată ca . Suma și multiplicarea prin scalari sunt definite prin:

Notă

  1. ^ Hoffman, Kunze , p. 34 .
  2. ^ S. Lang , pagina 38 .
  3. ^ Hoffman, Kunze , p. 35 .

Bibliografie

  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
  • Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
  • ( EN ) Aigner, M. Teoria combinatorie . New York: Springer-Verlag, 1979.
  • ( EN ) Exton, H. q-Funcții și aplicații hipergeometrice . New York: Halstead Press, 1983.
  • (EN) Finch, SR „Constanta lui Lengyel”. Constante matematice . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică