Spațiu-timp al undelor pp

În relativitate generală , unde spațio-temporale pp, unde pp sau scurte, sunt o familie importantă de soluții exacte ale ecuației de câmp a lui Einstein . Aceste soluții modelează radiația care se deplasează cu viteza luminii . Această radiație poate consta din:

radiații electromagnetice ,
radiații gravitaționale ,
radiații fără masă asociate cu un tip distinct ipotetic de câmp clasic relativist,
sau orice combinație a acestora, atâta timp cât radiația se deplasează în aceeași direcție.

Un tip special de spațiu - timp cu undă pp, spațiu - timp plan-undă , oferă cea mai mare analogie în relativitatea generală pentru undele plane comune studenților electromagnetismului . În special, în relativitatea generală, trebuie să luăm în considerare efectele gravitaționale ale densității energetice a câmpului electromagnetic în sine. Când facem acest lucru, undele plane pur electromagnetice asigură generalizarea directă a soluțiilor de unde plane obișnuite în teoria lui Maxwell .

În plus, în relativitatea generală, perturbațiile din câmpul gravitațional în sine se pot propaga cu viteza luminii, cum ar fi „pliurile” (ridurile) în curbura spațiului-timp. Această radiație gravitațională este câmpul gravitațional analog al radiației electromagnetice. În relativitatea generală, analogul gravitațional al undelor plane electromagnetice este tocmai soluția de vid dintre spațiul-timp al undelor plane. Se numește undă gravitațională plană .

Există exemple importante din punct de vedere fizic de spațiu-timp al undei pp care nu sunt spațiu-timp al undei plane. În special, experiența fizică a unui observator care țâșnește dintr-un obiect gravitator (cum ar fi o stea sau o gaură neagră) cu aproape viteza luminii poate fi modelată printr-un spațiu-timp de unde PP impulsive numit ultraboost Aichelburg-Sexl . Câmpul gravitațional al unei raze de lumină este modelat, în relativitate generală, de o anumită undă pp simetrică .

Undele PP au fost introduse de Hans Brinkmann în 1925 și au fost redescoperite de multe ori de atunci, mai ales de Albert Einstein și Nathan Rosen în 1937. Termenul pp înseamnă unde plane cu front de propagare paralel și a fost introdus în 1962 de Jürgen Ehlers și Wolfgang Kundt .

Definiție matematică

Un spațiu-timp de unde pp este orice colector Lorentzian al cărui tensor metric poate fi descris, în ceea ce privește coordonatele Brinkmann , sub forma

ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = H (u, x, y) \, du ^ {2} +2 \, du \, dv + dx ^ {2} + dy ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = H (u, x, y) \, du ^ {2} +2 \, du \, dv + dx ^ {2} + dy ^ {2}}

unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ fiecare funcție este netedă . Aceasta a fost definiția inițială a lui Brinkmann și are avantajul că este ușor de înțeles.

Definiția standard din literatura de specialitate este mai sofisticată și nu se referă la nicio coordonată grafică, deci este o definiție liberă de coordonate . Stabilește că fiecare varietate lorentziană admite un câmp vector nul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ covarianta constantă este definită ca unda spațiu-timp pp . Cu alte cuvinte, derivatul covariant al lui $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ trebuie să tindă la zero:

\nabla k=0

{\ displaystyle \ nabla k = 0}

{\ displaystyle \ nabla k = 0}

Această definiție a fost introdusă de Ehlers și Kundt în 1962. Pentru a o raporta la definiția lui Brinkmann, luăm $k=\partial _{v}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ , vectorul coordonatelor ortogonale față de suprafețele $v=v_{0}$ ${\ displaystyle v = v_ {0}}$ ${\ displaystyle v = v_ {0}}$ . În notația gimnastică a indicilor pentru ecuațiile tensoriale, condiția su $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ poate fi scris $k_{a;b}=0$ ${\ displaystyle k_ {a; b} = 0}$ ${\ displaystyle k_ {a; b} = 0}$ .

Niciuna dintre aceste definiții nu menționează ecuația câmpului; de fapt, acestea sunt complet independente de fizică . În acest sens, noțiunea de spațiu-timp de unde pp este în întregime matematică și aparține studiului geometriei pseudo-riemanniene . În secțiunea următoare, ne vom dedica interpretării fizice a undelor pp.

Ehlers și Kundt au oferit multe caracterizări suplimentare fără coordonate, inclusiv următoarele:

O varietate lorentziană este o undă pp dacă și numai dacă admite un subgrup uni-parametric de izometrii având orbite zero și al căror tensor de curbură are valori proprii care tind spre zero.
O varietate lorentziană cu curbură non-zero este o undă pp (non-trivială) dacă și numai dacă admite un bivector constant covariant. (Dacă da, acest bivector este un bivector nul).

Interpretarea fizică

Este un fapt pur matematic că polinomul caracteristic al tensorului Einstein al fiecărui spațiu-timp al undelor pp tinde identic la zero. În mod echivalent, putem găsi o tetradă Newman / Penrose astfel încât spinorul Ricci (care descrie orice material sau câmp non-gravitațional posibil prezent într-un spațiu-timp) și Weyl spinorul (care descrie orice câmp gravitațional posibil prezent) să aibă fiecare o componentă diferită de zero . Mai exact, în ceea ce privește tetradul NP

{\vec {\ell }}=\partial _{u}-H/2\,\partial _{v}

{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} = \ partial _ {u} -H / 2 \, \ partial _ {v}}

{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} = \ partial _ {u} -H / 2 \, \ partial _ {v}}

{\vec {n}}=\partial _{v}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = \ partial _ {v}}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = \ partial _ {v}}

{\vec {m}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{x}+i\,\partial _{y}\right)

{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \, \ left (\ partial _ {x} + i \, \ partial _ {y} \ right)}

{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \, \ left (\ partial _ {x} + i \, \ partial _ {y} \ right)}

singura componentă diferită de zero a spinorului Ricci este

\Phi _{00}={\frac {1}{4}}\,\left(H_{xx}+H_{yy}\right)

{\ displaystyle \ Phi _ {00} = {\ frac {1} {4}} \, \ left (H_ {xx} + H_ {yy} \ right)}

{\ displaystyle \ Phi _ {00} = {\ frac {1} {4}} \, \ left (H_ {xx} + H_ {yy} \ right)}

iar singura componentă diferită de zero a spinorului Weyl este

\Psi _{0}={\frac {1}{4}}\,\left(\left(H_{xx}-H_{yy}\right)+2i\,H_{xy}\right)

{\ displaystyle \ Psi _ {0} = {\ frac {1} {4}} \, \ left (\ left (H_ {xx} -H_ {yy} \ right) + 2i \, H_ {xy} \ right )}}

{\ displaystyle \ Psi _ {0} = {\ frac {1} {4}} \, \ left (\ left (H_ {xx} -H_ {yy} \ right) + 2i \, H_ {xy} \ right )}}

Aceasta înseamnă că orice spațiu-timp al undei pp poate fi interpretat, în contextul relativității generale, ca o soluție de praf nul . Mai mult, tensorul Weyl are întotdeauna un Petrov tip N, după cum se poate verifica folosind criteriile Bel .

Cu alte cuvinte, undele pp modelează diferite tipuri de radiații clasice, fără masă , care se deplasează cu viteza luminii locale. Această radiație poate fi gravitațională, electromagnetică, de un anumit tip ipotetic, fără masă dincolo de aceste două sau orice altă combinație posibilă a acestora. Toate aceste radiații se deplasează în aceeași direcție, iar vectorul este nul $k=\partial _{v}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ joacă rolul de vector de undă .

Relația cu alte clase de soluții exacte

Din păcate, terminologia privind undele pp, deși destul de standardă, este foarte confuză și tinde să genereze neînțelegeri.

În orice spațiu-timp de unde pp, câmpul vector $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ constanta covarianta are intotdeauna scalari optici identici care tind spre zero. Prin urmare, undele pp aparțin clasei Kundt (clasa varietăților lorentziene care admit congruență zero cu scalari optici care tind spre zero).

Mergând în direcția opusă, undele pp includ câteva cazuri speciale importante.

Din forma spinorului Ricci dată în secțiunea anterioară, este imediat evident modul în care un spațiu-timp al undelor pp (scris în diagrama Brinkmann) este o soluție de vid dacă și numai dacă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o funcție armonică (în ceea ce privește coordonatele spațiale $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ ). Fizic, acestea reprezintă radiația pur gravitațională care se propagă de-a lungul razelor nule $\partial _{v}$ ${\ displaystyle \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {v}}$ .

Ehlers, Kundt, Sippel și Gönner au clasificat spațiul-timp al undelor pp în vid după grupul lor autometric sau grupul de auto-izometrii . Acesta este întotdeauna un grup Lie și, ca de obicei, este mai ușor să clasificăm algebra Lie subiacentă a câmpurilor vectoriale Killing . De obicei, se întâmplă ca cea mai mare parte a spațiului-timp a undelor pp să aibă doar un câmp vector Killing și zero congruență geodezică $k=\partial _{v}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$ . Cu toate acestea, pentru mai multe forme speciale de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , există câmpuri vectoriale Killing suplimentare.

Cea mai importantă clasă de unde pp deosebit de simetrice sunt spațiul-timp al undelor plane , care au fost studiate pentru prima dată de Baldwin și Jeffery. O undă plată este o undă pp în care $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este pătratic și, prin urmare, poate fi transformat în forma simplă

H(u,x,y)=a(u)\,(x^{2}-y^{2})+2\,b(u)\,xy+c(u)\,(x^{2}+y^{2})

{\ displaystyle H (u, x, y) = a (u) \, (x ^ {2} -y ^ {2}) + 2 \, b (u) \, xy + c (u) \, ( x ^ {2} + y ^ {2})}

{\ displaystyle H (u, x, y) = a (u) \, (x ^ {2} -y ^ {2}) + 2 \, b (u) \, xy + c (u) \, ( x ^ {2} + y ^ {2})}

Aici, $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ sunt funcții arbitrare netede ale $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Vorbind fizic, $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ descrie profilurile de undă ale celor două moduri de polarizare liniar independente ale radiației gravitaționale care pot fi prezente, în timp ce $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ descrie profilul de undă al fiecărei radiații non-gravitaționale. De sine $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ , avem unde plane în vid, deseori numite unde plane gravitaționale .

În mod echivalent, o undă plană este o undă pp cu cel puțin o algebră Lie în cinci dimensiuni a câmpurilor vectoriale Killing $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , inclus $X=\partial _{v}$ ${\ displaystyle X = \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle X = \ partial _ {v}}$ și alți patru care au forma

X={\frac {\partial }{\partial u}}(px+qy)\,\partial _{v}+p\,\partial _{x}+q\,\partial _{y}

{\ displaystyle X = {\ frac {\ partial} {\ partial u}} (px + qy) \, \ partial _ {v} + p \, \ partial _ {x} + q \, \ partial _ {y }}

{\ displaystyle X = {\ frac {\ partial} {\ partial u}} (px + qy) \, \ partial _ {v} + p \, \ partial _ {x} + q \, \ partial _ {y }}

unde este

{\ddot {p}}=-ap+bq-cp

{\ displaystyle {\ ddot {p}} = - ap + bq-cp}

{\ displaystyle {\ ddot {p}} = - ap + bq-cp}

{\ddot {q}}=aq-bp-cq

{\ displaystyle {\ ddot {q}} = aq-bp-cq}

{\ displaystyle {\ ddot {q}} = aq-bp-cq}

Intuitiv, distincția este că fronturile de undă ale undelor plane sunt cu adevărat plane ; toate punctele de pe un front de undă bidimensional dat sunt echivalente. Acest lucru nu este în general suficient de adevărat pentru valurile pp. Undele plate sunt importante din multe motive; doar pentru a numi unul, acestea sunt esențiale pentru fascinanta temă a undelor de coliziune plate .

O subclasă mai generică este undele pp simetric-ax , care au în general o algebră Lie abeliană bidimensională a câmpurilor vectoriale Killing. Acestea sunt, de asemenea, denumite unde plane SG2 , deoarece sunt al doilea tip din clasificarea simetrică a lui Sippel și Gönner. Un caz limitativ al unor unde-simetrice axe pp produce ultraboost-ul Aichelburg / Sexl care modelează o coliziune ultra-relativistă cu un obiect izolat sferic simetric.

Același subiect în detaliu: Spațiul-timp al undelor plane .

JD Steele a introdus noțiunea de spațiu-timp generalizat de undă pp . Acestea sunt non-plate Lorentzian admite un spațiu - timp covariantă auto dublu constant nul câmp bivectoral. Numele este potențial înșelător, deoarece, după cum remarcă Steele, acestea sunt nominal un caz special de unde PP non-plate în sensul definit mai sus. Ele sunt doar o generalizare, în sensul că, deși forma metrică a lui Brinkmann a fost păstrată, ele nu sunt neapărat soluțiile de vid studiate de Ehlers și Kundt, Sippel și Gönner etc.

O altă clasă specială importantă de unde PP sunt valurile sandwich . Acestea au curbura tendind la zero, cu excepția câtorva câmpuri $u_{1}<u<u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {1} <u <u_ {2}}$ ${\ displaystyle u_ {1} <u <u_ {2}}$ Și reprezintă o undă gravitațională care se mișcă printr-un fundal (fundal) al spațiului-timp al lui Minkowski .

Relația cu alte teorii

Deoarece acestea constituie o clasă foarte simplă și naturală a varietăților lorentziene, definită în termeni de congruență zero, nu este foarte surprinzător faptul că sunt importante și în alte teorii ale câmpului gravitațional relativistic clasic . În special, undele pp sunt soluțiile exacte în teoria Brans-Dicke , în diferitele teorii ale curburii superioare , în teoriile lui Kaluza-Klein și în unele teorii gravitaționale ale lui JW Moffat . Într-adevăr, BOJ Tupper a arătat că soluțiile comune de vid în relativitatea generală și teoria lui Brans / Dicke sunt tocmai unde pp în vid (dar teoria lui Brans / Dicke admite alte soluții asemănătoare undelor). Hans-Jürgen Schmidt a reformulat teoria undelor pp (cu patru dimensiuni) în termenii teoriei gravitaționale a dilatației metrice bidimensionale .

Undele PP joacă, de asemenea, un rol important în căutarea gravitației cuantice , deoarece, așa cum a indicat Gary Gibbons , toate corecțiile cuantice ale termenului buclă tind să fie zero identic pentru fiecare spațiu-timp al undelor pp. Aceasta înseamnă că studierea cuantificărilor de nivel trei ale spațiu-timp a undei pp oferă o privire asupra lumii încă necunoscute a gravitației cuantice.

Este firesc să generalizăm undele pp la dimensiuni superioare, unde se bucură de proprietăți similare cu cele pe care le-am discutat. CM Hull a demonstrat că astfel de unde PP cu dimensiuni superioare sunt elementele esențiale pentru supergravitatea cu unsprezece dimensiuni.

Proprietăți geometrice și fizice

Undele PP se bucură de numeroase proprietăți uimitoare. Unele dintre proprietățile lor matematice mai abstracte au fost deja menționate. În această secțiune vom discuta doar câteva proprietăți suplimentare.

Luați în considerare un observator inerțial în spațiul-timp al lui Minkowski care se confruntă cu o undă de tip sandwich. Un astfel de observator va experimenta unele efecte optice interesante. Dacă se uită pe fronturile de undă primite din galaxiile îndepărtate care au întâlnit deja valul, le va vedea imaginile nedistorsionate. Acesta trebuie să fie cazul, având în vedere că nu poate cunoaște valul care ajunge, până când nu a ajuns la poziția sa, deoarece călătorește cu viteza luminii. Cu toate acestea, acest lucru poate fi confirmat de calculul direct al scalarilor optici de congruență zero $\partial _{v}$ ${\ displaystyle \ partial _ {v}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {v}}$ . Acum, să presupunem că, după ce valul a trecut, observatorul nostru se întoarce și se uită peste fronturile valului care fugă spre galaxii îndepărtate pe care valul nu le-a atins încă. Acum vede imaginile lor optice tăiate și mărite (sau micșorate) într-o manieră dependentă de timp. În cazul în care valul se întâmplă să fie o undă plan gravitațională polarizată , el va vedea imagini circulare alternativ: stoarse pe orizontală pe măsură ce sunt extinse pe verticală și stoarse pe verticală pe măsură ce sunt extinse pe orizontală. Aceasta arată în mod direct, în relativitatea generală, efectul caracteristic al unei unde gravitaționale asupra luminii.

Efectele unei unde gravitaționale polarizate care trece peste pozițiile relative ale unui nor de particule testate (inițial statice) vor fi calitativ foarte similare. Am putea aminti aici că, în general, mișcarea particulelor de test în spațiul-timp al undei p poate manifesta haos.

Faptul că ecuația câmpului lui Einstein este neliniar este bine cunoscut. Aceasta implică faptul că, dacă aveți două soluții exacte, nu există aproape nici o modalitate de a le suprapune liniar . Undele pp oferă o excepție rară de la această regulă: dacă aveți două unde pp care împărtășesc același vector constant covariant nul (aceeași congruență geodezică nulă, adică același câmp vector de undă), cu funcții metrice $H_{1},H_{2}$ ${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ ${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ respectiv, atunci $H_{1}+H_{2}$ ${\ displaystyle H_ {1} + H_ {2}}$ ${\ displaystyle H_ {1} + H_ {2}}$ oferă o a treia soluție exactă.

Roger Penrose a observat că aproape de o geodezică nulă, orice spațiu-timp lorentzian arată ca o undă plană . Pentru a demonstra acest lucru, el a folosit tehnici importate din geometria algebrică pentru a „arunca în aer” spațiu-timp, astfel încât data geodezică nulă să devină congruența constantă covariantă nulă a undei plane. Această construcție se numește limita Penrose .

Penrose a subliniat, de asemenea, că într-un spațiu-timp de unde pp, toți invarianții polinomiali scalari ai tensorului Riemann tind la zero identic , dar curbura este aproape niciodată zero. Dacă considerăm tensorul Riemann ca un tensor de rang secund care acționează asupra bivectori, atunci acest fenomen este analog cu faptul că un vector nul, altul decât zero, are o lungime pătratică care tinde la zero.

Penrose a fost, de asemenea, primul care a înțeles natura ciudată a cauzalității în spațiul-timp al undelor sandwich. El a arătat că unele sau toate geodeziile nule emise într-un eveniment dat vor fi reorientate într-un eveniment ulterior (sau o serie de evenimente). Detaliile depind de faptul dacă unda este pur gravitațională, pur electromagnetică sau nici una, nici alta.

Fiecare undă pp admite multe grafice Brinkmann diferite. Acestea sunt corelate prin intermediul transformărilor de coordonate , care în acest context pot fi considerate transformări ale ecartamentului . În cazul undelor plane, aceste transformări ale ecartamentului ne permit să luăm întotdeauna în considerare două unde plane care se ciocnesc, care au fronturi de undă paralele și, prin urmare, se poate spune că undele se ciocnesc în față . Acesta este un rezultat exact în relativitatea generală neliniară completă, analog cu rezultatul privind undele plane electromagnetice tratate în relativitate specială.

Exemple

Există multe exemple explicite notabile de unde pp. (Termenul „explicit” înseamnă că funcțiile metrice pot fi considerate în termeni de funcții elementare sau poate funcții speciale bine cunoscute , cum ar fi funcțiile Mathieu ).

Exemplele explicite de unde pp simetric-axă includ

Ultraboost-ul Aichelburg-Sexl este o undă plană impulsivă care modelează experiența fizică a unui observator care țâșnește dintr-un obiect gravitator sferic simetric cu aproape viteza luminii.
Raza Bonnor este o undă plană simetrică axa care modelează câmpul gravitațional al unei raze infinit de lungi de radiații electromagnetice incoerente.

Exemplele explicite spațiu-timp ale undelor plane includ

soluții exacte ale undelor plane monocromatice ( gravitaționale și electromagnetice ) care generalizează soluțiile bine cunoscute provenite din aproximarea câmpului slab ,
Generarea undei plane Schwarzschild , o undă gravitațională care, dacă ar intra în coliziune frontală cu un geamăn, ar produce în zona de interacțiune a soluției de undă plană de coliziune rezultată o regiune care este izometrică local în partea interioară a unui negru Schwarzschild gaură , permițând astfel o privire clasică în geometria locală în orizontul evenimentelor ,
undă plană electromagnetică uniformă ; acest spațiu-timp este foliat prin intermediul unor hiperclise de tip spațial care sunt izometrice pentru $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ ,
unda de moarte este o undă gravitațională care prezintă o puternică singularitate de curbură nulă non-scalară , care se propagă printr-un spațiu-timp inițial plat și distruge progresiv universul,
unde plane omogene sau unde plane SG11 (tip 11 în clasificarea simetriei Sippel și Gönner), care prezintă o singularitate de curbură nulă non-scalară și care apar ca limitele Penrose ale unei geodezice nule adecvate care abordează singularitatea curburii prezente în multe soluții importante din punct de vedere fizic , inclusiv găurile negre Schwarzschild și modelele cosmologice FRW .

Bibliografie

( EN ) JD Steele, On Generalized PP Waves ( PDF ), la web.maths.unsw.edu.au . Adus la 12 iunie 2005 .

( EN ) Hall, Graham, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (World Scientific Lecture Notes in Physics) , Singapore, World Scientific Pub. Co, 2004, ISBN 981-02-1051-5 .

( EN ) Stephani, Hans, Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard, Exact Solutions of Einstein's Field Equations , Cambridge, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-46136-7 . A se vedea secțiunea 24.5

( EN ) Sippel, R., Gönner, H., Clase de simetrie a undelor pp , în rel. Gen. Grav. , vol. 12, 1986, pp. 1129-1243.

(EN) Penrose, Roger, Orice spațiu-timp are o undă plană ca limită, Geometrie diferențială și relativitate, 1976, pp. 271-275.

( EN ) Tupper, BOJ, Soluții comune ale teoriilor Einstein și Brans-Dicke , în Int. J. Th. Phys. , vol. 11, 1974, pp. 353–356, DOI : 10.1007 / BF01808090 .

( EN ) Penrose, Roger, O proprietate remarcabilă a undelor plane în relativitatea generală , în Rev. Mod. Phys. , vol. 37, 1965, pp. 215–220, DOI : 10.1103 / RevModPhys.37.215 .

( EN ) Ehlers, Jürgen, Exact solutions of the gravitational field ecuations , Gravitation: an Introduction to Current Research , 1962, pp. 49-101. Vezi secțiunea 2-5

(EN) Baldwin, NY, Jeffery, GB, Teoria relativității undelor plane , în Proc. Roy. Soc. Lond. A , vol. 111, 1926, p. 95, DOI : 10.1098 / rspa.1926.0051 .

( EN ) HW Brinkmann, spațiile Einstein care sunt mapate conform unul pe celălalt , în Math. Ann. , vol. 18, 1925, p. 119, DOI : 10.1007 / BF01208647 .

( EN ) Yi-Fei Chen și JX Lu (2004) „ Generarea unei brane dinamice M2 din super-gravitoane într-un fundal de undă pp ”
( EN ) Bum-Hoon Lee (2005) „ D-brane în fundalul valului pp ”

linkuri externe

( EN ) Pp-wave pe arxiv.org , pe xstructure.inr.ac.ru .

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp ale lui Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometria Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitația liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza - Klein · Gravitația cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking