Spațiu de probă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În calculul probabilităților, spațiul eșantionului sau universul setat (în general indicat de litere , sau ) este ansamblul posibilelor rezultate ale unui experiment aleatoriu. De exemplu, atunci când aruncați o matriță cu șase fețe, spațiul eșantionului este setul , în aruncarea unei monede este întregul (cu excepția faptului că moneda poate plasa pe margine) și așa mai departe. Spațiul eșantionului poate avea, de asemenea, elemente infinite: dacă, de exemplu, suntem interesați de studiul căderii unei bile pe o podea, spațiul eșantionului va corespunde setului de puncte de pe podea, toate considerate ca fiind posibile puncte de impactul mingii.

Definiții formale

Spațiu de probă

Având în vedere un experiment aleatoriu, se numește eveniment elementar unul dintre posibilele rezultate ale experimentului în sine. Ansamblul tuturor evenimentelor elementare se numește spațiu eșantion ( spațiu eșantion în literatura anglo-saxonă); evenimentele elementare reprezintă punctele acestui spațiu.

Conceptele de spațiu eșantion și eveniment elementar sunt concepte primitive în teoria probabilității , precum cele ale unui punct sau linie în geometrie , și nu sunt definite în continuare din alte concepte. Prin urmare, nu există indicații sau limitări cu privire la natura evenimentelor elementare; în restul intrării vom da câteva exemple în care evenimentele elementare capătă o natură matematică specifică.

Evenimente

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Eveniment (teoria probabilității) .

În timp ce un eveniment elementar indică unul dintre rezultatele posibile ale unui experiment aleatoriu, un eveniment este orice subset a spațiului eșantion a evenimentelor elementare. Prin urmare, un eveniment nu este altceva decât un grup de unul sau mai multe evenimente elementare. Prin urmare, expresiile eveniment elementar și eveniment fără alte specificații se referă la entități de altă natură: primele sunt puncte ale unui spațiu, a căror natură nu este definită în continuare în general, în timp ce acestea din urmă sunt seturi, prin urmare tratabile cu toate instrumentele teorie omonimă .

Setul corespunzător întregului spațiu eșantion este în sine un eveniment, ca un set de evenimente elementare; se numește un anumit eveniment, deoarece include toate evenimentele elementare, adică toate rezultatele posibile ale unui experiment. Evenimentul corespunzător setului gol , care nu include niciun eveniment elementar, se numește eveniment imposibil.

Având în vedere un spațiu eșantion asociat cu un experiment, este posibil ca analiza care trebuie efectuată să nu implice toate evenimentele posibile, ci doar o parte din acestea. Evenimentele care joacă un rol într-o analiză specifică sunt numite evenimente de interes.

Sigma-algebră

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Sigma-algebră .

Este un spațiu arbitrar atâta timp cât nu este gol. O familie a evenimentelor de (adică orice colecție de subseturi ) se spune -algebra ( sigma -algebra) dacă conține și este închisă în raport cu operațiile setate de unire și complementare numărabile, adică dacă îndeplinește următoarele trei proprietăți:

Prin urmare: (1) evenimentul cert este un eveniment (ca să spunem: „se întâmplă ceva”); (2) negarea oricărui eveniment este ea însăși un eveniment; (3) orice unire de evenimente este un eveniment (de exemplu, evenimentul "are loc sau „este unirea evenimentului” are loc apare „cu eveniment” ").

Proprietatea 1. este complet echivalentă cu:

1 '.

Proprietatea 3. este complet echivalentă cu:

3 '.

adică o sigma-algebră este de asemenea închisă în raport cu intersecțiile numărabile.

O sigma-algebră este cea mai potrivită metodă pentru a descrie un set de evenimente pornind de la un set de evenimente elementare și se numește și spațiul evenimentelor. Reprezintă un concept larg acoperit în teoria măsurătorilor și derivă dintr-o generalizare a algebrei de mulțimi . Acest lucru, care necesită stabilitate doar pentru uniunile finite (și nu pentru cele numărabile), nu este totuși adecvat pentru a descrie toate evenimentele posibile, precum cele de tipul „mai devreme sau mai târziu, plouă”. De fapt, acest eveniment poate fi tradus într-un limbaj stabilit ca „plouă azi” sau „plouă mâine” sau „plouă poimâine” și așa mai departe; acesta este evenimentul este descris de unirea evenimentelor infinite, , din care derivă faptul că pentru definiția algebrei ar putea fi ; asa de nu ar fi un eveniment inclus într-un model bazat pe algebra setată. Pentru a depăși acest lucru, se introduce noțiunea de sigma-algebră.

Având în vedere un spațiu arbitrar și o familie din subseturile sale este posibil, întotdeauna și în diferite moduri, să extindem familia până când devine sigma-algebră. Cea mai mică sigma-algebră care conține familia este indicat cu și numită sigma-algebră generată de familie.

Spațiul probabilității

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu:Spațiul probabilității .

Conceptele de spațiu eșantion și spațiu pentru evenimente definit până acum, considerat împreună cu cel al unei măsuri , numită exact măsură de probabilitate , contribuie la definirea conceptului de spațiu de probabilitate , care reprezintă baza dezvoltării axiomatice a teoriei probabilităților .

Observații

Elementele setului de părți ale sunt subseturile din ; deci o familie de subseturi de este un subset al setului de părți ale , .

Un eveniment este un subset de , și nu un element al acestuia. Prin urmare, un eveniment, ca întreg, nu aparține spațiului eșantion, ci este inclus în spațiul eșantion. Dimpotrivă, un eveniment elementar , ca punct, aparține spațiului eșantion și evenimentului , un set format dintr-un singur punct (și, prin urmare, numit singlet ), este inclus în spațiul de probă. Apoi puteți scrie în timp ce scria nu are sens.

Dacă cardinalitatea de s-a terminat, apoi -algebra poate coincide cu setul de piese; cu toate acestea, nu este neapărat necesar să se ia în considerare o familie atât de mare de evenimente.

Evident, nimic nu ne împiedică să luăm ansamblul părților ca spațiu pentru evenimente. Acest lucru se datorează faptului că, în cazul cardinalității finite, este întotdeauna posibil să se ia ca -algebră întregul set de piese, fără riscul de a se confrunta cu evenimente căruia nu se poate atribui o probabilitate .

Dacă, pe de altă parte, cardinalitatea lui este infinit, s-ar putea să nu fie neapărat posibil să-l definim . În acest caz, s-ar putea ca alegerea setului de părți ca sigma-algebră să nu fie fericită: în virtutea celei de-a treia proprietăți a sigmei-algebre, atunci când trecem la probabilitate, sunt implicate serii care nu se spun a converge.

În general, încercăm întotdeauna să alegem o sigma-algebră mică, deoarece este mai ușor de utilizat. Faptul că o sigma-algebră nu coincide cu întregul set de părți nu înseamnă că unele evenimente elementare pot fi excluse din aceasta; de fapt, prin definiția sigmei-algebre, trebuie să fie . Cu alte cuvinte, sigma-algebrele definite pe Sunt o copertă a .

Tipuri de spațiu eșantion

Alegerea spațiului eșantion pentru un anumit fenomen aleatoriu trebuie să echilibreze cumva nevoia de a fi fidel realității fizice examinate cu comoditate matematică.

În practică, majoritatea spațiilor eșantion se încadrează în următoarele tipuri:

Totul este gata

Cele mai simple experimente aleatorii constau în aruncarea unei monede sau zaruri, sau scoaterea unei mingi dintr-o urnă. În orice caz, spațiul eșantion va fi un set format dintr-un număr finit de evenimente elementare. În general, dar nu neapărat, ele vor fi reprezentate de primele n numere întregi: sau .

Numărabile

Multe modele probabilistice importante, cum ar fi cea Poissoniană folosită pentru a număra numărul de evenimente care apar într-un interval de timp fix, se bazează pe un spațiu eșantion contabil și coincident, deci cu tot sau cu .

Continuu

De obicei, modelul continuu prin excelență este linia reală, ca în cazul erorilor de măsurare din observațiile științifice al căror studiu sistematic a fost inițiat de Karl Friedrich Gauss în 1809. Alte modele, utile pentru reprezentarea timpilor de viață ai componentelor electronice, au adevăratul pozitiv raza ca model.

Vector terminat

Adesea, un experiment constă dintr-o secvență finită a altor experimente, cum ar fi, de exemplu, aruncarea unui zar repetat de n ori. În acest caz, dacă este spațiul eșantion al lansării unice, spațiul eșantionului global va fi dat de produsul cartezian al spațiilor individuale: .

Spațiul eșantion al experimentului unic poate fi atât finit, cât și numărabil, precum și continuu.

Vector numărabil

Ca și în cazul vectorului finit, singura diferență este că secvența experimentelor individuale nu este finită, deci poate fi numărată: .

Acest model apare, de exemplu, în analizele de calitate ale pieselor care părăsesc o linie de producție sau mersul aleatoriu (random walk) cu .

Funcţional

În unele experimente aleatorii de fizică, rezultatele experimentului sunt căile sau traiectoriile unei particule pe un anumit interval de timp. Deci, fiecare rezultat, în acest caz, este o funcție. Acest model apare insistent în procesele stochastice .

Exemple

Pentru multe experimente poate exista mai mult de o alegere plauzibilă atât pentru spațiul eșantion cât și pentru spațiul evenimentelor, iar alegerea lor este o parte cheie în construirea unui model probabilistic. O alegere corectă în această etapă conferă un avantaj care devine clar atunci când se atribuie o măsură de probabilitate . Câteva exemple sunt enumerate aici.

Un pachet de cărți

De exemplu, în cazul extragerii unei cărți dintr-un pachet, se poate alege să reprezinte scorul ( {Ace, Two, Three, ..., King}), sau costumul ( {Hearts, Diamonds, Clubs, Spades}) sau la alegere {Cu fața în sus, cu fața în jos} dacă doriți să luați în considerare posibila răsturnare a unor cărți din pachet. O descriere mai completă a rezultatelor ar putea apoi specifica toate aceste elemente prin construirea unui spațiu eșantion ca produs cartezian din exemplele date mai sus.

O foaie în bucăți

Să luăm orice foaie: în întregime va reprezenta spațiul nostru de probă. Particulele unice ale foii vor corespunde punctelor din spațiul eșantionului sau evenimentelor elementare. Dacă acum rupem foaia în bucăți, fiecare dintre piese va reprezenta un eveniment care, ca agregat de particule, va fi un subset al foii originale și, ca piesă, va fi un element al setului de bucăți din foaie (setul de piese). Observăm că o foaie ruptă în bucăți constituie o partiție a foii originale. Piesele în care am rupt foaia nu epuizează întregul set de părți, ci constituie doar o familie a acesteia. Această familie poate fi extinsă la o sigma-algebră prin adăugarea la ea și a tuturor compozițiilor posibile obținute cu operațiile setate de unire numărabilă, intersecție numărabilă și complementare. De exemplu, va trebui să adăugăm familiei unirea tuturor pieselor (întreaga foaie). Alături de fiecare piesă a familiei va trebui să adăugăm complementaritatea acesteia (adică unirea tuturor celorlalte piese) și așa mai departe.

Observăm că această procedură ne conduce la o sigmă-algebră, dar nu la ansamblul părților, pentru a ajunge la care ar trebui să repetăm ​​procedura și pentru toate celelalte moduri în care putem rupe foaia originală.

Aruncarea unei matrițe echilibrate

Să luăm în considerare un experiment care constă în aruncarea unei matrițe comune (un cub ale cărui fețe sunt numerotate din la ) pe o suprafață plană cu frecare și delimitată de pereți proiectați să conțină mișcarea piuliței (adică o cutie!) și să presupunem că piulița este echilibrată (adică distribuția sa de masă este uniformă și nu favorizează o față față de celelalte) .

Rezultatele acestui experiment sunt măsurabile. De fapt, după ce și-a consumat energia, matrița se va opri inexorabil plasând una dintre fețele sale pe suprafață și arătând astfel partea opusă faței de susținere a experimentatorului.

Numărul imprimat pe fața expusă poate fi folosit pentru a reprezenta rezultatul experimentului care, în general, va avea șase rezultate posibile distincte (la fel de multe ca fețele morții). Vom codifica aceste rezultate cu primele șase numere întregi.

Apoi evenimentele elementare vor fi primele șase numere întregi și spațiul eșantion asociat cu acest experiment va fi care are cardinalitate evident terminat.

Deoarece fiecare eveniment este un subset al spațiului eșantion care este un element al setului de părți ale Sunt evenimente posibile incluzând, evident, setul gol, întregul , cele șase singole, perechi posibile, colegii si asa mai departe.

Alegerea -algebra de utilizat depinde de obiective. Dacă, de exemplu, suntem interesați să calculăm probabilitatea ca un număr par să iasă, singurele evenimente de interes vor fi = "a ieșit o cravată" și complementar. Cea mai mică sigma-algebră care conține evenimentul Sara: . Nu este singura, ci, printre toate algebrele sigma care conțin evenimentul , prin urmare, este cel mai mic care generează mai puțină muncă și mai puține probleme.

Sigma-algebră a lui Borel activată

Această sigma-algebră , care își ia numele de la matematicianul francez Émile Borel , nu reprezintă un caz intuitiv, dar este raportată aici pentru că este renumită, deoarece joacă un rol fundamental în mare parte din teoria probabilității și pentru că, în ciuda simplitatea (este suficient să investigăm pe un număr infinit de flipuri ale unei monede pentru a intra într-o algebră sigma Borel), a contestat teoria clasică a probabilității, necesitând reinterpretarea axiomatică a lui Kolmogorov .

Este intervalul real unitar deschis spre stânga și închis spre dreapta. În plus, să familia de intervale de , a formei cu Apoi adăugăm la intervalele , toate uniunile lor finite și disjuncte și, în cele din urmă, și setul gol.

Algebra lui Borel obținută în acest mod, deși este foarte numeroasă, nu este încă o sigma-algebră; de exemplu singletele sunt excluse care, în virtutea proprietății 3 ', ar trebui să fie în schimb prezentă. Fiecare dintre ele este de fapt intersecție numărabilă a seturilor familiei, în acest sens

Întregul obținut din unirea de cu singletele este sigma-algebră; în plus, nu coincide cu setul de părți ale , și, prin urmare, nu este banal, așa cum va fi demonstrat de Giuseppe Vitali .

Construcția unei sigme-algebre

Să revenim la exemplul aruncării unui zar. Am văzut deja că, dacă suntem interesați să evaluăm probabilitatea ca acesta să iasă chiar, va trebui să luăm în considerare evenimentul = {a ieșit chiar}. Dar luate individual nu este suficient; pentru a finaliza partiția, va trebui să adăugați anunț complementar. Acum este o partiție, deoarece este închisă în ceea ce privește complementarea.

Evident, există alte posibile partiții, cum ar fi sau . Cu toate acestea, primul nu face distincție între par și impar, în timp ce al doilea adaugă detalii care nu sunt de interesul nostru, cum ar fi informațiile dacă impar este sau sau . Prin urmare reprezintă cea mai bună partiție cu privire la problema luată în considerare.

Dacă, dintr-un anumit motiv, trebuie să parcurgem toate cele șase configurații posibile, atunci partiția pe care trebuie să o construim va fi cât mai subțire posibil: . Odată ce acest spațiu eșantion a fost atribuit, toate uniunile posibile dintre elementele sale și complementarele lor sunt considerate a genera sigma-algebră (procedură valabilă pentru orice set finit). Prin urmare, sigma-algebră va conține, de exemplu:

Bibliografie

  • P. Halmos (1950): Teoria măsurătorilor , D. van Nostrand and Co.
  • W. Feller (1967): An Introduction to Probability Theory and its Applications , vol. I, III ed., J. Wiley & Sons
  • P. Billingsley (1995): Probabilitate și măsură , John Wiley & Sons
  • AF Karr (1993): Probabilitate , Springer-Verlag
  • G. Dall'Aglio (2003): Calculul probabilităților , ed. III, Zanichelli, ISBN 978-8808176769

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică