Spațiu compact

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - "Compact" se referă aici. Dacă sunteți în căutarea tunului Oto Melara , consultați Otobreda 127/54 Compact .

În matematică , în special în topologie , un spațiu compact este un spațiu topologic astfel încât fiecare dintre suprapunerile sale deschise conține un acoperire finit. [1] În unele contexte (de exemplu în geometria algebrică ) se preferă utilizarea termenului spațiu cvasicompact pentru a indica conceptul tocmai definit și pentru a rezerva termenul spațiu compact pentru a indica un spațiu topologic aproape compact și Hausdorff .

Se spune că un set conținut într-un spațiu topologic este compact dacă este un spațiu compact în topologia indusă . [2] O mulțime într-un spațiu topologic se mai numește σ-compact dacă este constituită din uniunea numărabilă a mulțimilor compacte. [3]

Intuitiv, punctele unui set compact nu pot fi dispersate prea: de exemplu, un spațiu metric este compact dacă și numai dacă fiecare succesiune de puncte are o subsecvență care converge la un punct din setul în sine. În general, fiecare subset infinit al unui spațiu topologic compact are un punct de acumulare .

Istorie și motivație

Termenul „compact” a fost introdus de Fréchet în 1906 . De mult timp se știe că o astfel de proprietate precum compactitatea era necesară pentru a demonstra multe rezultate utile. Inițial, când au fost studiate în principal spații metrice , un spațiu compact secvențial a fost numit „compact”. Definiția a fost înlocuită cu cea bazată pe acoperiri deschise care permite generalizarea multor rezultate demonstrate pentru spațiile metrice la spațiile topologice generale.

Unul dintre principalele motive pentru studierea spațiilor compacte este că, în anumite privințe, acestea sunt foarte asemănătoare cu mulțimile finite . De fapt, proprietatea capacului finit al seturilor deschise permite întotdeauna „aproximarea” întregului spațiu cu un număr finit de puncte, permițând extinderea la spații compacte a multor rezultate demonstrabile în mulțimi finite. De exemplu, ambele un spațiu de Hausdorff , punctul său e un subset finit al acestuia care nu conține punctul . Atunci este posibil să vă separați Și cu seturi deschise disjuncte. Mai mult, prin definiție, în spațiul Hausdorff există pentru fiecare a împrejurimilor din Și din (de asemenea, dependent de , adică din alegerea ) astfel încât Și sunt disjuncte. Uniunea dintre toate este un cartier al întregului , și intersecția (peste, de când este terminat) din este un cartier al , disjunct de la fiecare și deci din unirea lor . Acest raționament nu funcționează totuși nu este finit, deoarece intersecția unui număr infinit de cartiere nu este neapărat un cartier. Dacă totuși este compact, raționamentul este „salvabil”: de fapt în acest caz se poate extrage o acoperire finită , și intersecția finită a celor relative este din nou un cartier al .

Astfel vedem că într-un spațiu Hausdorff un punct poate fi separat de un set compact care nu îl conține. Un raționament analog arată că în spațiul Hausdorff două seturi compacte disjuncte sunt întotdeauna separabile de vecinătăți: cu alte cuvinte, axioma lui Hausdorff se menține prin substituirea „setului compact” cu „punct”.

Multe argumente și rezultate privind spațiile compacte urmează acest tip de raționament.

Definiție

Compacitatea este o noțiune definită pentru orice spațiu topologic . Există două concepte distincte de compactitate, definite, respectiv, în termeni de acoperiri și succesiuni . Cele două definiții coincid pentru multe spații topologice, de exemplu pentru spații metrice și, mai general, pentru spații secvențiale . În general, prima este acceptată ca definiție generală pentru spațiile topologice, în timp ce cea din urmă este utilizată în analiza matematică .

Compacitate pentru acoperiri

Un spațiu topologic se spune că este compact dacă din fiecare dintre acoperirile sale constituite dintr-o familie de seturi deschise este posibil să se extragă o subfamilie finită care este încă o acoperire. Cu alte cuvinte, pentru fiecare familie de subseturi deschise de astfel încât:

există un subset finit din astfel încât: [1]

Unii autori solicită ca un spațiu compact să fie al lui Hausdorff și , în acest caz, un spațiu care satisface definiția anterioară care nu este neapărat a lui Hausdorff se spune că este aproape compact .

În mod echivalent, un spațiu este compact dacă din fiecare familie de capete închise a căror intersecție este goală este posibil să se extragă o subfamilie finită a cărei intersecție este goală. Cu alte cuvinte, pentru fiecare familie de subseturi închise de astfel încât:

există un subset finit din astfel încât:

Echivalența definițiilor derivă din faptul că mulțimile închise sunt complementarele celor deschise și din relațiile de dualitate De Morgan ale operatorilor de uniune și de intersecție a mulțimilor.

Compacitate prin succesiuni

Un spațiu topologic spune compact pentru succesiuni, sau compact secvențial dacă fiecare secvență de puncte admite o subsecvență convergentă la un punct de . Cele două definiții sunt echivalente în spațiile metrice în virtutea teoremei Bolzano-Weierstrass , dar nu în spațiile topologice mai general.

Un exemplu de spațiu compact, dar necompact, este primul ordinal nenumărat , cu topologia indusă de relația obișnuită de ordine de membru . Setul este un spațiu care este în schimb compact (grație teoremei lui Tychonoff ), dar nu secvențial compact de funcții (de asemenea, necontinue) din interval in sinea lui.

În spațiile topologice există o caracterizare care utilizează rețele , numite și secvențe generalizate : un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă există o rețea în admite o subrețea care converge într-un punct în . [4]

Compacitatea spațiilor euclidiene

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema Heine-Borel .

Mulțumită teoremei Heine-Borel, un subset a spațiului euclidian este compact dacă și numai dacă este închis în topologia euclidiană, adică conține toate punctele sale de acumulare și este limitat , adică există un număr pozitiv astfel încât distanța dintre oricare două puncte în este întotdeauna mai puțin de . [5]

Afirmația nu este valabilă în schimb pentru spațiile cu dimensiuni infinite, de exemplu pentru spațiile Hilbert sau Banach . Mai mult, prin teorema lui Weierstrass , un subset compact de numere reale are un element minim și maxim.

Proprietate

Mai jos sunt principalele proprietăți care caracterizează spațiile compacte.

Puncte de acumulare

Prin teorema Bolzano-Weierstrass , orice subset infinit al unui spațiu compact admite cel puțin un punct de acumulare în .

Funcții continue

O versiune a teoremei Weierstrass susține că o funcție continuă definit pe un spațiu topologic compact este limitată , adică imaginea sa este conținută într-un set limitat al liniei reale.

Dovada este următoarea: luăm în considerare în familia de contraimagini a intervalelor deschise și delimitate ale liniei reale. Continuitatea funcției ne asigură că avem de-a face cu o familie de seturi deschise, din care, datorită compacității sale, este posibil să se extragă o acoperire finită a seturilor deschise, fiecare dintre acestea provenind dintr-un interval deschis și limitat. Unirea acestor intervale limitate, fiind finită, este limitată și include imaginea spațiului topologic.

Mai general, o funcție continuă:

între spațiile topologice „trimite compactele în compacte”: dacă este un subset compact de , imaginea lui este, de asemenea, compact.

Subseturi închise

Un subset închis al unui compact este, de asemenea, compact. Pe de altă parte, un subset compact într-un spațiu Hausdorff , de exemplu orice spațiu metric , este închis.

Produse și coeficienți

Prin teorema lui Tychonoff , produsul spațiilor compacte este compact.

Cocientul unui compact este compact, deoarece este o imagine surjectivă a prin proiecția pe coeficient (care trimite fiecare element de în clasa sa de echivalență), care este o funcție continuă (de altfel, topologia coeficientului este cel mai final între toți cei care fac proiecție continuă).

Spații metrice

Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este complet și total limitat . În special, orice spațiu metric compact este limitat, în sensul că are un diametru finit. Adică, a spus spațiu metric compact, avem neapărat că:

este o valoare finită. Rețineți că, deși delimitarea totală implică delimitarea, există spații metrice complete și delimitate, dar nu delimitate total, în special cele necompacte (a se vedea exemplul de mai jos de bile închise în spații cu dimensiune infinită).

Exemple

Exemple de spații compacte

  • Setul gol
  • Fiecare set cu topologie banală
  • Fiecare set cu topologia cofinată
  • O gamă închisă cu topologia standard pe reale este compact.
  • Sfera închisă, precum și torul , sunt compacte , fiind seturi închise și delimitate.
  • Setul Cantor
  • Fiecare spațiu topologic finit cu orice topologie conține un număr finit de seturi deschise, deci este compact.

Exemple de spații necompacte

  • Așa cum s-a explicat mai sus, dacă un spațiu metric este nelimitat (are un diametru infinit) nu poate fi compact.
    • Rezultă, de exemplu, că linia dreaptă (dar și spațiul euclidian ) cu topologia standard nu este compactă. Acest lucru poate fi văzut direct luând în considerare suprapunerea deschisă dupa cum , din care nu se poate extrage nici o legătură inferioară finită.
  • Mingea unitară închisă într-un spațiu complet de dimensiune infinită este un exemplu clasic de subset al unui spațiu complet care este limitat și închis, dar nu compact .
  • Fiecare set infinit cu topologie discretă .

Notă

  1. ^ a b W. Rudin , Pagina 35 .
  2. ^ Reed, Simon , Pagina 98 .
  3. ^ W. Rudin , Pagina 47 .
  4. ^ John L. Kelley: Topologie generală , van Nostrand, 1955
  5. ^ W. Rudin , pagina 36 .

Bibliografie

  • ( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
  • ( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică