Spațiul lui Baire

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea definiției conceptului din punctul de vedere al teoriei mulțimilor , consultațispațiul Baire (teoria mulțimilor) .

În matematică, un spațiu Baire este un spațiu topologic „suficient de bogat” în puncte pentru a permite, intuitiv vorbind, anumite procese la limită. Își datorează numele matematicianului René-Louis Baire care a introdus prima dată conceptul.

Motivație

Într-un spațiu topologic, orice ansamblu închis cu un interior gol poate fi considerat un punct al spațiului. Conceptul de spațiu al lui Baire surprinde ideea de „lățime”, din acest punct de vedere, al unui întreg, în sensul că un spațiu Baire nu poate fi generat ca o uniune numărabilă a punctelor sale. Un exemplu este dat de o familie arbitrară de linii numărabile într-un plan: niciuna dintre aceste familii nu este capabilă să acopere planul.

Definiție

Definiția riguroasă a spațiului de către Baire a fost modificată de mai multe ori de-a lungul timpului, adaptându-l, din când în când, la noile puncte de vedere propuse de gândirea matematică. În primul rând, ne vom uita la definiția modernă și apoi vom examina o definiție diferită și mai apropiată de cea introdusă inițial de Baire.

Definiție modernă

Un spațiu topologic se numește spațiu Baire dacă uniunea numărabilă a fiecărei familii de seturi închise cu un interior gol are un interior gol.

Această definiție este echivalentă cu fiecare dintre următoarele propoziții:

  • Orice intersecție numărabilă a seturilor deschise și dense este densă .
  • Interiorul fiecărei uniuni numărabile de întregi dense nu este nicăieri gol.
  • Dacă unirea unei familii numărabile de subseturi închise de admite un punct interior , apoi unul dintre elementele acestei familii admite un punct interior.

Definiție clasică

În definiția sa originală, Baire a introdus noțiunea de categorie (care nu trebuie confundată cu teoria categoriilor ) în următorii termeni:

Un subset al unui spațiu topologic se spune:

  • niciodată dens în dacă interiorul închiderii sale este gol
  • de primă clasă sau slab în dacă poate fi obținut ca o uniune a unei familii numărabile de mulțimi niciodată dense
  • a doua categorie în dacă nu este de prim rang în

Definiția spațiului Baire poate fi apoi afirmată după cum urmează: un spațiu topologic este un spațiu Baire dacă orice set deschis ne-gol este de clasa a doua în . Această definiție este echivalentă cu cea modernă. Un subset din comagro se spune dacă este complementară e slab.

Exemple

  • Întregul a numerelor reale , cu topologia obișnuită, este un spațiu Baire și, prin urmare, este a doua categorie în sine. Mulțimea numerelor raționale este de prima categorie în în timp ce mulțimea numerelor iraționale este de a doua categorie în .
  • Setul Cantor este un spațiu Baire și, prin urmare, este al doilea nivel în sine. În schimb, este de prim rang în intervalul [0, 1] cu topologia obișnuită.
  • Următorul set, având măsură Lebesgue zero, este de a doua categorie în .
Unde Este o succesiune de numărare a numerelor raționale.
  • Setul de numere raționale cu topologia relativă obișnuită nu este un spațiu Baire, deoarece este o uniune numărabilă de seturi închise cu un interior gol, propriile sale singleturi .

Teorema categoriei lui Baire

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema categoriei lui Baire .

Teorema categoriei lui Baire oferă condiții suficiente pentru ca un spațiu topologic să fie un spațiu Baire și este una dintre teoremele fundamentale ale topologiei și analizei funcționale .

TCB1 implică faptul că fiecare dintre următoarele seturi este un spațiu Baire:

  • Întregul numere reale
  • Ansamblul numerelor iraționale
  • Setul Cantor
  • Orice varietate
  • Fiecare spațiu topologic este homeomorf pentru un spațiu Baire

Proprietate

  • Fiecare spațiu Baire neocupat este al doilea rând în sine și fiecare intersecție numărabilă a subseturilor deschise și dense de nu este gol. Unirea disjunctă a setului de numere raționale cu intervalul unitar arată că cele două implicații inverse sunt ambele false.
  • Luați în considerare o familie de funcții continue cu limită . De sine este un spațiu Baire, apoi setul de puncte în care nu este continuu este slab în , în timp ce setul de puncte în care este continuu este dens în .

Bibliografie

  • (EN) Munkres, James, Topologie, ediția a II-a, Prentice Hall, 2000.
  • ( EN ) Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annals of Mat. Ser. 3 3 , 1-123.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică