Spațiul Banach

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică, un spațiu Banach este un spațiu complet normat în raport cu metrica indusă de normă. [1]

Spațiile Banach au fost studiate inițial de Stefan Banach , de la care și-au luat numele și constituie un obiect foarte important de studiu al analizei funcționale : multe spații funcționale sunt, de fapt, spații Banach.

Definiție

Un spațiu Banach este un spațiu vectorial pe câmpul numerelor reale sau complexe , a căror dimensiune poate fi infinită și pe care se definește o normă astfel încât fiecare secvență Cauchy să fie convergentă (adică are o limită ) la un element al spațiului.

O condiție necesară și suficientă pentru un spațiu vector normat ambele complete, adică ambele ale lui Banach, sunt toate secvențele absolut rezumabil, adică astfel încât:

sunt, de asemenea, rezumabile:

și în special converg către un element de . [2]

Exemple

  • Adevărata linie cu distanta .
  • Spațiul vectorial sau cu una dintre distanțe:
determinată de un număr real .
  • Spațiu dimensional infinit de secvențe mărginite cu distanta:
  • Spațiul dimensional infinit al funcțiilor continue pe un interval cu distanta:

Baza Schauder

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: baza Schauder .

O bază Schauder într-un spațiu Banach este o succesiune de vectori în astfel pentru fiecare transportator există un set de scalari , definit în mod unic, astfel încât:

adică:

Pentru principiul uniform al delimitării rezultă că transformările liniare sunt delimitate uniform de unele constante .

Funcționalități liniare că la fiecare asociați coordonatele lor respective se numesc funcționale biortogonale . Dacă vectorii de bază au norma 1, atunci funcționalele coordonate au norma mai mică de în dualul de .

Reflexivitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Spațiu reflectorizant .

O parte substanțială a studiului spațiilor lui Banach se referă la criteriile care îl fac un spațiu reflectorizant, adică un spațiu (în general local convex ) care coincide cu bidualul său ( dualul continuu al spațiului său dual continuu) atât ca spațiu vectorial, cât și ca topologic spațiu .

Derivate

În spațiile Banach se utilizează diferite generalizări ale derivatei , în special derivatele Fréchet și Gâteaux . Prima permite caracterizarea extensiei derivatei direcționale într-un spațiu Banach, în timp ce derivata Gâteaux se referă la derivata direcțională în spații convexe local (aceasta este o condiție pentru diferențialitate care este mai slabă decât cea a lui Fréchet: se obține o cale intermediară cu cvasi-derivată ).

Generalizări

Există câteva generalizări importante ale spațiului Banach în analiza funcțională ; de exemplu spațiul distribuțiilor pe este completă, dar nu este reglementată. În spațiile Fréchet există metrici complete, în timp ce spațiile LF sunt spații vectoriale uniforme care extind spațiile Fréchet.

Algebre Banach

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Algebra Banach .

O algebră Banach este o algebră asociativă pe numere reale sau numere complexe care este și un spațiu Banach. Algebra multiplicării și spațiul Banach normat trebuie să fie conectate prin inegalitate:

care stabilește că standardul produsului este mai mic sau egal cu produsul standardelor. Acest lucru asigură că operația de multiplicare este o funcție continuă .

Printre cele mai semnificative exemple, mulțimea numerelor reale (sau complexe) este o algebră Banach cu norma valorii absolute , în timp ce mulțimea tuturor matricilor reale sau complexe n pentru n este o algebră Banach dacă o normă este asociată cu ele . De asemenea, algebra tuturor funcțiilor continue limitate la valori reale sau complexe pe un spațiu compact local (cu operația de multiplicare definită punctual și norma limitei superioare) este o algebră Banach, precum și cea a operatorilor liniari continuă pe un Spațiul Hilbert , care formează o C * -algebră și deci o algebră Banach.

Unele dintre cele mai populare spații Banach

Spus un câmp care poate fi sau , sunt un spațiu compact Hausdorff , un interval, Și numere reale cu Și și astfel încât . De asemenea, să fie o sigma-algebra , o algebră setată e o măsură cu variație totală .

spațiu dual grijuliu secvențial complet (convergență slabă) normă Notă
K n K n da da Spațiul euclidian
p n pn q da da
n n 1 da da
pq da da
1 Nu da
bv Nu Nu
c1 Nu Nu
c 01 Nu Nu Izomorf, dar nu izometric, la spațiul c .
bv Nu da Izomorf izomorf la ℓ 1 .
bv 0 Nu da Izomorf izomorf la ℓ 1 .
bs ba Nu Nu Izomorf izomorf la ℓ .
cs1 Nu Nu Izomorf izomorf la spațiul c .
B ( X , Ξ) ba (Ξ) Nu Nu
C ( X ) rca ( X ) Nu Nu
ba (Ξ) ? Nu da
ca (Σ) ? Nu da Subspatiul inchis al ba (Σ).
rca (Σ) ? Nu da Subspatiul inchis al ca (Σ).
L p ( μ ) L q ( μ ) da da
L 1 ( μ ) L ( μ ) Nu da Dualul este L ( μ ) dacă μ este o măsură σ-finită .
BV ( I ) ? Nu da V f ( I ) este modificarea totală a lui f
NBV ( I ) ? Nu da NBV ( I ) este format din funcțiile BV ( I ) astfel încât
AC ( I ) K + L ( I ) Nu da Izomorf la spațiul Sobolev W 1,1 ( I ).
C n ([ a , b ]) rca ([ a , b ]) Nu Nu Izomorf a , în esență prin teorema lui Taylor .

Notă

  1. ^ W. Rudin , pagina 95 .
  2. ^ Reed, Simon , Pagina 71

Bibliografie

  • H. Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015 .
  • ( EN ) Walter Rudin , Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
  • ( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 21617 · LCCN (EN) sh85011441 · NDL (EN, JA) 00.5605 milioane
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică