Spațiul Cantor

În topologie , un spațiu Cantor este un spațiu topologic homeomorf al setului Cantor ; Spațiile Cantor constituie, prin urmare, o generalizare a proprietăților topologice ale setului Cantor în sine.

Modelul canonic utilizat pentru descrierea spațiilor Cantor este produsul topologic al unei cantități numărabile de copii ale spațiului discret cu două elemente:

\prod _{n\in \mathbb {N} }\{0,1\}

{\ displaystyle \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} \ {0,1 \}}

{\ displaystyle \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} \ {0,1 \}}

.

Acest spațiu este de obicei indicat cu $\mathbf {2} ^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ sau $\mathbf {2} ^{\omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ omega}}$ , și este folosit ca model al spațiilor Cantor, deoarece din acesta este ușor să se deducă proprietățile topologice ale spațiilor în sine. Un element al $\mathbf {2} ^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ poate fi identificat ca o secvență binară infinită, adică o secvență fără termen

a=a_{1}a_{2}a_{3}\ldots

{\ displaystyle a = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ ldots}

{\ displaystyle a = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ ldots}

,

unde fiecare cifră $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ ia valorile 0 sau 1.

Având în vedere o succesiune $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , functia

f(a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}

{\ displaystyle f (a) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2a_ {n}} {3 ^ {n}}}}

{\ displaystyle f (a) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2a_ {n}} {3 ^ {n}}}}

este un homeomorfism între mulțimea Cantor și mulțimea $\mathbf {2} ^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}}}$ .

Caracterizarea spațiilor Cantor

Un spațiu topologic este Cantor dacă și numai dacă are următoarele proprietăți:

nu este gol;
este perfect (adică fiecare punct este un punct de acumulare sau, în mod echivalent, nu are puncte izolate );
este compact ;
este complet deconectat, adică fiecare dintre punctele sale este un set închis și constituie o componentă conectată ;
este metrizabil .

Această caracterizare este o consecință directă a teoremei următoare (datorată lui Brouwer ), conform căreia două spații compacte, perfecte Hausdorff cu o bază numărabilă constând din închis-deschis sunt homeomorfe între ele. Proprietățile indicate mai sus sunt ușor de verificat pentru setul Cantor ^[1] .

Unele proprietăți derivă imediat din această caracterizare; de exemplu, spațiile Cantor au toate cardinalitatea continuumului ; în plus, produsul cartezian dintr-o cantitate numărabilă de spații Cantor este încă un spațiu Cantor. Folosind această ultimă proprietate și funcția Cantor este posibil să construim curbe Peano .

Spații metrice și spații Cantor

Fiecare spațiu metric complet și perfect are spații Cantor ca subspatii; de fapt, în aceste spații fiecare set ne-gol și perfect conține cel puțin două subseturi perfecte disjuncte, cu diametru mic după voință, deci este posibil să se repete o construcție similară cu cea a setului Cantor.

Notă

^ A se vedea articolul aferent pentru demonstrație.

Bibliografie

( EN ) Alexander Kechris, Teoria clasică a seturilor descriptive , Springer, 1995, ISBN 0-387-94374-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] A se vedea articolul aferent pentru demonstrație.

[1]