Spațiul Hausdorff
În topologie , un spațiu Hausdorff , numit și spațiu separat și adesea prescurtat ca T 2 , este un spațiu topologic în care cartierele deschise disjuncte pot fi întotdeauna găsite pentru două puncte distincte. Numele este în cinstea matematicianului german Felix Hausdorff , 1868 - 1942 .
Majoritatea spațiilor luate în considerare în analiza matematică sunt de Hausdorff, atât de mult încât Felix Hausdorff a inclus axioma de separare în definiția sa originală a spațiului topologic ( 1914 ). Mai târziu, însă, s-a dovedit util să se ia în considerare și spațiile nedepărtate.
În plus, produsul fiecărei familii spațiale Hausdorff este un spațiu Hausdorff. [1]
Definiție
Un spațiu Hausdorff este un spațiu topologic care satisface următoarea axiomă de separare :
Un spațiu Hausdorff este, de asemenea, un spațiu T1 , de fapt este suficient să arătăm că punctele sunt închise: dar acest lucru este adevărat deoarece există vecinătăți disjuncte ale punctului în cauză și ale oricărui punct al setului complementar și, prin urmare, complementarul este în jur fiecare dintre punctele sale, atunci este deschis și punctul unic este unul închis.
Exemple
Numerele reale , cu topologia obișnuită în care mulțimile deschise sunt exact toate uniunile arbitrare ale intervalelor deschise, sunt un spațiu Hausdorff: Având în vedere două numere reale distincte x și y , x ≠ y , să d = | x - y | / 2 jumătate din distanța lor; atunci intervalele U =] x - d, x + d [și V =] y - d , y + d [sunt vecinătăți disjuncte ale lui x și y .
Un raționament similar arată că fiecare spațiu metric , deci în special și fiecare spațiu euclidian , este un spațiu Hausdorff: având în vedere două puncte, considerăm sferele deschise din jurul acestor puncte cu o rază egală cu jumătate din distanța lor; inegalitatea triunghiulară asigură faptul că cele două sfere sunt disjuncte.
Nu toate spațiile topologice sunt ale lui Hausdorff: un contraexemplu simplu este dat de un spațiu de cel puțin două puncte X cu topologia trivială {∅, X }. Un contraexemplu mai interesant este topologia Zariski în geometrie algebrică .
Notă
Bibliografie
- Walter Rudin, Analiză reală și complexă, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Elemente conexe
linkuri externe
- ( EN ) Space de Hausdorff , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
