Spațiul Sierpiński
În matematică , spațiul Sierpiński (sau setul de două puncte conectate ) este un spațiu topologic finit cu două puncte, dintre care doar unul este închis . Este cel mai mic exemplu de spațiu topologic care nu este nici banal, nici discret . Acesta poartă numele matematicianului Wacław Sierpiński .
Spațiul Sierpiński are o relație importantă cu teoria calculației și semanticii. [1]
Definiție și proprietăți fundamentale
În mod explicit, spațiul Sierpiński este un spațiu topologic S al cărui set de puncte este {0,1} și ale cărui seturi deschise sunt:
iar cele închise sunt:
Setul de singlet {0} este închis (dar nu este deschis), iar setul {1} este deschis (dar nu este închis).
Operatorul de închidere pe S este determinat de
Un spațiu topologic finit este, de asemenea, determinat în mod unic de precomanda de specializare . Pentru spațiul Sierpiński această precomandă este de fapt o ordine parțială, dată de
Proprietăți topologice
Spațiul Sierpiński S este un caz particular atât al topologiei punctului special (cu punctul special 1), cât și al topologiei punctului exclus (cu punctul exclus 0). Prin urmare, S are multe proprietăți comune cu ambele topologii.
Separare
- Punctele 0 și 1 se disting topologic în S , adică nu au aceeași familie de cartiere; de fapt {1} este un set deschis care conține doar unul dintre aceste puncte. Prin urmare, S este un spațiu Kolmogorov T 0 .
- Cu toate acestea, S nu este T 1, deoarece punctul 1 nu este închis. De aici rezultă că S nu este un spațiu Hausdorff sau T n pentru nici un n ≥ 1.
- S nu este regulat (sau complet regulat ), deoarece punctul 1 și setul disjunct închis {0} nu pot fi separate de cartiere . (Chiar și regularitatea, în prezența lui T 0 ar implica proprietatea Hausdorff).
- S este un spațiu vacu normal și complet normal [2] deoarece nu există seturi separate ne-goale.
- S nu este perfect normal , deoarece seturile disjuncte și {0} nu pot fi separate cu precizie de o funcție. De fapt, {0} nu poate fi setul zero al unei funcții continue S → R , deoarece fiecare funcție de acest tip este constantă .
Conexiune
- Spațiul Sierpiński S este atât hiperconectat (deoarece fiecare set deschis ne-gol conține 1), cât și ultraconectat (deoarece fiecare set închis ne-gol conține 0).
- Rezultă că S este atât conectat, cât și conectat prin margini .
- Un arc de la 0 la 1 în S este dat de funcția f (0) = 0 și f ( t ) = 1 pentru t > 0. Funcția f : I → S este continuă deoarece f −1 (1) = (0 , 1] este deschis în I.
- Ca toate spațiile topologice finite, S este conectat local prin margini .
- Spațiul Sierpiński este unul contractibil , astfel încât grupul fundamental al lui S este un grup banal al unui singur element, la fel ca toate grupurile de homotopie .
Compacitate
- Ca toate spațiile topologice finite, spațiul Sierpinski este ambele compacte, care este al doilea numărabil - spațiul englez al doilea numărabil - adică un spațiu care are o bază numărabilă.
- Subsetul compact {1} al lui S nu este închis, ceea ce arată că subseturile compacte ale spațiilor T 0 nu trebuie neapărat să fie închise.
- Fiecare acoperire de S S deschis trebuie să conțină același lucru, dat fiind că S este singurul în jurul valorii de 0 deschis. Astfel fiecare acoperire S deschisă are suboricoprimento care constă dintr-un singur set {S}.
- Rezultă că S este un spațiu complet normat . [3]
Convergenţă
- Fiecare succesiune în S converge la 0. Acest lucru se datorează faptului că singurul punct de aproximativ 0 în S este setul S în sine.
- O secvență din S converge la 1 dacă și numai dacă secvența conține doar un număr finit de termeni egal cu 0 (de exemplu o secvență posibil compusă, de la un anumit termen încoace, numai cu termeni egali cu 1).
- Punctul 1 este un punct de acumulare al unei secvențe în S dacă și numai dacă secvența conține termeni infiniti egali cu 1.
- Exemple :
- 1 nu este un punct de acumulare de (0,0,0,0, ...).
- 1 este un punct de acumulare (dar nu o limită) de (0,1,0,1,0,1, ...).
- Secvența (1,1,1,1, ...) converge la 0 și 1.
Metrizabilitate
- Spațiul Sierpiński S nu este metrizabil sau pseudometric, deoarece nu este regulat.
- S este generat de distanța hemimetrică sau pseudo-cvasimetrică și .
Alte proprietăți
- Există doar trei funcții continue de la S în sine: identitatea și funcțiile constante relative la valorile 0 și 1.
- Rezultă că homeomorfismul lui S este un grup banal .
Funcții continue în spațiul Sierpiński
Fie X un set arbitrar. Setul tuturor funcțiilor de la X la setul {0,1}, notat de obicei ca 2 X , constă tocmai din funcțiile caracteristice lui X. Fiecare dintre aceste funcții caracterizează un subset U al lui X și are forma
- .
Cu alte cuvinte, setul de funcții din 2 X este în corespondență unu-la-unu cu P ( X ), setul de părți ale lui X. Fiecare subset U al lui X are propria sa funcție caracteristică χ U și fiecare funcție de la X la {0,1} caracterizează un subset al lui X.
Acum, să presupunem că X este un spațiu topologic și, de asemenea, să presupunem că {0,1} are topologia Sierpiński. Atunci o funcție χ U : X → S este continuă dacă și numai dacă χ U −1 (1) este deschisă în X. Dar, prin definiție, Prin urmare χ U este continuu dacă și numai dacă U este un set deschis în X. Notăm cu C ( X , S ) setul tuturor hărților continue de la X la S și cu T ( X ) topologia lui X (de exemplu familia tuturor seturilor deschise). Apoi avem o corespondență unu-la-unu de la T ( X ) la C ( X , S ) care trimite setul deschis U în χ U.
Adică, dacă identificăm 2 X cu P ( X ), subsetul funcțiilor continue C ( X , S ) ⊂ 2 X este tocmai topologia lui X : T ( X ) ⊂ P ( X ).
Descriere în ceea ce privește teoria categoriilor
Structura prezentată mai sus poate fi descrisă în mod eficient folosind limbajul teoriei categoriilor . Există funcționalul contravariant T : Sus → Set de la categoria spațiilor topologice la categoria seturilor care atribuie fiecărui spațiu topologic X setul său de seturi deschise T ( X ) și fiecăreia dintre funcțiile sale continue f : X → Y harta imaginii
Afirmația devine astfel: functorul contravariant T este reprezentat de ( S , {1}) unde S este spațiul Sierpiński. Adică, T este în mod natural izomorf pentru functorul Hom Hom (-, S ) cu izomorfismul natural determinat de elementul universal - în engleză: universal element - {1} ∈ T ( S ).
Topologia inițială
Orice spațiu topologic X are topologia inițială indusă de familia C ( X , S ) a funcțiilor continue având spațiul Sierpiński drept codomain. De fapt, pentru a face topologia pe X mai puțin „ fină ”, trebuie să eliminăm câteva seturi deschise. Dar eliminarea setului deschis U face ca χ U să nu fie continuă. Prin urmare, X are cea mai puțin rafinată topologie posibilă dintre cele care păstrează continuitatea oricărei funcții în C ( X , S ).
Familia de funcții C ( X , S ) separă punctele din X dacă și numai dacă X este un spațiu T 0 . Două puncte x și y vor fi separate de funcția χ U dacă și numai dacă setul deschis U conține doar unul dintre cele două puncte. Aceasta înseamnă exact că x și y se disting topologic .
Deci, dacă X este spațiul T 0 , putem încorpora X ca subspaiul unui produs al spațiilor Sierpiński, unde avem o copie a lui S pentru fiecare set deschis U în X. Harta care încorporează X este dat de Deoarece subspațiul și produsele spațiilor T 0 sunt T 0 , rezultă că un spațiu topologic este T 0 , dacă și numai dacă este homeomorf pentru subspaiul unei puteri a lui S.
În geometria algebrică
În geometria algebrică , spațiul Sierpiński este introdus ca spectru , Spec ( R ), al unui inel de evaluare discret R ca Z (2) ( localizarea numerelor întregi la idealul primar generat de 2). Punctul generic al Spec ( R ), care provine din idealul nul , corespunde punctului deschis 1, în timp ce punctul special al Spec ( R ), care provine din singurul ideal maxim , corespunde punctului închis 0.
Notă
- ^ Un articol online, în limba engleză, explică motivele pentru care noțiunea de „topologie” poate fi aplicată în investigarea conceptelor de informatică. Alex Simpson: Structuri matematice pentru semantică Arhivat 7 ianuarie 2009 la Arhiva Internet .. Capitolul III:Spații topologice dintr-o perspectivă de calcul Arhivat 27 aprilie 2005 la Arhiva Internet .. Secțiunea Referințe oferă mai multe materiale despre teoria domeniilor.
- ^ Condiționat Afirmații: adevăr vacuous Filed 15 aprilie 2008 în Internet Archive .
- ^ Steen și Seebach, în mod incorect, includ spațiul Sierpinski ca un spațiu care nu este complet standardizat (sau complet T 4 în terminologia lor).
Referințe
- Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie ( ISBN 0-486-68735-X )