Spațiul de stat

În statistică și fizica matematică , în special în mecanica rațională și în teoria sistemelor dinamice , o reprezentare în spațiul de stare , cunoscută și sub numele de reprezentare în spațiul de fază , este o descriere a unui sistem dinamic în care se face referire specială la starea variabilelor de sistemul, care formează un spațiu vectorial în care este reprezentat. Dimensiunea spațiului vectorial menționat mai sus este egală cu dublul numărului de grade de libertate al sistemului; invers, un spațiu vectorial având o dimensiune egală cu numărul de grade de libertate va putea lua în considerare doar starea sistemului într-un singur moment.

Spațiu de configurare

Având în vedere un sistem dinamic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate, spațiul vectorial generat de coordonatele generalizate $q_{i},\ i=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle q_ {i}, \ i = 1, \ dots, n}$ ${\ displaystyle q_ {i}, \ i = 1, \ dots, n}$ se numește spațiul de configurare , în cadrul căruia sunt determinate univoc toate pozițiile unui sistem. În mecanica rațională, prin spațiu de configurație se înțelege de obicei o varietate care poate fi diferențiată în spațiul de coordonate generalizat, numit varietate de configurație .

Starea sau spațiul de fază

Se numește spațiul de stare sau spațiul de fază al unui sistem cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate spațiul ale cărui puncte reprezintă în mod univoc toate și numai stările posibile ale sistemului. Prin urmare, este reprezentarea grafică a spațiului de stare și are o dimensiune egală cu $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ . În general, în mecanica rațională, spațiul stărilor este o varietate diferențiată, a cărei dimensiune este de două ori numărul de grade de libertate a sistemului, în plus, poate fi definit ca pachetul cotangent al spațiului de configurare. În spațiul de fază, evoluția unui sistem dinamic discret apare ca o succesiune de puncte, în timp ce dacă sistemul dinamic este continuu, acesta poate fi reprezentat printr-o curbă continuă.

Alegerea coordonatelor ^[1] utilizate pentru a genera spațiul de fază este crucială în caracterizarea sistemului, în special a unor cantități fundamentale ale acestuia, cum ar fi, de exemplu, energia și ecuațiile sale de mișcare.

Exemple

În mecanica lagrangiană, spațiul de stare este definit ca spațiul coordonatelor lagrangiene , adică perechile $(q_{i},{\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ , unde ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ sunt vitezele conjugate cu coordonatele generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . Funcția care caracterizează dinamica sistemului este Lagrangianul :

{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) = T (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) -U (\ mathbf {q})}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) = T (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) -U (\ mathbf {q})}

Ecuațiile mișcării, obținute pornind de la principiul celei mai mici acțiuni, sunt ecuațiile Euler-Lagrange :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0}

În mecanica hamiltoniană , spațiul de fază este definit ca spațiul coordonatelor hamiltoniene , sau perechi $(q_{i},p_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ , unde i $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ sunt momentele conjugate cu coordonatele generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . Energia totală a sistemului este caracterizată prin Hamiltonian , care reprezintă transformata Legendre a Lagrangianului:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}

Ecuațiile mișcării sunt obținute prin rescrierea ecuațiilor Euler-Lagrange cu noile coordonate, sub forma ecuațiilor lui Hamilton :

{\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}=0

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ punct {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ punct {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

Formulările lagrangiene și hamiltoniene nu sunt singurele posibile: Edward John Routh a propus o abordare hibridă între cele două formulări tradiționale ale mecanicii raționale. Dat fiind un sistem mecanic cu $m+l$ ${\ displaystyle m + l}$ ${\ displaystyle m + l}$ grade de libertate, al căror spațiu de configurare este generat de coordonatele generalizate $\left(q_{i},\zeta _{j}\right)_{\begin{aligned}&i=1,\dots ,m\\&j=1,\dots ,l\end{aligned}}$ ${\ displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j} \ right) _ {\ begin {align} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end { aliniat}}}$ ${\ displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j} \ right) _ {\ begin {align} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end { aliniat}}}$ , unde la $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ momentele conjugate respective sunt asociate $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , în timp ce la $\zeta _{j}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {j}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {j}}$ se asociază vitezele generalizate respective ${\dot {\zeta }}_{j}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ zeta}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ zeta}} _ {j}}$ . ^[2] ^[3] Prin urmare, spațiul de fază luat în considerare va avea coordonatele routhiene ca generatoare $\left(q_{i},\zeta _{j},p_{i},{\dot {\zeta }}_{j}\right)_{\begin{aligned}&i=1,\dots ,m\\&j=1,\dots ,l\end{aligned}}$ ${\ displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j}, p_ {i}, {\ dot {\ zeta}} _ {j} \ right) _ {\ begin {align} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end {align}}}$ ${\ displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j}, p_ {i}, {\ dot {\ zeta}} _ {j} \ right) _ {\ begin {align} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end {align}}}$ , care permit definirea funcției routhiene ca transformare Legendre a Lagrangianului, într-un mod complet analog cu ceea ce se întâmplă pentru Hamiltonian în coordonate hamiltoniene:

{\mathcal {R}}\left(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}}\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} )-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}) - {\ mathcal {L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}} , \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}) - {\ mathcal {L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}} , \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right)}

Deoarece coordonatele routhiene sunt un set de coordonate canonice , ele permit ecuațiilor Hamilton să își păstreze forma, dar, în același timp, ecuațiile Euler-Lagrange sunt valabile și pentru ele:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial \mathbf {q} }}=0\qquad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial \mathbf {p} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0 \ qquad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {q}}} = 0 \ qquad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

În general, utilizarea coordonatelor routhiene este deosebit de avantajoasă pentru sistemele în care apar coordonate ciclice .

În mecanica clasică , spațiul de fază reprezintă de obicei toate pozițiile posibile, viteza și impulsul oricărui punct material . De exemplu, spațiul de stare al unui pendul simplu cu masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este un cilindru : există un grad de libertate pentru variabila unghiulară care identifică poziția și care se deplasează pe un cerc și un grad de libertate pentru viteză și impuls, care a priori poate varia de-a lungul unei linii nelimitate .

Sisteme dinamice

Un sistem dinamic generic poate fi scris ca:

{\begin{aligned}&\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {z} (t))\\&\mathbf {y} (t)=\mathbf {g} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {z} (t))\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ \ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {g} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ \ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {g} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ end {align}}}

unde este $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ mathbf x} (t)$ sunt variabilele de stare și termenul $\mathbf {z} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} (t)}$ este intrarea, care este omisă în cazul în care doriți să analizați răspunsul liber al sistemului. Prima ecuație se numește ecuația de stare , în timp ce a doua este ecuația de ieșire, unde ieșirea este notată cu $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ . De sine $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ este o combinație liniară a stărilor de intrare, adică este liniară și finit-dimensională, ecuația diferențială care o definește este scrisă frecvent în formă matricială , iar caracteristicile sale pot fi analizate prin funcția de transfer .

Combinând diferitele metode din domeniul frecvenței ( reprezentarea spectrală a semnalelor , metoda simbolică ) și timp , formalismul oferit de reprezentarea stării este una dintre cele mai răspândite tehnici pentru analiza sistemelor dinamice , în special a celor liniare .

În circuitele electrice , de exemplu, numărul variabilelor de stare este adesea considerat a fi același cu numărul de elemente capabile să stocheze energie, cum ar fi condensatorii și inductoarele .

Sisteme dinamice liniare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

În sistemele staționare liniare, numărul minim de variabile de stare este egal cu gradul numitorului funcției de transfer după ce a fost redus la o fracție adecvată. În special, pentru teorema fundamentală a algebrei , numitorul are un număr de zerouri egal cu gradul său (polii fracției). Polii funcției de transfer sunt utilizați în general pentru a analiza stabilitatea sistemului. ^[4]

O reprezentare generică a domeniului de timp al unui sistem liniar dinamic cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ intrări și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ieșiri și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele de stare sunt scrise în următoarea formă: ^[5]

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

unde este $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ este vectorul de stare, $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ este vectorul de ieșire while $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ este vectorul de intrare.

Matricea $A(\cdot )$ ${\ displaystyle A (\ cdot)}$ $A (\ cdot)$ este "matricea dinamică", cu $\operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [A (\ cdot)] = n \ times n}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [A (\ cdot)] = n \ times n}$ , matricea $B(\cdot )$ ${\ displaystyle B (\ cdot)}$ ${\ displaystyle B (\ cdot)}$ este "matricea de intrare", cu $\operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [B (\ cdot)] = n \ times p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [B (\ cdot)] = n \ times p}$ , matricea $C(\cdot )$ ${\ displaystyle C (\ cdot)}$ ${\ displaystyle C (\ cdot)}$ este "matricea de ieșire", cu $\operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [C (\ cdot)] = q \ times n}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [C (\ cdot)] = q \ times n}$ , Și $D(\cdot )$ ${\ displaystyle D (\ cdot)}$ ${\ displaystyle D (\ cdot)}$ este „matricea directă de legătură intrare-ieșire” (în cazurile în care sistemul nu are o astfel de legătură, $D(\cdot )$ ${\ displaystyle D (\ cdot)}$ ${\ displaystyle D (\ cdot)}$ este o matrice nulă), cu $\operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [D (\ cdot)] = q \ times p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} [D (\ cdot)] = q \ times p}$ .

Variabila de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ poate fi continuu (adică $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ ) sau „corect” ( $t\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {Z}}$ ), iar în acest caz este adesea indicat cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Prin urmare, reprezentarea în spațiul de stat poate lua și formele:

Invariant continuu în timp :

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

Varianta de timp corect:

{\begin{aligned}&\mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {z} (k)\\&\mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {z} (k)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {x} (k + 1) = \ mathbf {A} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {B} (k) \ mathbf {z } (k) \\ & \ mathbf {y} (k) = \ mathbf {C} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {D} (k) \ mathbf {z} (k) \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {x} (k + 1) = \ mathbf {A} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {B} (k) \ mathbf {z } (k) \\ & \ mathbf {y} (k) = \ mathbf {C} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {D} (k) \ mathbf {z} (k) \ sfârșit {aliniat}}}

Timp corect invariant :

{\begin{aligned}&\mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k)+B\mathbf {z} (k)\\&\mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {z} (k)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {x} (k + 1) = A \ mathbf {x} (k) + B \ mathbf {z} (k) \\ & \ mathbf {y} (k ) = C \ mathbf {x} (k) + D \ mathbf {z} (k) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {x} (k + 1) = A \ mathbf {x} (k) + B \ mathbf {z} (k) \\ & \ mathbf {y} (k ) = C \ mathbf {x} (k) + D \ mathbf {z} (k) \ end {align}}}

Funcție de transfer

Funcția de transfer a unui sistem LTI continuu poate fi obținută calculând transformata Laplace a:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t)}

care este:

s\mathbf {X} (s)-x(0)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {Z} (s)

{\ displaystyle s \ mathbf {X} (s) -x (0) = A \ mathbf {X} (s) + B \ mathbf {Z} (s)}

{\ displaystyle s \ mathbf {X} (s) -x (0) = A \ mathbf {X} (s) + B \ mathbf {Z} (s)}

Rezolvarea cu privire la $\mathbf {X} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ :

(s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {Z} (s)+x(0)

{\ displaystyle (s \ mathbf {I} -A) \ mathbf {X} (s) = B \ mathbf {Z} (s) + x (0)}

{\ displaystyle (s \ mathbf {I} -A) \ mathbf {X} (s) = B \ mathbf {Z} (s) + x (0)}

de la care:

\mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {Z} (s)+(s\mathbf {I} -A)^{-1}x(0)

{\ displaystyle \ mathbf {X} (s) = (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} x (0)}

{\ displaystyle \ mathbf {X} (s) = (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} x (0)}

Prin înlocuire $\mathbf {X} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ în ecuația de ieșire $\mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {Z} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C \ mathbf {X} (s) + D \ mathbf {Z} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C \ mathbf {X} (s) + D \ mathbf {Z} (s)}$ primesti:

\mathbf {Y} (s)=C((s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {Z} (s)+(s\mathbf {I} -A)^{-1}x(0))+D\mathbf {Z} (s)

{\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C ((s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {-1} x (0)) + D \ mathbf {Z} (s)}

{\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C ((s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {-1} x (0)) + D \ mathbf {Z} (s)}

De la funcția de transfer $\mathbf {G} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ este definit ca raportul dintre ieșirea și intrarea sistemului, avem:

\mathbf {G} (s)=\mathbf {Y} (s)/\mathbf {Z} (s)

{\ displaystyle \ mathbf {G} (s) = \ mathbf {Y} (s) / \ mathbf {Z} (s)}

{\ displaystyle \ mathbf {G} (s) = \ mathbf {Y} (s) / \ mathbf {Z} (s)}

și înlocuind expresia anterioară a $\mathbf {Y} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} (s)}$ , având în vedere sistemul cu zero condiții inițiale ( $x(0)=0$ ${\ displaystyle x (0) = 0}$ ${\ displaystyle x (0) = 0}$ ):

\mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D

{\ displaystyle \ mathbf {G} (s) = C (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B + D}

{\ displaystyle \ mathbf {G} (s) = C (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B + D}

Matricea $\mathbf {G} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ are dimensiune $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ pentru $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Deci, pentru fiecare intrare există, prin urmare $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ funcții de transfer, adică una pentru fiecare ieșire.

Stabilitate

Același subiect în detaliu: teoria stabilității .

Studierea caracteristicilor de stabilitate și răspuns ale unui sistem liniar continu invariant în timp, adică liniar cu matrice care sunt constante în timp, pornind de la valorile proprii ale matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este echivalent cu analizarea funcției sale de transfer în domeniul frecvenței . Aceasta poate fi o fracțiune și poate apărea, de exemplu, sub forma:

{\textbf {G}}(s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

{\ displaystyle {\ textbf {G}} (s) = k {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}}

{\ displaystyle {\ textbf {G}} (s) = k {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}}

Numitorul funcției este egal cu polinomul caracteristic găsit calculând determinantul matricei $sI-A$ ${\ displaystyle sI-A}$ ${\ displaystyle sI-A}$ :

\mathbf {\lambda } (s)=|sI-A|

{\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} (s) = | sI-A |}

{\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} (s) = | sI-A |}

Rădăcinile polinomului caracteristic corespund valorilor proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și sunt polii fracției, singularitățile în care modulul funcției de transfer este nelimitat. Stâlpii pot fi folosiți de exemplu pentru a vedea dacă sistemul este intern sau extern stabil .

Stabilitatea externă (stabilitatea BIBO) constă în limitarea ieșirii dacă intrarea este limitată. Acest lucru se întâmplă dacă polii instabili sunt anulați de zerouri în timpul calculului funcției de transfer, adică singularitățile sale sunt îndepărtabile.

Zero-urile numărătorului ${\textbf {G}}(s)$ ${\ displaystyle {\ textbf {G}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {G}} (s)}$ în schimb, ele pot fi utilizate în mod similar pentru a determina dacă sistemul este faza minimă sau nu.

Controlabilitate

Același subiect în detaliu: Controlabilitate , control automat și inginerie de control .

Controlabilitatea unui sistem implică posibilitatea, prin utilizarea unei intrări admisibile, de a-și aduce starea la orice valoare finală, începând de la orice valoare inițială și într-un timp finit. Controlabilitatea unui sistem de timp continuu LTI poate fi verificată prin condiția de accesibilitate, deoarece în aceste condiții cele două proprietăți corespund ^[6] :

\operatorname {rg} {\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n

{\ displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}} = n}

{\ displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}} = n}

unde rangul unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este numărul maxim de rânduri sau coloane liniar independente ale unei matrice.

Observabilitate

Același subiect în detaliu: Observabilitate și observator de stat .

Observabilitatea cuantifică în ce măsură este posibilă derivarea stării sistemului pornind de la ieșirea sa. Observabilitatea și controlabilitatea unui sistem sunt matematic duale , ^[7] al doilea ne spune că din orice stare inițială mergem la orice stare finală și prima că din cunoașterea rezultatului putem reveni la starea inițială a sistemului .

Un sistem continuu, și în acest caz și discret, ^[8] LTI este observabil dacă și numai dacă

\operatorname {rg} {\begin{bmatrix}C\\CA\\...\\CA^{n-1}\end{bmatrix}}=n

{\ displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ ... \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}} = n}

{\ displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ ... \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}} = n}

Părere

Același subiect în detaliu: Feedback .

O metodă obișnuită de descriere a feedback-ului, în limba engleză feedback, este multiplicarea ieșirii sistemului cu o matrice $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și intrare în sistem:

\mathbf {z} (t)=K\mathbf {y} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = K \ mathbf {y} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = K \ mathbf {y} (t)}

Dacă valoarea lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este negativ, există un feedback negativ .

Sistemul:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

devine:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + BK \ mathbf {y} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + DK \ mathbf {y} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + BK \ mathbf {y} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + DK \ mathbf {y} (t) \ end {align}}}

rezolvarea ecuației de ieșire pentru $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ și intrând $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ în ecuația de stare avem:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

Avantajul acestei abordări este că valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi controlat prin setare $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în mod adecvat prin descompunerea $\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)$ ${\ displaystyle \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right)}$ . Acest lucru este posibil dacă sistemul în buclă deschisă este controlabil sau dacă toate valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi stabilizat.

O simplificare comună a acestui sistem presupune $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ nimic și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ egală cu identitatea. În acest fel, ecuația se reduce la:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

Feedback cu semnal de referință de intrare

Dacă la feedback se adaugă un semnal suplimentar:

\mathbf {z} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = - K \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {r} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = - K \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {r} (t)}

sistemul:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {align}}}

devine:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) -BK \ mathbf {y} (t) + B \ mathbf {r } (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) -DK \ mathbf {y} (t) + D \ mathbf {r} (t) \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) -BK \ mathbf {y} (t) + B \ mathbf {r } (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) -DK \ mathbf {y} (t) + D \ mathbf {r} (t) \ end {align} }}

rezolvarea ecuației de ieșire pentru $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ și înlocuind ecuația de stare avem:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ left (IK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ right) \ mathbf {r} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) + \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ mathbf {r} (t) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ left (IK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ right) \ mathbf {r} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) + \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ mathbf {r} (t) \ end {aliniat}}}

O simplificare comună este eliminarea termenului $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , care reduce ecuațiile la:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BKC \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {r} ( t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BKC \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {r} ( t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) \ end {align}}}

Sisteme cauzale

Descrierea spațiului de fază al mișcării haotice a unui pendul sub influența unei forțe externe.

Un sistem cauzal este descris prin propria sa funcție de transfer, adică gradul numărătorului este mai mic sau egal cu gradul numitorului și stabil. Este strict adecvat dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului și poate fi reprezentat ca o fracție complexă:

{\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}

{\ displaystyle {\ textbf {G}} (s) = {\ frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}}

{\ displaystyle {\ textbf {G}} (s) = {\ frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}}

.

Este adesea posibil să scrieți sistemul sub forma:

{\begin{aligned}{\dot {\textbf {x}}}(t)=&{\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {z}}(t)\\{\textbf {y}}(t)=&\ {\begin{bmatrix}\quad \!\!n_{1}&\quad \!\!n_{2}&\quad \!\!n_{3}&\quad \!\!n_{4}\ \ \end{bmatrix}}\,{\textbf {x}}(t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & - d_ {2} & - d_ {3} & - d_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y}} (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! n_ {1} & \ quad \! \! n_ {2} & \ quad \! \! n_ {3} & \ quad \! \! n_ {4} \ \ \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x}} (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & - d_ {2} & - d_ {3} & - d_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y}} (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! n_ {1} & \ quad \! \! n_ {2} & \ quad \! \! n_ {3} & \ quad \! \! n_ {4} \ \ \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x}} (t) \ end {align}}}

.

respectiva formă canonică de controler, deoarece controlabilitatea este garantată pentru sistemul rezultat.

Scriere (dual):

{\begin{aligned}{\dot {\textbf {x}}}(t)=&{\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {z}}(t)\\{\textbf {y}}(t)=&\ {\begin{bmatrix}\quad \!\!1&\quad \!\!0&0&0\,\,\end{bmatrix}}\,{\textbf {x}}(t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - d_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - d_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - d_ {4} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ începe {bmatrix} n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\ n_ {4} \ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y} } (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! 1 & \ quad \! \! 0 & 0 & 0 \, \, \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x} } (t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - d_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - d_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - d_ {4} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ începe {bmatrix} n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\ n_ {4} \ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y} } (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! 1 & \ quad \! \! 0 & 0 & 0 \, \, \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x} } (t) \ end {align}}}

.

în schimb se numește forma canonică a observatorului .

Notă

^ Trebuie amintit că coordonatele generalizate sunt o funcție a timpului, prin urmare funcțiile care depind de ele au întotdeauna o dependență implicită de timp. Dacă aceste funcții variază în funcție de timp, indiferent de coordonatele generalizate, vorbim de dependență explicită de timp.
^ Goldstein , p. 352 .
^ Landau și Lifšic , p. 134 .
^ Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 4.7 pag. 249 .
^ Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 2 pag. 31.
^ Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 5 pag. 272.
^ Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 6 pag. 364.
^ Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 6 pag. 341.

Bibliografie

E. Fornasini, G. Marchesini Appunti di teoria dei sistemi, Ed progetto Padova, 2013
OM Grasselli, L. Menini e S. Galeani, Sistemi dinamici - Introduzione all'analisi e primi strumenti di controllo , 2008.
( EN ) H. Goldstein, Classical Mechanics , 2ª ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 1980, pp. 352 –353, ISBN 0201029189 .
( EN ) LD Landau e EM Lifšic , Mechanics , 3ª ed., Butterworth Heinemann, p. 134, ISBN 9780750628969 .
( EN ) Antsaklis, PJ and Michel, AN 2007. A Linear Systems Primer , Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4661-5 .
( EN ) Chen, Chi-Tsong 1999. Linear System Theory and Design , 3rd. ed., Oxford University Press. ISBN 0-19-511777-8 .
( EN ) Khalil, Hassan K. 2001 Nonlinear Systems , 3rd. ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7 .
( EN ) Nise, Norman S. 2004. Control Systems Engineering , 4th ed., John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-44577-0 .
( EN ) Hinrichsen, Diederich and Pritchard, Anthony J. 2005. Mathematical Systems Theory I, Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness . Springer. ISBN 3-540-44125-5 .
( EN ) Sontag, Eduardo D. 1999. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition . Springer. ISBN 0-387-98489-5 ( available free online ).
( EN ) Friedland, Bernard. 2005. Control System Design: An Introduction to State Space Methods . Dover. ISBN 0-486-44278-0 .
( EN ) Zadeh, Lofti A. and Desoer, Charles A. 1979. Linear System Theory , Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-809-1 .
( EN ) Durbin, J. and S. Koopman (2001). Time series analysis by state space methods . Oxford University Press, Oxford.
( EN ) Gerald Sussman, Structure and interpretation of classical mechanics , Cambridge, Mass, MIT Press, 2001, ISBN 0-262-19455-4 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

Andrea Carati, Luigi Galgani - Le equazioni di Hamilton e lo spazio delle fasi ( PDF ), su mat.unimi.it .
( EN ) Intuitive Explanation of Classical Configuration Spaces .
( EN ) Interactive Visualization of the C-space for a Robot Arm with Two Rotational Links from UC Berkeley.
( EN ) Configuration Space Visualization from Free University of Berlin

Portale Controlli automatici

Portale Matematica

Portale Meccanica

[1] Trebuie amintit că coordonatele generalizate sunt o funcție a timpului, prin urmare funcțiile care depind de ele au întotdeauna o dependență implicită de timp. Dacă aceste funcții variază în funcție de timp, indiferent de coordonatele generalizate, vorbim de dependență explicită de timp.

[2] Goldstein , p. 352 .

[3] Landau și Lifšic , p. 134 .

[4] Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 4.7 pag. 249 .

[5] Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 2 pag. 31.

[6] Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 5 pag. 272.

[7] Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 6 pag. 364.

[8] Grasselli, Menini și Galeani , capitolul 6 pag. 341.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

V · D · M Meccanica classica
Newtoniana	Materialismo Newtoniano · Sistema di riferimento · Posizione · Traiettoria · Legge oraria · Relazione di Poisson · Spazio e tempo assoluti · Velocità · Linea di flusso · Velocità angolare · Velocità areolare · Accelerazione · Accelerazione angolare · Teorema di Coriolis · Sistema di riferimento inerziale · Relatività galileiana · Vincolo · Equazioni del moto · Moto rettilineo · Moto circolare · Moto elicoidale uniforme · Moto piano · Teorema di Poincaré-Bendixson · Moto centrale · Formula di Binet · Moto vario · Brachistocrona · Moto armonico · Moto armonico parametrico · Anarmonicità · Pendolo matematico · Spazio delle fasi · Ritratto di fase · Orbita omoclina · Orbita eteroclina · Asse di rotazione · Asse di accelerazione · Angoli di Eulero · Precessione · Nutazione · Moto di precessione · Moto di nutazione · Teorema di Eulero · Grado di libertà · Moto di traslazione · Moto di rotazione · Moto di rototraslazione · Moto elicoidale · Teorema di Mozzi · Centro di istantanea rotazione · Base · Rulletta · Cerchi di Bresse · Coni di Poinsot · Moto di puro rotolamento · Pendolo fisico · Coppia cinematica · Catena cinematica Massa inerziale · Principio di Lavoiser · Centro di massa · Quantità di moto · Impulso (fisica) · Sistema inerziale · Inerzia · Principio di Mach · Principio di Galileo · Forza · Linea di forza · Legge di Hooke · Sistema di forze · Forza risultante · Principio di proporzionalità · Principio di azione-reazione · Interazione apparente · Forza centrale · Teorema di Binet · Vettore di Lenz · Forza impulsiva · Urto · Urto elastico · Pendolo di Newton · Urto anelastico · Pendolo balistico · Momento di inerzia · Ellissoide di Poinsot · Moto alla Poinsot · Teorema di Huygens-Steiner · Momento angolare · Primo teorema di König · Momento meccanico · Trinomio invariante · Equilibrio meccanico · Diagramma di Cremona · Criterio di Andronov–Pontryagin · Legge di conservazione del momento angolare · Equazioni di Eulero ( cardinali · dinamica del corpo rigido ) · Meccanicismo · Esponente di Ljapunov · Pendolo di Kater · Macchine semplici · Macchina di Atwood
Lagrangiana	Lavoro · Spostamento virtuale · Principio dei lavori virtuali · Principio delle reazioni vincolari · Principio di D'Alembert · Energia cinetica · Teorema di Leibniz · Secondo teorema di König · Potenza · Forza conservativa · Energia potenziale · Superficie equipotenziale · Criterio di Dirichlet-Lagrange · Teoremi di Ljapunov · Lemma di Morse · Diagramma di biforcazione · Attrito · Energia meccanica · Conservazione dell'energia meccanica · Pendolo di Maxwell · Pendolo di Wilberforce · Coordinate, velocità, accelerazione, impulso, forza generalizzate · Conservazione dell'impulso generalizzato · Statica delle strutture ·Spazio delle configurazioni · Lagrangiana · Coordinata ciclica · Equazioni di Eulero-Lagrange · Forma di Nielsen · Teoria delle piccole oscillazioni · Equazioni del moto di Appell · Principio di minimo vincolo · Teorema di Noether · Rottura spontanea di simmetria
Hamiltoniana	Azione ridotta · Principio di Maupertuis · Coordinate canoniche · Principio variazionale di Hamilton · Coordinate azione-angolo · Parentesi di Poisson · Campo vettoriale hamiltoniano · Equazioni di Hamilton · Integrali primi di moto · Sistema Hamiltoniano · Trasformazione canonica · Teorema di Liouville · Teorema di ricorrenza · Teoria di Hamilton-Jacobi · Varietà simplettica · Teorema di Kolmogorov-Arnold-Moser
Continuo	Relazioni costitutive · Relazione di Cauchy · Continuo di Cauchy · Continuo di Cosserat · Tensione · Tensione interna · Sforzo normale · Sforzo di taglio · Momento flettente · Momento torcente · Relazioni costitutive
Solidi	Deformazione · Trazione · Compressione · Instabilità a carico di punta · Modulo di taglio · Flessione retta · Flessione deviata · Torsione · Formula trinomia di Navier · Cerchio di Mohr · Resilienza · Teorema di Castigliano · Meccanica delle strutture · Criteri di resistenza · Trave · Ipotesi di Bernoulli · Metodo di Myklestad · Carico critico euleriano · Asta composta · Fune · Membrana · Lastre · Piastre · Guscio · Teoria dell'elasticità · Metodo degli spostamenti · Metodo degli sforzi · Equazioni di Beltrami · Problema di Saint Venant · Criterio di Rankine · Criterio di Grashof · Suolo elastico alla Winkler · Legge di Hollomonn · Criterio di Tresca · Criterio di von Mises
Fluidi	Deformazioni nei fluidi · Pressione · Sforzi viscosi · Fluido ideale · Regime laminare · Legge di Poiseuille · Fluidodinamica computazionale · Aeroelasticità · Legge di Stevino · Formula ipsometrica · Botte di Pascal · Legge di Torricelli · Legge di Archimede · Portata · Idrodinamica · Legge di Leonardo · Risalto idraulico · Aerodinamica · Equazioni di Navier-Stokes · Linea di flusso · Flusso di Stokes · Legge di Stokes · Strato limite · Vorticità · Vortici di von Kármán · Equazione della vorticità · Paradosso di d'Alembert · Teorema di Kutta-Žukovskij · Teorema di Taylor-Proudman · Vorticità potenziale · Turbolenza · Scale di Kolmogorov · Equazione di Colebrook · Fluido newtoniano · Onda d'urto · Equazione di Burgers · Equazione di Rankine-Hugoniot · Portanza · Effetto Magnus · Resistenza fluidodinamica · Flusso viscoso · Flusso inviscido · Flusso stazionario · Flusso laminare · Flusso turbolento · Effetto Coandă · Flusso comprimibile · Flusso incomprimibile · Equazione di Bernoulli · Teorema di Crocco · Idraulica · Instabilità di Rayleigh-Taylor · Legge di Darcy · Legge di Betz
Statistica di Maxwell-Boltzmann	Stato fisico · Densità degli stati · Ipotesi ergodica · Insieme microcanonico · Teorema di equipartizione dell'energia · Costante di Boltzmann · Entropia configurazionale · Paradosso di Gibbs · Teorema del viriale · Funzione di partizione (meccanica statistica) · Distribuzione di Boltzmann · Insieme canonico · Insieme gran canonico · Legge di Avogadro · Gas monoatomico · Gas biatomico · Potenziale di Morse · Gas poliatomico · Forza di van der Waals · Potenziale di Lennard-Jones · Beta termodinamica · Legge di Rayleigh-Jeans

V · D · M Teoria del caos
Teoria delle biforcazioni	Biforcazione a forcone · Biforcazione a nodo sella · Biforcazione imperfetta · Biforcazione transcritica · Biforcazione di Hopf · Larva del pino (sistema dinamico)
Frattali	Arte frattale · Buddhabrot · Burning ship · Compressione frattale · Curva di Koch · Curva di Peano · Curva di Sierpiński · Dimensione di Hausdorff · Dimensione frattale · Funzione di Cantor · Insieme di Cantor · Insieme di Julia · Insieme di Mandelbrot · Frattali per dimensione di Hausdorff · Polvere di Cantor · Sterling · Triangolo di Sierpiński · Dimensione di Minkowski-Bouligand
Attrattori	Attrattore di Lorenz · Attrattore di Hénon · Mappa di Poincaré · Mappa logistica · Mappa a ferro di cavallo · Spazio delle fasi
Teorici del caos	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Michajlovič Ljapunov · Benoît Mandelbrot · Edward Ott · Henri Poincaré · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke