Spațiu normat

În matematică , un spațiu vector normat , sau mai simplu un spațiu normat , este un spațiu vector în care fiecare vector a definit o lungime, adică o normă .

Introducere informală

Ideea „lungimii” unui vector 2- sau 3-dimensional cu componente cu valoare reală este intuitivă și poate fi ușor extinsă la orice spațiu vectorial real $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Se pare că următoarele proprietăți "lungimea unui vector" sunt cruciale:

un vector are întotdeauna o lungime strict pozitivă. Singura excepție este vectorul nul care are întotdeauna lungime zero.
înmulțirea unui vector cu un număr real are ca efect înmulțirea lungimii acestuia cu modulul său.
inegalitatea triunghiulară .

Generalizarea lor pentru spații vectoriale mai abstracte duce la noțiunea de normă .

Definiție

Un spațiu vector semi-normat este o pereche $(V,p)$ ${\ displaystyle (V, p)}$ $(V, p)$ unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial real sau complex e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un seminorm pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Un spațiu vector normat este o pereche $(V,\|\cdot \|)$ ${\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}$ $(V, \ | \ cdot \ |)$ unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial real sau complex e $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ o regulă pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Când este clar din context, deseori nu reușește să descrie (semi) norma și este scris simplu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

O generalizare a spațiilor semi-normate sunt spații convexe la nivel local .

Structura topologică

Metrică și topologie

Un spațiu vector normat este, de asemenea, un spațiu metric : distanța dintre doi vectori $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este definit ca $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {u} - \ mathbf {v} \ |}$ $\ | {\ mathbf u} - {\ mathbf v} \ |$ . În special, este, de asemenea, un spațiu vector topologic .

Dacă spațiul are doar o semi-normă, cu vectori diferiți de zero $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ cu normă nulă $\|v\|$ ${\ displaystyle \ | v \ |}$ $\ | v \ |$ , spațiul nu este în mod natural dotat cu o metrică (o definiție ca cea de mai sus ar genera puncte la distanță zero), ci cu una pseudometrică și poate fi în orice caz dotată cu o topologie, care totuși nu este de Hausdorff ( nici măcar nu este T0 ).

În orice caz, metricele și / sau topologia permit definirea noțiunilor precum continuitatea și convergența .

Completitudine

Același subiect în detaliu: spațiul Banach .

De un interes special sunt spațiile normate complete , spațiile Banach. Orice spațiu vector normat $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se află ca un subspatiu dens într-un spațiu Banach: acest spațiu Banach este definit în esență exclusiv de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și se numește finalizarea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Spațiile Banach au multe proprietăți remarcabile și, din acest motiv, este adesea mai ușor să studiezi proprietățile unui spațiu normat ca subset al finalizării sale.

Dimensiune finisată

Sferele unitare pe plan asociate cu diferite norme .

Un spațiu vectorial real sau complex de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este izomorf pentru spațiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ sau $\mathbf {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$ ${\ mathbf C} ^ {n}$ . Un astfel de spațiu admite multe norme diferite între ele. Aceste norme pot fi vizualizate geometric desenând sfera unitară , adică subsetul format din toți vectorii având norma 1.

Cu toate acestea, toate normele privind un spațiu vectorial cu dimensiuni finite sunt echivalente din punct de vedere topologic, deoarece induc aceeași topologie, numită topologie euclidiană . Deoarece această topologie este completă, toate spațiile vectoriale normate cu dimensiuni finite sunt spații Banach.

Mingea unității și împrejurimile sale

Un spațiu vector normat $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este finit-dimensional dacă și numai dacă mingea unitară :

B=(\mathbf {x} :\|\mathbf {x} \|\leq 1)

{\ displaystyle B = (\ mathbf {x}: \ | \ mathbf {x} \ | \ leq 1)}

B = ({\ mathbf x}: \ | {\ mathbf x} \ | \ leq 1)

este compact , care apare dacă și numai dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este compact local .

Topologia unui spațiu vector semi-normat are multe proprietăți interesante. Având în vedere un sistem de cartiere ${\mathcal {N}}(0)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0)}$ ${\ mathcal {N}} (0)$ de zero putem construi toate celelalte sisteme de cartiere ca:

{\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}(0)\}

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = x + {\ mathcal {N}} (0): = \ {x + N \ mid N \ în {\ mathcal {N}} (0) \} }

{\ mathcal {N}} (x) = x + {\ mathcal {N}} (0): = \ {x + N \ mid N \ in {\ mathcal {N}} (0) \}

cu:

x+N:=\{x+n\mid n\in N\}

{\ displaystyle x + N: = \ {x + n \ mid n \ în N \}}

x + N: = \ {x + n \ mid n \ in N \}

Mai mult, există o bază de vecinătăți pentru zero care constă din seturi absorbante și convexe . Deoarece această proprietate este foarte utilă în analiza funcțională , generalizările spațiilor vectoriale normate cu această proprietate sunt studiate sub denumirea de spații convexe local .

Aplicații liniare și spații duale

Cele mai importante aplicații între spațiile vectoriale normate sunt aplicații liniare continue . Împreună cu aceste aplicații, spațiile vectoriale normate formează o categorie .

Norma este o transformare continuă. În plus, toate hărțile liniare între spațiile vectoriale finimensionale sunt continue.

O izometrie între două spații vectoriale normate este o aplicație liniară $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care menține norma:

\|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|\qquad \forall \mathbf {v}

{\ displaystyle \ | f (\ mathbf {v}) \ | = \ | \ mathbf {v} \ | \ qquad \ forall \ mathbf {v}}

\ | f ({\ mathbf v}) \ | = \ | {\ mathbf v} \ | \ qquad \ forall {\ mathbf v}

Izometriile sunt întotdeauna continue și injective . O izometrie surjectivă între spațiile vectoriale normate $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ se numește izomorfism izometric și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ se numesc izomorf izomorf . Spațiile vectoriale normate izomorf izometric sunt identice pentru toate scopurile practice.

Când vorbim despre spații vectoriale normate, lărgim noțiunea de spațiu dual pentru a lua în considerare norma. Dualul ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ a unui spațiu vector normat $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este spațiul tuturor hărților liniare continue din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la câmpul de bază (complex sau real) - astfel de aplicații liniare sunt numite „ funcționale ”. Norma unui funcțional $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este definit ca limita superioară a $|\phi (\mathbf {v} )|$ ${\ displaystyle | \ phi (\ mathbf {v}) |}$ $| \ phi ({\ mathbf v}) |$ unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ variază între toți vectorii unitari (adică vectori ai normei 1) în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Aceasta o face ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ un spațiu vector normat. O teoremă importantă privind funcționalitățile liniare continue pe un spațiu vector normat este teorema Hahn-Banach .

Spații normate ca coeficient de spații semi-normate

Definiția multor spații normate (în special, spații Banach ) implică o semi-normă definită pe un spațiu vectorial și apoi spațiul normat este definit ca spațiul vector coeficient în raport cu subespaiul elementelor zero semi-normă. De exemplu, cu spații L ^p , funcția definită de:

\|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx \ right) ^ {1 / p}}

\ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx \ right) ^ {{1 / p}}

este o seminormă pe spațiul vectorial al tuturor funcțiilor pentru care integrala Lebesgue din partea dreaptă este definită și finită. Funcțiile cu o seminormă nulă sunt cele al căror suport are măsura Lebesgue zero: aceste funcții formează un subspatiu. The $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ se obține prin citarea spațiului de funcții pe acest subspatiu.

Spații pentru produse finite

Date n spații semi-normate $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ cu semi-norme $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ spațiul produs poate fi definit ca:

X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}

{\ displaystyle X: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}

X: = \ prod _ {{i = 1}} ^ {{n}} X_ {i}

cu suma vectorială definită ca:

(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots x_{n}+y_{n})

{\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots x_ {n } + y_ {n})}

(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots x_ {n} + y_ {n})

și multiplicarea prin scalar definită ca:

\alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})

{\ displaystyle \ alpha (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n})}

\ alpha (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n})

Prin definirea unei noi funcții $p:X\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle p: X \ mapsto \ mathbb {R}}$ $p: X \ mapsto {\ mathbb {R}}$ ca:

p:(x_{1},\ldots ,x_{n})\to \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i})

{\ displaystyle p: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ to \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (x_ {i})}

p: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ to \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} p_ {i} (x_ {i})

este o semi-normă pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Functia $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o normă dacă și numai dacă toate $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ sunt norme.

Mai mult, un argument simplu care implică algebră liniară elementară arată că singurele spații semi-normate cu dimensiuni finite sunt cele care apar ca produs al unui spațiu normat și un spațiu cu semi-normalitate banală. În consecință, multe dintre cele mai interesante exemple și aplicații ale spațiilor semi-normate se găsesc pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni infinite.

Bibliografie

( EN ) AN Kolmogorov, SV Fomin, Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale , 1-2, Graylock (1957-1961) (Traducere din rusă)
( EN ) WI [VI Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis , H. Deutsch, Frankfurt aM (1979)
( EN ) GE Shilov, Analiza matematică , 1-2, MIT (1974)
( EN ) Frank M. Callier, Linear System Theory, Springer-Verlag, 1991.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică