Spațiu omogen

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometrie , un spațiu omogen este un spațiu ale cărui puncte nu se pot distinge. Noțiunea se bazează pe conceptul de omogenitate , aplicat în fizică de exemplu unui corp sau întregului univers .

În matematică, această noțiune este redată formal de prezența unui grup care acționează asupra spațiului într-un mod tranzitiv .

Definiție

Definiție generală

Un spațiu omogen este un triplu format dintr-un întreg , un grup și o acțiune

care se asociază cu un element grupului un automorfism (adică o bijecție sau echivalent o permutare ) din . Acțiunea trebuie să fie tranzitivă : pentru fiecare cuplu de elemente ale trebuie să existe cel puțin un element astfel încât .

Structuri

Dacă întregul are o structură , se presupune în general că automorfismele în păstrează această structură. De exemplu:

Proprietate

Pentru că pentru fiecare pereche de puncte Și există un automorfism pe care îl trimite în , punctele de nu se pot distinge de structură. De exemplu, circumferința , cu grupul de rotații , este un spațiu omogen, deoarece prin intermediul unei rotații adecvate este posibil să se deplaseze orice punct la un moment dat . Pe de altă parte, pătratul cu grupul de rotații nu este omogen, deoarece nu este posibil cu o rotație să se deplaseze, de exemplu, un vârf în interiorul unei laturi.

Exemple

Spații cu curbură constantă

Sfera in marime este un spațiu omogen cu grupul ortogonal : acest grup acționează asupra păstrând lungimea vectorilor și astfel acționează asupra sferei. Acțiunea este efectiv tranzitivă.

Spațiul euclidian este un spațiu omogen cu grupul de traduceri : prin intermediul unei traduceri adecvate, un punct poate fi de fapt mutat în orice alt punct din spațiu.

Spațiul hiperbolic este omogenă cu grupul său izometric .

Exemplele descrise mai sus sunt tocmai complet pur și simplu conectate colectoare Riemanniene cu constantă curbură a secțiunii , respectiv cu (sfera) (avionul (spațiul hiperbolic).

Spații proiective și afine

Spațiul proiectiv , definit pe un câmp (de exemplu, câmpul numerelor reale sau complexe ), este un spațiu omogen împreună cu grupul a propriilor lor proiectivități .

Spațiul afin este un spațiu omogen cu grupul de traduceri.

Bibliografie

  • ( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Fundamente ale geometriei diferențiale 2 , Wiley Classics Library.
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică