Spațiu omogen
În geometrie , un spațiu omogen este un spațiu ale cărui puncte nu se pot distinge. Noțiunea se bazează pe conceptul de omogenitate , aplicat în fizică de exemplu unui corp sau întregului univers .
În matematică, această noțiune este redată formal de prezența unui grup care acționează asupra spațiului într-un mod tranzitiv .
Definiție
Definiție generală
Un spațiu omogen este un triplu format dintr-un întreg , un grup și o acțiune
care se asociază cu un element grupului un automorfism (adică o bijecție sau echivalent o permutare ) din . Acțiunea trebuie să fie tranzitivă : pentru fiecare cuplu de elemente ale trebuie să existe cel puțin un element astfel încât .
Structuri
Dacă întregul are o structură , se presupune în general că automorfismele în păstrează această structură. De exemplu:
- De sine este un spațiu topologic , automorfismele sunt homeomorfisme ,
- De sine este o varietate diferențiată , automorfismele sunt difereomorfisme ,
- De sine este o varietate Riemanniană sau un spațiu metric mai general, automorfismele sunt izometrii .
Proprietate
Pentru că pentru fiecare pereche de puncte Și există un automorfism pe care îl trimite în , punctele de nu se pot distinge de structură. De exemplu, circumferința , cu grupul de rotații , este un spațiu omogen, deoarece prin intermediul unei rotații adecvate este posibil să se deplaseze orice punct la un moment dat . Pe de altă parte, pătratul cu grupul de rotații nu este omogen, deoarece nu este posibil cu o rotație să se deplaseze, de exemplu, un vârf în interiorul unei laturi.
Exemple
Spații cu curbură constantă
Sfera in marime este un spațiu omogen cu grupul ortogonal : acest grup acționează asupra păstrând lungimea vectorilor și astfel acționează asupra sferei. Acțiunea este efectiv tranzitivă.
Spațiul euclidian este un spațiu omogen cu grupul de traduceri : prin intermediul unei traduceri adecvate, un punct poate fi de fapt mutat în orice alt punct din spațiu.
Spațiul hiperbolic este omogenă cu grupul său izometric .
Exemplele descrise mai sus sunt tocmai complet pur și simplu conectate colectoare Riemanniene cu constantă curbură a secțiunii , respectiv cu (sfera) (avionul (spațiul hiperbolic).
Spații proiective și afine
Spațiul proiectiv , definit pe un câmp (de exemplu, câmpul numerelor reale sau complexe ), este un spațiu omogen împreună cu grupul a propriilor lor proiectivități .
Spațiul afin este un spațiu omogen cu grupul de traduceri.
Bibliografie
- ( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Fundamente ale geometriei diferențiale 2 , Wiley Classics Library.