Spațiul pseudometric
În matematică și mai exact în topologie , un spațiu pseudometric este o generalizare a spațiului metric , în care două puncte distincte pot avea distanță zero.
Exemple de spații pseudometrice sunt construite pornind de la o seminormă pe un spațiu vector .
Definiție
Un spațiu pseudometric Este un set echipat cu o funcție
apel pseudometric , care satisface următoarele proprietăți pentru fiecare în :
- .
- ( simetrie )
- ( inegalitate triunghiulară )
Spre deosebire de un spațiu metric , acest lucru nu este necesar aici este diferit de zero pentru fiecare pereche de puncte distincte Și .
Exemple
Există multe exemple de pseudometrie în analiza funcțională . O seminormă pe un spațiu vectorial induce întotdeauna o pseudometrică în felul următor
De exemplu, spațiul Lp al funcțiilor măsurabile pe un set deschis are o seminormă și, prin urmare, una pseudometrică.
Coeficient
Fiecare spațiu pseudometric poate fi quozientato canonic la un spațiu metric, după cum urmează.
Două puncte ale spațiului pseudometric sunt echivalente dacă au distanță zero. Această relație este efectiv o relație de echivalență , iar spațiul coeficient definit de aceasta este un spațiu metric, deoarece distanța
este încă bine definit chiar și la coeficient.
Bibliografie
- (EN) LA Steen, JASeebach, Jr., contraexemple în topologie, (1970) Holt, Rinehart și Winston, Inc.
- ( EN ) AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topologie generală I , (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4