Spațiul pseudometric

În matematică și mai exact în topologie , un spațiu pseudometric este o generalizare a spațiului metric , în care două puncte distincte pot avea distanță zero.

Exemple de spații pseudometrice sunt construite pornind de la o seminormă pe un spațiu vector .

Definiție

Un spațiu pseudometric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ Este un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu o funcție

d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}

{\ displaystyle d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}

{\ displaystyle d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}

apel pseudometric , care satisface următoarele proprietăți pentru fiecare $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ ${\ displaystyle x, y, z}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

$\,\!d(x,x)=0$ ${\ displaystyle \, \! d (x, x) = 0}$ ${\ displaystyle \, \! d (x, x) = 0}$ .
$\,\!d(x,y)=d(y,x)$ ${\ displaystyle \, \! d (x, y) = d (y, x)}$ ${\ displaystyle \, \! d (x, y) = d (y, x)}$ ( simetrie )
$\,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ${\ displaystyle \, \! d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ ${\ displaystyle \, \! d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ ( inegalitate triunghiulară )

Spre deosebire de un spațiu metric , acest lucru nu este necesar aici $d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ este diferit de zero pentru fiecare pereche de puncte distincte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Exemple

Există multe exemple de pseudometrie în analiza funcțională . O seminormă $||$ ${\ displaystyle ||}$ ${\ displaystyle ||}$ pe un spațiu vectorial induce întotdeauna o pseudometrică în felul următor

d(v,w)=|v-w|.

{\ displaystyle d (v, w) = | vw |.}

{\ displaystyle d (v, w) = | v-w |.}

De exemplu, spațiul Lp al funcțiilor măsurabile pe un set deschis are o seminormă și, prin urmare, una pseudometrică.

Coeficient

Fiecare spațiu pseudometric poate fi quozientato canonic la un spațiu metric, după cum urmează.

Două puncte ale spațiului pseudometric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt echivalente dacă au distanță zero. Această relație este efectiv o relație de echivalență , iar spațiul coeficient definit de aceasta este un spațiu metric, deoarece distanța

d^{*}([x],[y])=d(x,y)

{\ displaystyle d ^ {*} ([x], [y]) = d (x, y)}

d ^ {*} ([x], [y]) = d (x, y)

este încă bine definit chiar și la coeficient.

Bibliografie

(EN) LA Steen, JASeebach, Jr., contraexemple în topologie, (1970) Holt, Rinehart și Winston, Inc.
( EN ) AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topologie generală I , (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

Elemente conexe

Spațiu uniform

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică