Spațiul topologic noetherian

În matematică , un spațiu topologic noetherian este un spațiu topologic ale cărui deschideri satisfac condiția lanțului ascendent ; în mod echivalent, este un spațiu astfel încât toate subspatiile sale sunt compacte .

Cea mai mare utilizare a acestor spații apare în algebra comutativă și geometria algebrică : de fapt, spectrul unui inel noetherian este un spațiu topologic noetherian și, în consecință, fiecare varietate afină este un spațiu noetherian.

Definiții și proprietăți echivalente

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este noeterian dacă se menține una dintre următoarele proprietăți:

cele deschise ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ satisfac condiția lanțului ascendent ;
închisul de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ satisfac condiția lanțului descendent;
orice familie care nu este goală de cea deschisă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are un element maxim;
fiecare subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact (cu topologie subspatiu );
orice subset deschis de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact (cu topologie subspatiu).

În special, fiecare spațiu topologic noetherian este compact. Dimpotrivă, noetherianitatea nu se leagă bine de axiomele separării : de fapt, un spațiu noetherian este al lui Hausdorff dacă și numai dacă este finit. În special, niciun spațiu metric neterminat (cum ar fi $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu topologie euclidiană ) poate fi noetherian.

Mai mult, un spațiu noetherian are doar un număr finit de componente ireductibile .

Relația cu algebra comutativă

Dat fiind un inel comutativ unitar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , cele deschise ale spectrului $\mathrm {Spec} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (cu topologia lui Zariski ) sunt în corespondență unu-la-unu cu idealurile radicale ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; asta presupune că $\mathrm {Spec} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ este noetherian dacă și numai dacă idealurile radicale ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ verificați starea lanțului ascendent. Mai exact, acest lucru este adevărat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel noetherian .

Întrucât în plus componentele ireductibile ale $\mathrm {Spec} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (A)}$ sunt în corespondență unu-la-unu cu primele minime ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , aceasta implică faptul că primele unui inel noetherian sunt finite la număr și, prin urmare, primele unui ideal sunt finite. Aceste rezultate sunt de obicei primele aplicații ale topologiei Zariski pentru a investiga proprietățile algebrice ale inelelor.

Deoarece punctele unei varietăți afine corespund idealurilor maxime ale inelului său de coordonate și acesta este un inel noetherian, rezultă că fiecare varietate afină (și, mai general, fiecare varietate cvasiproiectivă ) este un spațiu noetherian; prin urmare, fiecare varietate algebrică are un număr finit de componente ireductibile. Mai general, orice schemă noetheriană este un spațiu noetherian.

Bibliografie

( EN ) Pete L. Clark, Algebra comutativă ( PDF ). Adus la 23 martie 2014 (arhivat din original la 14 decembrie 2010) .
(EN) Robin Hartshorne , Algebraic geometry, Springer, 1977, ISBN 0-387-90244-9 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică