Spațiu total limitat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un spațiu metric este definit ca total limitat dacă, dată fiind o rază arbitrară, este posibil să-l acoperim cu un număr finit de bile de acea rază.

Definiție

Un spațiu metric se spune că este total limitat dacă pentru fiecare rază există o colecție finită de bile astfel încât:

Spații limitate și total limitate

Noțiunea de spațiu total limitat este foarte asemănătoare cu cea a spațiului limitat , dar este de fapt mai puternică: este de fapt ușor de arătat că orice spațiu total limitat este limitat [1] . Pe de altă parte, există exemple de mulțimi delimitate care nu sunt delimitate în totalitate; de exemplu, luând în considerare planul cu metrica discretă :

avem asta pentru orice rază , este nevoie de bile infinite pentru a acoperi suprafața, deoarece fiecare punct este 1 din toate celelalte puncte. Cu toate acestea, există multe cazuri în care cele două noțiuni coincid, de exemplu un spațiu euclidian este total limitat dacă și numai dacă este limitat.

Relațiile cu spațiile compacte

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: spațiu compact .

Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este complet și total limitat. Această proprietate este o extensie a teoremei Heine-Borel , care caracterizează spațiile euclidiene compacte. De asemenea, este posibil să se demonstreze că un spațiu este total limitat dacă și numai dacă este completat; pe spațiile euclidiene, acest lucru este echivalent cu a spune că un spațiu este limitat dacă și numai dacă închiderea acestuia este limitată. Din cele două proprietăți anterioare rezultă că un spațiu este total limitat dacă și numai dacă finalizarea sa este compactă: această ultimă caracterizare poate fi considerată ca o definiție a spațiului total limitat.

Extensii la spații topologice

Definiția dată mai sus poate fi extinsă și la spații care nu sunt dotate cu o distanță, dar cu o structură mai generică a spațiului topologic .

Un subset a unui spațiu vector topologic sau a unui grup abelian topologic se spune că este total limitat dacă, pentru fiecare cartier a elementului neutru , există o acoperire finită formată din traduceri ale subseturilor de . Definiți împrejurimile este echivalent cu fixarea „dimensiunii” seturilor care formează acoperirea, o „dimensiune” care nu este modificată prin traducerea întregului însuși. În simboluri putem scrie:

De sine nu este abelian, este posibil să se definească două noțiuni separate de spațiu total limitat la stânga sau la dreapta, înlocuind în definiția de mai sus cu traducerile din stânga și respectiv din dreapta Și .

În cele din urmă, este posibilă extinderea definiției pentru orice structură care posedă definiția compactității și completitudinii, utilizând caracterizarea definită în paragraful anterior și definind astfel spații total limitate ca spații a căror finalizare este compactă. Dacă axioma de alegere se menține, această definiție este, de asemenea, echivalentă cu cea a spațiului precompact .

Notă

  1. ^ Este suficient să se ia în considerare o sferă de rază , care conține fiecare sferă a acoperirii

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică