Spațiul euclidian

Fiecare punct din spațiul euclidian tridimensional este determinat de trei coordonate.

În matematică , un spațiu euclidian este un spațiu afin în care se susțin axiomele și postulatele geometriei euclidiene . ^[1] Este spațiul tuturor n -duplurilor numerelor reale , care este prevăzut cu un produs interior real ( produs scalar ) pentru a defini conceptele de distanță , lungime și unghi . ^[2] Este un exemplu particular de spațiu afin real care oferă o generalizare a spațiilor bidimensionale și tridimensionale studiate de geometria euclidiană. Spațiul euclidian este un spațiu Hilbert real, cu dimensiuni finite.

Spaţiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Având în vedere terenul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ a numerelor reale , fii n un număr natural . Un n-tuplu de numere reale este o secvență (adică un set ordonat) $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ din n numere reale. Spațiul tuturor tuplele n- de numere reale formează un spațiu vectorial de dimensiune n pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , indicat cu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Operațiunile de sumă și produs la scară sunt definite de:

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

{\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}

{\ mathbf {x}} + {\ mathbf {y}} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})

a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})

{\ displaystyle a \, \ mathbf {x} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})}

a \, {\ mathbf {x}} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})

Bazele spațiilor vectoriale

Același subiect în detaliu: de bază (algebră liniară) .

O bază de spațiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ care are diferite avantaje este așa-numita sa bază canonică :

\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)

\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)

\vdots

{\ displaystyle \ vdots}

\ vdots

\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)}

{\ mathbf {e}} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)

Un vector arbitrar în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ prin urmare, poate fi scris sub forma:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

{\ mathbf {x}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} {\ mathbf {e}} _ {i}

Spaţiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este prototipul unui spațiu vectorial real la dimensiunea n : de fapt fiecare spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiunea n este izomorfă pentru $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Se observă că nu se impune un izomorfism canonic : alegerea unui izomorfism între $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ echivalează cu alegerea unei baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . În multe faze ale dezvoltării algebrei liniare , spațiile vectoriale de dimensiune n sunt totuși studiate în abstract, deoarece multe considerații sunt mai simple și mai esențiale dacă sunt efectuate fără a se face referire la o anumită bază.

Structura euclidiană

Spațiul euclidian este mai mult decât un spațiu vector. Pentru a obține geometria euclidiană trebuie să se poată vorbi despre distanțe și unghiuri , începând cu distanța dintre două puncte și unghiul format din două linii sau de doi vectori. Modul intuitiv de a face acest lucru este prin introducerea a ceea ce se numește un produs dot dot standard $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Acest produs, dacă transportatorii $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ sunt referite la baza canonică definită mai sus, este definită de

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}}

{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}

Spațiul de tuple n- de numere reale îmbogățit cu produsul scalar, o funcție care are două tupluri de numere reale n- $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ asociază un număr real, constituie o structură mai bogată decât $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ numit n- „spațiu euclidian”. Pentru a- l distinge de spatiul vectorial al tuplele n- reale este în general notat cu $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ .

Produsul scalar vă permite să definiți o „lungime” non-negativă pentru fiecare vector $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ din $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ În felul următor:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i}) ^ {2}}}}

\ | {\ mathbf {x}} \ | = {\ sqrt {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}}}} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} (x_ {i}) ^ {2}}}

Această funcție de lungime satisface proprietățile necesare pentru o normă și se numește norma euclidiană sau norma pitagorică pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Colțul (interior) $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ între doi vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ din $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ prin urmare, este definit ca:

\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)

{\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}} {\ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |}} \ dreapta)}

\ theta = \ arccos \ left ({\ frac {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}}} {\ | {\ mathbf {x}} \ | \ | {\ mathbf {y}} \ |}} \ dreapta)

unde este $\arccos$ ${\ displaystyle \ arccos}$ $\ arccos$ este funcția arccosine .

Cu aceste definiții baza canonică a spațiului vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ devine o bază ortonormală pentru spațiul euclidian obținut prin îmbogățirea acestuia cu produsul scalar standard.

În acest moment puteți utiliza standardul pentru a defini o funcție de distanță (sau metrică) $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ În felul următor:

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

{\ displaystyle d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}

d ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = \ | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {y}} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}

Forma acestei funcții de distanță se bazează pe teorema lui Pitagora și se numește metrica euclidiană .

Fiecare spațiu euclidian constituie, așadar, un exemplu (dimensional finit) de spațiu Hilbert (va spațiu prehilbertian ), de spațiu normat și de spațiu metric .

Trebuie remarcat faptul că în multe contexte, spațiul euclidian de n dimensiuni este notat cu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , luând de la sine structura euclidiană. De fapt, pentru multe scopuri aplicative, distincția făcută nu are consecințe grave și identificarea menționată mai sus trebuie considerată un abuz de limbaj venial. De fapt, noțiunile de sub-spațiu și transformare liniară pot fi introduse în spații euclidiene fără complicații în comparație cu ceea ce s-a făcut pentru spațiile vectoriale.

Se observă, de asemenea, că fiecare subspatiu vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ de dimensiune m (< n ) de $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ este izometrică față de spațiul euclidian $E^{m}$ ${\ displaystyle E ^ {m}}$ $E ^ {m}$ , dar nu într-un mod canonic: pentru a stabili o corespondență care poate fi utilizată pentru calcule, este necesar să alegeți o bază ortonormală pentru $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și asta, dacă este în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ nici un vector al bazei canonice a $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ , nu poate folosi niciun element al acestei baze.

Generalizarea pe complexe

Același subiect în detaliu: spațiul prehilbertian .

Alături de spațiile reale euclidiene este posibil să se introducă variantele lor pe numere complexe, îmbogățind spațiul vectorial n- dimensional de pe câmpul complex cu un așa-numit produs interior hermitian format dintr-o formă sesquiliniară .

În acest caz, produsul scalar dintre vectori este definit cu expresia:

(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} ^ {*}}

(x, y) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i}} ^ {{*}}

Proprietatea reflexivă a acestei compoziții devine:

(x,y)=(y,x)^{*}

{\ displaystyle (x, y) = (y, x) ^ {*}}

(x, y) = (y, x) ^ {*}

iar pentru înmulțirea cu un scalar avem:

(x,\lambda y)=\lambda ^{*}(x,y)

{\ displaystyle (x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)}

(x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)

Topologia euclidiană

Deoarece spațiul euclidian este un spațiu metric , acesta poate fi considerat și un spațiu topologic dotându-l cu topologia naturală indusă de metrică. Acest lucru se poate face definind ca bază a seturilor deschise setul de bile deschise, seturi de puncte care sunt mai mici decât un real pozitiv fix (raza mingii) dintr-un punct dat. Prin aceste seturi deschise definim toate noțiunile care sunt necesare pentru topologia metrică su $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ . Aceasta se numește topologia euclidiană și este echivalentă cu topologia produsului de pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ considerat ca produsul a n copii ale liniei reale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu topologia sa obișnuită.

Cu „instrumentarea” spațiilor vectoriale topologice, spațiile euclidiene sunt capabile să asigure mediile în care să dezvolte sistematic numeroase noțiuni de analiză matematică , geometrie euclidiană , geometrie diferențială și fizică matematică clasică.

Invarianța domeniului

Un rezultat important pentru topologia $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este invarianța domeniilor Brouwer . Fiecare subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (cu topologia sa subspatiu ), homeomorf la un alt subset deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , este el însuși deschis. O consecință imediată a acestui fapt este că $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ nu este homeomorf a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ de sine $m\neq n$ ${\ displaystyle m \ neq n}$ $m \ neq n$ - un rezultat intuitiv „evident”, dar care este greu de demonstrat riguros.

Varietate și structuri exotice

Spațiul euclidian este prototipul varietății topologice și, de asemenea, al varietății diferențiabile . Cele două concepte coincid în general, cu excepția dimensiunii 4: așa cum arată Donald Donaldson și alții, este posibil să se atribuie întregului $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ a „structurilor diferențiale exotice”, care fac spațiul topologic $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ nu diferă de spațiul standard.

Notă

^ Enciclopedia Britanică - Spațiul euclidian
^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) WW Rouse Ball ,A Short Account of the History of Mathematics , 4th, Dover Publications, 1960 [1908] , pp. 50 –62, ISBN 0-486-20630-0 .
( EN ) M. Berger, Geometry , I , Springer (1987)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Space euclidean , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) ED Solomentsev, spațiul euclidian , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 27865 · GND (DE) 4309127-1 · BNF (FR) cb122864798 (data) · NDL (EN, JA) 00.562.065

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Enciclopedia Britanică - Spațiul euclidian

[2] Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

[1]

[2]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema