Spațiu ultra-metric

În matematică și mai exact în topologie , un spațiu ultrametric este un spațiu metric special care satisface o versiune întărită a inegalității triunghiulare .

Definiție

Un spațiu ultrametric este un set de puncte X cu o funcție $d:X\times X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ care îndeplinește următoarele proprietăți pentru fiecare x, y, z în X :

$d(x,y)\geq 0$ ${\ displaystyle d (x, y) \ geq 0}$ ${\ displaystyle d (x, y) \ geq 0}$
$d(x,y)=0$ ${\ displaystyle d (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle d (x, y) = 0}$ dacă și numai dacă $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$
$d(x,y)=d(y,x)$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$
$d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}$ ${\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max \ {d (x, y), d (y, z) \}}$ ${\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max \ {d (x, y), d (y, z) \}}$

Funcția d se numește ultrametrică (sau metrică supermetrică sau non- arhimedeană ).

Exemple de spații ultrametrice

Un limbaj formal , adică un set de șiruri de lungime arbitrară pe un alfabet dat, cu distanța pe care o asociază $2^{-n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ la două șiruri care diferă pentru prima dată în poziția a n-a ;
Numerele p-adic cu metrica dată de $d(x,y)=p^{-n}$ ${\ displaystyle d (x, y) = p ^ {- n}}$ ${\ displaystyle d (x, y) = p ^ {- n}}$ , unde n este singurul întreg astfel încât $x-y=p^{n}(a/b)$ ${\ displaystyle xy = p ^ {n} (a / b)}$ ${\ displaystyle x-y = p ^ {n} (a / b)}$ (cu și b numere întregi nu divizibil cu p). Acest spațiu este, de asemenea, complet ;
Spațiul secvențelor complexe $(x_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ $(x_ {n}) _ {n}$ cu metrica indusă de funcție $|x|_{r}=\limsup _{n}|x_{n}|^{r_{n}}$ ${\ displaystyle | x | _ {r} = \ limsup _ {n} | x_ {n} | ^ {r_ {n}}}$ ${\ displaystyle | x | _ {r} = \ limsup _ {n} | x_ {n} | ^ {r_ {n}}}$ , unde este $(r_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (r_ {n}) _ {n}}$ ${\ displaystyle (r_ {n}) _ {n}}$ Este o succesiune de date reale care scade la zero.

Proprietate

Dacă x , y și z sunt trei puncte ale unui spațiu ultrametric, nu este posibil ca distanțele dintre două dintre ele să fie toate diferite. De fapt, dacă acesta ar fi cazul, ar exista un maxim între ele, care evident nu ar putea satisface proprietatea 4 a definiției. Pentru a face această proprietate intuitivă, se poate spune, oarecum necorespunzător, că într-un spațiu ultra-metric toate triunghiurile sunt isoscele .

Definirea în continuare a mingii exact ca într-un spațiu metric, adică $B(x,r)=\{z\in X:d(x,z)<r\}$ ${\ displaystyle B (x, r) = \ {z \ în X: d (x, z) <r \}}$ ${\ displaystyle B (x, r) = \ {z \ în X: d (x, z) <r \}}$ asa de

Fiecare punct din interiorul unei mingi este centrul său;
Dacă două bile se intersectează, atunci una este conținută în cealaltă;
Toate bilele sunt deschise și închise în topologia indusă ;
Setul de bile de rază r centrate în punctele unei bile închise având aceeași rază formează o partiție a acesteia din urmă.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre spațiul ultrametric

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică