Spațiu uniform

În topologie , un spațiu uniform este un spațiu topologic cu o structură uniformă, care vă permite să definiți proprietăți uniforme, cum ar fi completitudinea , continuitatea uniformă și convergența uniformă .

În spații uniforme este posibil să se definească unele noțiuni de proximitate relativă și apropiere între puncte, care nu pot fi stabilite cu utilizarea exclusivă a structurii topologice. De exemplu, având în vedere punctele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , este posibil să se stabilească asta $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este mai aproape de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ de cât $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ fi apropiat de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Spațiile uniforme pot fi văzute ca o generalizare a spațiilor metrice și a grupurilor topologice și permit definirea majorității conceptelor de analiză matematică .

Structura uniformă și celelalte concepte legate de aceasta au fost definite explicit de André Weil în 1937 , prin utilizarea pseudometriei . Mai târziu, Nicolas Bourbaki a furnizat definiția în termeni de anturaj și John Tukey a dat-o în termeni de acoperiri uniforme. Aceste definiții sunt descrise în paragrafele de mai jos ^[1] .

Definiție formală

Structura uniformă a unui spațiu poate fi definită în trei moduri: prin anturaje, subseturi ale spațiului principal care îndeplinesc o funcție similară cu cea a spațiilor deschise ale unei topologii, cu utilizarea unui pseudometric sau printr-un anumit tip de acoperirea spațiului în sine; așa cum se arată mai jos, aceste trei definiții sunt substanțial echivalente și este posibil să se potrivească structurile uniforme obținute în diferitele cazuri.

Anturaj

Un spațiu uniform $(X,\Phi )$ ${\ displaystyle (X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle (X, \ Phi)}$ Este un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ înzestrat cu o familie de subseturi (numite anturaj ) ale produsului cartezian $X\times X$ ${\ displaystyle X \ times X}$ $X \ ori X$ care îndeplinesc următoarele proprietăți:

fiecare anturaj conține diagonala : $\forall U\in \Phi ,\Delta =\{(x,x):\,x\in X\}\subseteq U$ ${\ displaystyle \ forall U \ in \ Phi, \ Delta = \ {(x, x): \, x \ in X \} \ subseteq U}$ ${\ displaystyle \ forall U \ in \ Phi, \ Delta = \ {(x, x): \, x \ in X \} \ subseteq U}$ ;
închidere cu privire la incluziune : dacă $U\in \Phi$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ Și $U\subseteq V$ ${\ displaystyle U \ subseteq V}$ $U \ subseteq V$ , asa de $V\in \Phi$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ ;
închidere cu privire la intersecție : dacă $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ apartine $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , atunci îți aparține $U\cap V$ ${\ displaystyle U \ cap V}$ ${\ displaystyle U \ cap V}$ ;
de sine $U\in \Phi$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ , apoi există un anturaj $V\in \Phi$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ astfel încât $(x,y)\in V$ ${\ displaystyle (x, y) \ în V}$ ${\ displaystyle (x, y) \ în V}$ Și $(y,z)\in V$ ${\ displaystyle (y, z) \ în V}$ ${\ displaystyle (y, z) \ în V}$ implică $(x,z)\in U$ ${\ displaystyle (x, z) \ în U}$ ${\ displaystyle (x, z) \ în U}$ ;
de sine $U\in \Phi$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ , apoi și $U^{-1}=\{(y,x):\,(x,y)\in U\}$ ${\ displaystyle U ^ {- 1} = \ {(y, x): \, (x, y) \ în U \}}$ ${\ displaystyle U ^ {- 1} = \ {(y, x): \, (x, y) \ în U \}}$ aparține lui $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ .

Dacă ultima proprietate lipsește, se spune că spațiul este aproape uniform .

Intuitiv, două puncte aparținând aceluiași anturaj prezintă un anumit grad de apropiere; cu cât cele două puncte sunt mai apropiate, cu atât mai multe anturajuri au în comun. Cu această interpretare, proprietățile date mai sus pot fi descrise după cum urmează:

fiecare punct este aproape de sine;
un set mai mare de puncte definește un grad mai mic de proximitate;
intersecția a două grade de apropiere definește un nou grad de apropiere;
având în vedere un anumit grad de proximitate, există unul „de două ori” mai aproape;
de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este aproape de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este aproape de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Punctele aparținând unui anturaj $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ se numesc vecini U ; dacă toate punctele unui set dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt vecini cu U (adică $A\times A\subseteq U$ ${\ displaystyle A \ times A \ subseteq U}$ ${\ displaystyle A \ times A \ subseteq U}$ ), $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește U-mic .

În cazul unui spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ , anturajele sunt definite ca setul de perechi de puncte a căror distanță este mai mică decât un număr real predeterminat:

U_{a}=\{(x,y)\in X\times X|d(x,y)\leq a\in \mathbb {R} ^{+}\}

{\ displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ in X \ times X | d (x, y) \ leq a \ in \ mathbb {R} ^ {+} \}}

{\ displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ in X \ times X | d (x, y) \ leq a \ in \ mathbb {R} ^ {+} \}}

.

Setul de puncte „aproape” de un punct fix $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând anturajului $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ se scrie de obicei ca

U[x]=\{y:\,(x,y)\in U\}

{\ displaystyle U [x] = \ {y: \, (x, y) \ în U \}}

{\ displaystyle U [x] = \ {y: \, (x, y) \ în U \}}

Un sistem fundamental de anturaj este o subfamilie $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ de anturaj astfel încât fiecare anturaj al structurii uniforme să conțină un anturaj de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ; pentru proprietatea 2, un sistem fundamental este, prin urmare, capabil să definească întreaga structură uniformă.

Având în vedere două structuri uniforme $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ Și $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ , de sine $\Psi \subseteq \Phi$ ${\ displaystyle \ Psi \ subseteq \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Psi \ subseteq \ Phi}$ se spune că $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este mai fin decât $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ .

Pseudometric

Un spațiu uniform poate fi definit printr-un sistem pseudometric ^[2] ^[3] în modul următor: dat un pseudometric $f:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ times X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ times X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ , ansamblul de puncte a căror pseudo-distanță este mai mică sau egală cu numărul real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este imaginea inversă a intervalului real $[0,a]$ ${\ displaystyle [0, a]}$ ${\ displaystyle [0, a]}$ :

U_{a}=f^{-1}([0,a])

{\ displaystyle U_ {a} = f ^ {- 1} ([0, a])}

{\ displaystyle U_ {a} = f ^ {- 1} ([0, a])}

.

Setul tuturor imaginilor inverse pentru o dată pseudometrică formează un sistem fundamental de anturaj. Dacă luăm în considerare o familie de pseudometrie $\{f_{i}\}_{i\in I}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ în I}}$ , intersecțiile finite ale tuturor anturajelor formează la rândul lor un sistem fundamental.

Dacă familia pseudometrică este numărabilă , acest sistem este echivalent cu cel generat de un singur pseudometric; în cazul unei familii finite, pseudometricul generator este învelișul superior al tuturor valorilor pseudometrice (adică pseudometricul generat luând, punct cu punct, pseudometricul familiei cu cea mai mare valoare).

Mai general, orice structură uniformă poate fi generată printr-o familie de pseudometrice, posibil nenumărate.

Acoperiri uniforme

Este posibil să se definească un spațiu uniform, prin intermediul unor tipuri particulare de acoperiri , numite acoperiri uniforme . O suprapunere a unui întreg $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o familie de seturi $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ${\ displaystyle \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ ${\ displaystyle \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ a cărei unire conține $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}

{\ displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ în A}}

{\ displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ în A}}

.

Având două acoperiri $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , este posibil să se stabilească o relație de ordine între ele după cum urmează:

P<^{\star }Q\Leftrightarrow \forall A\in P\,\exists U\in Q:\,\forall B\in P:A\cap B=\Phi \Rightarrow B\subseteq U

{\ displaystyle P <^ {\ star} Q \ Leftrightarrow \ forall A \ in P \, \ există U \ in Q: \, \ forall B \ in P: A \ cap B = \ Phi \ Rightarrow B \ subseteq U }

{\ displaystyle P <^ {\ star} Q \ Leftrightarrow \ forall A \ in P \, \ există U \ in Q: \, \ forall B \ in P: A \ cap B = \ Phi \ Rightarrow B \ subseteq U }

.

Dacă apare condiția de mai sus, se spune că suprapunerea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un rafinament al $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Un spațiu uniform $(X,\Theta )$ ${\ displaystyle (X, \ Theta)}$ ${\ displaystyle (X, \ Theta)}$ este un spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu o familie de acoperiri $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ care formează un filtru în ceea ce privește ordinea definită mai sus, adică capacele familiei îndeplinesc următoarele proprietăți:

$\{X\}$ ${\ displaystyle \ {X \}}$ ${\ displaystyle \ {X \}}$ este o acoperire uniformă;
de sine $P<^{\star }Q$ ${\ displaystyle P <^ {\ star} Q}$ ${\ displaystyle P <^ {\ star} Q}$ Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este o acoperire uniformă, este și ea $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ;
de sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt acoperiri uniforme, există o acoperire uniformă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ care le rafinează pe amândouă.

Având în vedere un spațiu uniform definit de anturaj, definim o suprapunere ca fiind uniformă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ dacă există un anturaj $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât, pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , există $A\in P$ ${\ displaystyle A \ în P}$ ${\ displaystyle A \ în P}$ pentru care $U[x]\subseteq A$ ${\ displaystyle U [x] \ subseteq A}$ ${\ displaystyle U [x] \ subseteq A}$ ; toate capacele astfel generate constituie un spațiu uniform conform definiției date mai sus.

Dimpotrivă, având în vedere un spațiu uniform definit de suprapuneri, toate superseturile de

\bigcup _{P}\{A\times A:A\in P\}

{\ displaystyle \ bigcup _ {P} \ {A \ ori A: A \ în P \}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {P} \ {A \ ori A: A \ în P \}}

,

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este o acoperire uniformă.

Exemple

O categorie foarte largă de spații uniforme sunt spații metrice: fiecare metrică este a fortiori un pseudometric și, prin urmare, permite definirea unei structuri uniforme. Diferite valori pot avea aceeași structură uniformă; de exemplu prin înmulțirea unei valori metrice cu o constantă , structura uniformă indusă nu variază.

Cu toate acestea, este posibil să se găsească valori care să inducă structuri uniforme diferite, dar aceleași structuri topologice; de exemplu, luând în considerare pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ cele două valori:

{\begin{matrix}d_{1}(x,y)=|x-y|\\d_{2}(x,y)=e^{x}-e^{y}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} d_ {1} (x, y) = | xy | \\ d_ {2} (x, y) = e ^ {x} -e ^ {y} \ end {matrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} d_ {1} (x, y) = | xy | \\ d_ {2} (x, y) = e ^ {x} -e ^ {y} \ end {matrix} }}

induc aceeași topologie, dar structuri uniforme diferite, ca întreg $\{(x,y):|x-y|<1\}$ ${\ displaystyle \ {(x, y): | xy | <1 \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y): | x-y | <1 \}}$ este un anturaj în structura uniformă indusă de $d_{1}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ $d_ {1}$ , dar nu în cel indus de $d_{2}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ $d_ {2}$ .

Grupurile topologice constituie o altă categorie de spații uniforme ^[4] ; dat un grup topologic $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , anturajele sunt toate subseturi de $G\times G$ ${\ displaystyle G \ times G}$ ${\ displaystyle G \ times G}$ care conțin setul:

\{(x,y):xy^{-1}\in U\}

{\ displaystyle \ {(x, y): xy ^ {- 1} \ în U \}}

{\ displaystyle \ {(x, y): xy ^ {- 1} \ în U \}}

,

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un cartier al elementului neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Structura uniformă astfel definită se numește uniformitate dreaptă , ca pentru fiecare element $a\in G$ ${\ displaystyle a \ în G}$ $a \ in G$ multiplicare spre dreapta $x\mapsto xa$ ${\ displaystyle x \ mapsto xa}$ ${\ displaystyle x \ mapsto xa}$ este uniform continuu.

Spații topologice și spații uniforme

Fiecare spațiu uniform poate fi echipat cu o topologie, definind orice subset ca deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât pentru fiecare $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ există un anturaj $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru care $V[x]$ ${\ displaystyle V [x]}$ ${\ displaystyle V [x]}$ este cuprins în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Se spune că topologia astfel definită este indusă de uniformitate ; se spune că o topologie care coincide cu cea indusă de structura uniformă este compatibilă cu aceasta. În general, o topologie dată poate fi compatibilă cu mai multe structuri uniforme.

Spațiile topologice a căror topologie este compatibilă cu o structură uniformă se numesc uniformizabile ; coincid cu spații complet regulate .

Dacă spațiul este uniformizabil, următoarele trei proprietăți sunt echivalente:

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Kolmogorov ;
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu de Hausdorff ;
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Tychonoff ;
intersecția tuturor anturajelor este diagonala lui $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Proprietăți legate de structura uniformă

Numeroase proprietăți importante pot fi definite prin structura uniformă a unui spațiu; printre acestea, continuitate și completitudine uniformă .

Continuitate uniformă

O funcție între spații uniforme se spune că este uniform continuă dacă contra-imaginile anturajelor (sau suprapunerilor uniforme) sau sunt încă anturaje (sau suprapuneri uniforme). Un izomorfism uniform este o funcție uniformă continuă cu un invers uniform continuu.

Continuitatea uniformă joacă un rol analog pentru spațiile uniforme cu cel al continuității pentru spațiile topologice; o funcție uniformă continuă între spații uniforme păstrează de fapt proprietățile uniforme ale spațiilor. O funcție uniformă continuă este întotdeauna continuă în ceea ce privește topologia indusă.

Completitudine

Noțiunea de completitudine a unui spațiu metric poate fi extinsă la spații uniforme; în loc de convergența secvențelor Cauchy , este necesară convergența altor entități matematice, numite filtre Cauchy sau rețele Cauchy.

Un filtru Cauchy este un filtru care conține elemente în mod arbitrar mici; mai precis, pentru un anturaj $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ există un element $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a filtrului astfel încât $A\times A\subseteq U$ ${\ displaystyle A \ times A \ subseteq U}$ ${\ displaystyle A \ times A \ subseteq U}$ .

Un filtru convergent este întotdeauna un filtru Cauchy, în timp ce inversul nu este în general adevărat; spațiile în care fiecare filtru Cauchy este de asemenea convergent se numesc spații uniforme complete . Acestea includ spații compacte Hausdorff.

Având o funcție uniformă continuă $f:A\rightarrow Y$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow Y}$ dintr-un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dens în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ spațiu uniform, la un spațiu uniform complet $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , este posibil să extindeți funcția la toate într-un mod unic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , menținându-și continuitatea uniformă.

Finalizarea unui spațiu uniform

În mod similar cu spațiile metrice, există o completare Hausdorff pentru orice spațiu uniform $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : adică există un spațiu complet uniform Hausdorff $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și o hartă uniformă continuă $i:X\rightarrow Y$ ${\ displaystyle i: X \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle i: X \ rightarrow Y}$ astfel încât pentru fiecare hartă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ într-un spațiu uniform Hausdorff complet $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ există o hartă uniformă continuă $g:Y\rightarrow Z$ ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ astfel încât $f=gi$ ${\ displaystyle f = gi}$ ${\ displaystyle f = gi}$ .

Finalizarea lui Hausdorff $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este unic cu excepția unui homeomorfism . O posibilă construcție se obține prin pornirea setului de filtre Cauchy minime $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; harta $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ se potrivește cu fiecare punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ la filtrul de cartier $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ , care este un filtru Cauchy minim. Imaginea $i(X)$ ${\ displaystyle i (X)}$ ${\ displaystyle i (X)}$ este dens în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ; de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de la Hausdorff, $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este injectiv și $i(X)$ ${\ displaystyle i (X)}$ ${\ displaystyle i (X)}$ este homeomorf a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În caz contrar, putem considera spațiul coeficient obținut prin identificarea tuturor punctelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x^{\prime }$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$ pentru care $i(x)=i(x^{\prime })$ ${\ displaystyle i (x) = i (x ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle i (x) = i (x ^ {\ prime})}$ , care este întotdeauna de la Hausdorff și homeomorf a $i(X)$ ${\ displaystyle i (X)}$ ${\ displaystyle i (X)}$ .

Structura uniformă a $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este definit astfel: pentru fiecare anturaj $V\subseteq X$ ${\ displaystyle V \ subseteq X}$ ${\ displaystyle V \ subseteq X}$ care este simetric (adică $(x,y)\in V\Leftrightarrow (y,x)\in V$ ${\ displaystyle (x, y) \ în V \ Leftrightarrow (y, x) \ în V}$ ${\ displaystyle (x, y) \ în V \ Leftrightarrow (y, x) \ în V}$ ), este $C(V)$ ${\ displaystyle C (V)}$ ${\ displaystyle C (V)}$ setul tuturor perechilor de filtre Cauchy care au în comun cel puțin un element mic V; setul tuturor $C(V)$ ${\ displaystyle C (V)}$ ${\ displaystyle C (V)}$ este un sistem fundamental de anturaj.

Notă

^ Bourbaki , capitolul 2 .
^ Spațiile pseudometrice se mai numesc și spații gauge.
^ Bourbaki , Capitolul 9
^ Bourbaki , capitolul 3

Bibliografie

( FR ) Nicolas Bourbaki , Topologie Générale , ISBN 0-387-19374-X .
( FR ) Nicolas Bourbaki , Topologie Générale , ISBN 0-387-19372-3 .
( EN ) JR Isbell, Uniform Spaces , ISBN 0-8218-1512-1 .
( EN ) IM James, Introducere în spații uniforme , ISBN 0-521-38620-9 .
( EN ) IM James, Topological and Uniform Spaces , ISBN 0-387-96466-5 .
( EN ) Convergență și uniformitate în topologie , ISBN 0-691-09568-X .
André Weil , Sur les espaces a uniform structure and sur la general topologie , în Act. Sci. Ind. , N. 551, 1937.

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00564317

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bourbaki , capitolul 2 .

[2] Spațiile pseudometrice se mai numesc și spații gauge.

[3] Bourbaki , Capitolul 9

[4] Bourbaki , capitolul 3

[1]

[2]

[3]

[4]