Spațiu vectorial

În matematică , un spațiu vectorial , numit și spațiu liniar , este o structură algebrică compusă din:

un câmp , ale cărui elemente se numesc scalari ;
un set , ale cărui elemente se numesc vectori ;
două operații binare, numite sumă și multiplicare la scară, caracterizate prin anumite proprietăți. ^[1]

Este o structură algebrică de mare importanță și este o generalizare a mulțimii formate din vectorii planului cartezian obișnuit (sau al spațiului tridimensional ) echipat cu operațiile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr real . Cele mai utilizate spații vectoriale sunt cele de pe câmpuri reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , respectiv numite „spații vectoriale reale” și „spații vectoriale complexe”.

Spațiile vectoriale sunt întâlnite în numeroase capitole ale matematicii moderne și în aplicațiile sale: acestea sunt utilizate în primul rând pentru a studia soluțiile sistemelor de ecuații liniare și ecuații diferențiale liniare . Cu aceste ecuații, sunt abordate multe situații: prin urmare, spațiile vectoriale sunt întâlnite în statistici , științele construcțiilor , mecanica cuantică , teoria semnalului , biologia moleculară etc. În spațiile vectoriale, sunt studiate, de asemenea, sistemele de ecuații și inegalități și, în special, cele utilizate pentru programarea matematică și cercetarea operațională în general.

Structurile algebrice preliminare spațiilor vectoriale sunt cele ale grupului , inelului și câmpului . Există, de asemenea, numeroase structuri matematice care generalizează și îmbogățesc pe cel al spațiului vectorial; unele sunt menționate în ultima parte a acestui articol.

Un spațiu vector este o colecție de obiecte, numite „vectori”, care pot fi adăugate și redimensionate.

Definiție

Un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Este un set $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ echipat cu două operații care satisfac o anumită listă de axiome. Elementele $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numesc vectori și cei de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ scalari. Operațiunile sunt:

o sumă (sau lege a compoziției interne) care ia doi vectori $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v}}$ $\ mathbf u, \ mathbf v$ aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și returnează un alt vector al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ indicat cu $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$ $\ mathbf u + \ mathbf v$ ;
un produs scalar (sau legea compoziției externe) care ia un vector $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf u$ aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și o urcare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ aparținând $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și returnează un alt vector aparținând $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ indicat cu $a\mathbf {u}$ ${\ displaystyle a \ mathbf {u}}$ $a \ mathbf u$ .

Axiomele pe care trebuie să le îndeplinească aceste două operații sunt următoarele ^[2] ^[3] :

$(V,+)$ ${\ displaystyle (V, +)}$ $(V, +)$ este un grup abelian : deci există un element neutru 0, suma este comutativă și asociativă și fiecare vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ are un opus care este în mod normal notat cu $-\mathbf {v} ;$ ${\ displaystyle - \ mathbf {v};}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {v};}$
distributivitatea produsului a trei termeni pentru un scalar în ceea ce privește adăugarea de vectori:

a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} ,\qquad \forall a\in K,\quad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V;

{\ displaystyle a (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = a \ mathbf {u} + a \ mathbf {v}, \ qquad \ forall a \ în K, \ quad \ forall \ mathbf {u} , \ mathbf {v} \ în V;}

{\ displaystyle a (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = a \ mathbf {u} + a \ mathbf {v}, \ qquad \ forall a \ în K, \ quad \ forall \ mathbf {u} , \ mathbf {v} \ în V;}

pseudo-distributivitate ^[4] a produsului pe scalar în ceea ce privește adăugarea de scalari:

(a+b)\mathbf {v} =a\mathbf {v} +b\mathbf {v} ,\qquad \forall a,b\in K,\quad \forall \mathbf {v} \in V;

{\ displaystyle (a + b) \ mathbf {v} = a \ mathbf {v} + b \ mathbf {v}, \ qquad \ forall a, b \ in K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in V;}

{\ displaystyle (a + b) \ mathbf {v} = a \ mathbf {v} + b \ mathbf {v}, \ qquad \ forall a, b \ in K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in V;}

compatibilitatea produsului între scalare și a produsului pentru scalare (pseudo-asociativitate ^[5] ):

(ab)\mathbf {v} =a(b\mathbf {v} ),\qquad \forall a,b\in K,\quad \forall \mathbf {v} \in V;

{\ displaystyle (ab) \ mathbf {v} = a (b \ mathbf {v}), \ qquad \ forall a, b \ in K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in V;}

{\ displaystyle (ab) \ mathbf {v} = a (b \ mathbf {v}), \ qquad \ forall a, b \ in K, \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in V;}

neutralitate de 1 față de produsul la scară:

1\mathbf {v} =\mathbf {v} ,\qquad \forall \mathbf {v} \in V.

{\ displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}, \ qquad \ forall \ mathbf {v} \ în V.}

{\ displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}, \ qquad \ forall \ mathbf {v} \ în V.}

Diferite alfabete sunt utilizate în general pentru vectori și scalari: de exemplu, vectorii sunt simbolizați cu caractere aldine, subliniate sau surmontate de o săgeată. Din aceste proprietăți, următoarele formule, valabile pentru fiecare, pot fi dovedite imediat $a\in K$ ${\ displaystyle a \ în K}$ $a \ în K$ și fiecare $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ :

a\mathbf {0} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,\qquad -a\mathbf {v} =(-a)\mathbf {v} =a(-\mathbf {v} ),

{\ displaystyle a \ mathbf {0} = 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \ qquad -a \ mathbf {v} = (- a) \ mathbf {v} = a (- \ mathbf {v }),}

{\ displaystyle a \ mathbf {0} = 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \ qquad -a \ mathbf {v} = (- a) \ mathbf {v} = a (- \ mathbf {v }),}

unde este elementul neutru al adaosului în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ este elementul neutru al adăugării în $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$

Un spațiu vectorial real sau complex este un spațiu vectorial în care $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este respectiv câmpul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ a numerelor reale sau a câmpului $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ de numere complexe .

O noțiune conexă este cea a modulului .

Primele exemple

Iată câteva exemple importante de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spații vectoriale unde $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp. Lasa-i sa fie $m, n$ ${\ displaystyle m, n}$ $m, n$ două numere întregi pozitive.

K spații ⁿ

Întregul:

K^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1},\dots ,x_{n}\in K\},

{\ displaystyle K ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ în K \},}

{\ displaystyle K ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ în K \},}

format din toate secvențele finite și ordonate de elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , cu operațiile de adăugare și produs pentru un termen scalar definit de termen ( punctual ), se numește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -spatiu numeric , spatiu al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -uple sau spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională a coordonatelor și poate fi considerat prototipul de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Se observă că spațiile $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ posedă o infinitate continuă de elemente, în timp ce $\mathbb {Q} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n}}$ $\ mathbb {Q} ^ {n}$ are cardinalitate numărabilă și pentru fiecare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ mai întâi spațiul $\mathbb {F} _{p}^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ^ {n}}$ ${\ mathbb {F}} _ {p} ^ {n}$ este alcătuit dintr-un număr finit de vectori, mai exact $p^{n}.$ ${\ displaystyle p ^ {n}.}$ ${\ displaystyle p ^ {n}.}$

Polinomiale

Întregul $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ de polinoame cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și cu variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , cu operațiile obișnuite de sumă între polinoame și produsul unui polinom de către un scalar, formează un $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Matrici

Ansamblul matricilor $K^{m\times n},$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n},}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n},}$ cu operațiile de sumă dintre matrice și produsul unui scalar pentru o matrice, este un $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Funcții

Întregul $K^{X}$ ${\ displaystyle K ^ {X}}$ $K ^ X$ (de asemenea, denotat $\mathrm {Fun} (X,K)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Fun} (X, K)}$ ${\ mathrm {Fun}} (X, K)$ ) a tuturor funcțiilor dintr-un set fix $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , unde este:

Suma a două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este definit ca funcție $(f+g)$ ${\ displaystyle (f + g)}$ $(f + g)$ care trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $f(x)+g(x)$ ${\ displaystyle f (x) + g (x)}$ $f (x) + g (x)$ ;
Produsul $(\lambda f)$ ${\ displaystyle (\ lambda f)}$ $(\ lambda f)$ a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pentru o urcare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este funcția care trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $\lambda f(x)$ ${\ displaystyle \ lambda f (x)}$ $\ lambda f (x)$ .

Rețineți că $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ , $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ $K ^ {m \ ori n}$ sunt cazuri speciale ale acestuia din urmă respectiv cu $X=\{1,\ldots ,n\},\mathbb {N} ,\{1,\ldots ,n\}\times \{1,\ldots ,m\}.$ ${\ displaystyle X = \ {1, \ ldots, n \}, \ mathbb {N}, \ {1, \ ldots, n \} \ times \ {1, \ ldots, m \}.}$ ${\ displaystyle X = \ {1, \ ldots, n \}, \ mathbb {N}, \ {1, \ ldots, n \} \ times \ {1, \ ldots, m \}.}$

Un alt exemplu, întregul $\mathbb {R} ^{X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ $\ R ^ X$ a tuturor funcțiilor dintr-un deschis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , e o $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ - spațiu vectorial.

Noțiuni de bază

Studiul structurii spațiului vectorial se realizează prin dezvoltarea noțiunilor de subespai vectorial , de transformare liniară (în acest caz vom vorbi de omomorfismul spațiilor vectoriale ), de bază și de dimensiune .

Subspatii

Trei subspatii distincte ale dimensiunii 2 in

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

: sunt avioane care trec prin origine. Două dintre acestea se intersectează într-un subspațiu de dimensiunea 1, adică o linie dreaptă care trece prin origine (una dintre acestea este trasată în albastru).

Același subiect în detaliu: Subspaiul vector .

Un subspatiu vectorial al unui spatiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un subset $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ care moștenește din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o structură spațială vectorială. Pentru a moșteni această structură, este suficient ca. $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ nu este gol și este închis cu privire la cele două operații de adăugare și produs prin scalare. În special, $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ trebuie să conțină zero de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Exemple

O linie dreaptă care trece prin origine este un subspațiu vectorial al planului cartezian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ ; în spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ toate planurile și toate liniile care trec prin origine sunt subspatii.

Spațiile formate din matricile simetrice sau antisimetrice sunt subspatii vectoriale ale setului de matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Alte subspatii vectoriale importante sunt cele ale $\mathrm {Fun} (X,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Fun} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ mathrm {Fun}} (X, \ mathbb {R})$ , cand $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ : mulțimile formate din funcții continue , de funcții diferențiate și de funcții măsurabile .

Generatoare și baze

Același subiect în detaliu: combinație liniară și de bază (algebră liniară) .

O combinație liniară a unor vectori $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ este un script ca:

\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

{\ displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n}.}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n}.}

O combinație liniară este cea mai generală operație care poate fi efectuată cu acești vectori folosind cele două operații de sumă și produs la scară. Folosind combinații liniare este posibil să se descrie un sub spațiu (care este în general format dintr-un set infinit de vectori) cu un număr finit de date. De fapt, subspațiul generat de acești vectori este definit ca ansamblul tuturor combinațiilor lor liniare.

Un subspatiu poate fi generat din diferite seturi de vectori. Printre posibilele seturi de generatoare, unele sunt mai ieftine decât altele: sunt seturile de vectori cu proprietatea de a fi liniar independenți . Un astfel de set de vectori se numește baza subspatiu.

Se arată că fiecare spațiu vectorial nontrivial are cel puțin o bază; unele spații au baze constituite dintr-un număr finit de vectori, altele au baze constituind mulțimi infinite. Pentru aceasta din urmă, demonstrația existenței unei baze trebuie să recurgă la lema Zorn .

Noțiunea de bază a unui spațiu vector este legată de cea a sistemului de referință al unui spațiu afin .

Dimensiune

Același subiect în detaliu: Dimensiune (spațiu vectorial) .

Se arată că toate bazele unui spațiu vectorial au aceeași cardinalitate (acest rezultat se datorează lui Felix Hausdorff ). Această cardinalitate se numește dimensiunea Hamel a spațiului; această entitate este denumită de obicei pur și simplu ca dimensiune spațială. Cea mai importantă distincție între spațiile vectoriale vede pe de o parte spațiile de dimensiune finită și, pe de altă parte, cele de dimensiune infinită.

Pentru fiecare întreg natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ spaţiu $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : de fapt una dintre bazele sale este constituită de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upluri care au toate componentele nule, cu excepția uneia egale cu unitatea câmpului. În special, setul format doar din câmp poate fi considerat un spațiu cu dimensiuni, linia dreaptă cu origine este un spațiu unidimensional pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , planul cartezian este un spațiu de dimensiune $2,$ ${\ displaystyle 2,}$ ${\ displaystyle 2,}$ spaţiu $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ are dimensiune $3.$ ${\ displaystyle 3.}$ ${\ displaystyle 3.}$

Chiar și polinoame cu grad cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ formează un subspațiu vectorial al dimensiunii $n+1,$ ${\ displaystyle n + 1,}$ ${\ displaystyle n + 1,}$ în timp ce mărimea setului de funcții $\mathrm {Fun} (X,K)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Fun} (X, K)}$ ${\ mathrm {Fun}} (X, K)$ este egal cu cardinalitatea lui $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Printre spațiile dimensionale infinite există cele formate de setul de polinoame într-o singură variabilă sau în mai multe variabile și cele formate din diverse colecții de funcții, de exemplu spațiile Lp .

Vectorii unui spațiu de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiunile, referitoare la o bază fixă a unui astfel de spațiu, pot fi reprezentate ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii de scalari: acestea sunt coordonatele lor. Acest fapt ne permite să afirmăm că fiecare spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional despre $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este în mod substanțial identificabil cu $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .

Transformări liniare și omomorfisme

Același subiect în detaliu: Transformarea liniară și omomorfismul .

O transformare liniară între două spații vectoriale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ pe același teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o aplicație care trimite vectori de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în vectori de $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ respectând combinațiile liniare . Deoarece transformările liniare respectă operațiile de sumă a vectorilor și multiplicările prin scalari, ele constituie omomorfismele pentru structurile speciilor de spații vectoriale. Pentru a desemna ansamblul de omomorfisme din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ tu o scrii $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ mathrm {Hom}} (V, W)$ . Deosebit de importante sunt seturile de endomorfisme ; acestea au forma $\mathrm {End} (V,V)$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (V, V)}$ $\ mathrm {End} (V, V)$ .

Se observă că pentru aplicațiile liniare ale $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ mathrm {Hom}} (V, W)$ puteți defini sumele și multiplicările prin elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , ca și în cazul tuturor funcțiilor care au valori într-un spațiu de pe acest câmp. Întregul $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ mathrm {Hom}} (V, W)$ echipat cu aceste operații constituie la rândul său un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , in marime $\dim(V)\times \dim(W)$ ${\ displaystyle \ dim (V) \ times \ dim (W)}$ $\ dim (V) \ times \ dim (W)$ . Un caz particular foarte important este dat de spațiul dual $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , care are aceeași dimensiune ca $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Spațiu vectorial liber

Un exemplu particular folosit adesea în algebră (și o construcție destul de comună în acest domeniu) este cel al spațiului vectorial liber pe un set. Scopul este de a crea un spațiu care să aibă ca bază elementele întregului. Amintind că, având în vedere un spațiu vector generic, se spune că un subset al acestuia $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o bază dacă elementele de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ sunt liniar independente și fiecare vector poate fi scris ca o combinație liniară finită de elemente ale $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , următoarea definiție apare în mod natural: un spațiu vector liber $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este ansamblul tuturor combinațiilor liniare formale ale unui număr finit de elemente ale $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , adică vectorii de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt de tipul:

\sum _{b\in B}\alpha _{b}b\qquad \alpha _{b}\in K,

{\ displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ qquad \ alpha _ {b} \ în K,}

{\ displaystyle \ sum _ {b \ în B} \ alpha _ {b} b \ qquad \ alpha _ {b} \ în K,}

unde coeficienții diferiți de zero sunt finiți, iar suma și produsul sunt definite după cum urmează:

\sum _{b\in B}\alpha _{b}b+\sum _{b\in B}\beta _{b}b:=\sum _{b\in B}(\alpha _{b}+\beta _{b})b\qquad \forall \alpha _{b}\beta _{b}\in K

{\ displaystyle \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b + \ sum _ {b \ in B} \ beta _ {b} b: = \ sum _ {b \ in B} (\ alpha _ {b} + \ beta _ {b}) b \ qquad \ forall \ alpha _ {b} \ beta _ {b} \ în K}

{\ displaystyle \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b + \ sum _ {b \ in B} \ beta _ {b} b: = \ sum _ {b \ in B} (\ alpha _ {b} + \ beta _ {b}) b \ qquad \ forall \ alpha _ {b} \ beta _ {b} \ în K}

\gamma \sum _{b\in B}\alpha _{b}b:=\sum _{b\in B}(\gamma \alpha _{b})b\qquad \forall \alpha _{b},\gamma \in K.

{\ displaystyle \ gamma \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b: = \ sum _ {b \ in B} (\ gamma \ alpha _ {b}) b \ qquad \ forall \ alpha _ {b}, \ gamma \ în K.}

{\ displaystyle \ gamma \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b: = \ sum _ {b \ in B} (\ gamma \ alpha _ {b}) b \ qquad \ forall \ alpha _ {b}, \ gamma \ în K.}

Trebuie avut în vedere faptul că aceste sume sunt numite formale deoarece trebuie considerate simboluri pure. Practic elementele $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ele servesc doar ca „substituent” pentru coeficienți. În plus față de această definiție mai intuitivă, există una complet echivalentă în ceea ce privește funcțiile din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu suport terminat $\mathrm {supp} f:=\{b\in B:f(b)\}$ ${\ displaystyle \ mathrm {supp} f: = \ {b \ în B: f (b) \}}$ ${\ mathrm {supp}} f: = \ {b \ în B: f (b) \}$ , acesta este:

V\simeq \{f\colon B\to K:\mathrm {supp} f\quad \mathrm {finito} \},

{\ displaystyle V \ simeq \ {f \ colon B \ to K: \ mathrm {supp} f \ quad \ mathrm {finished} \},}

{\ displaystyle V \ simeq \ {f \ colon B \ to K: \ mathrm {supp} f \ quad \ mathrm {finished} \},}

unde pentru al doilea set suma și operațiunile produsului sunt cele naturale și corespondența este:

V\ni \sum _{b\in B}\alpha _{b}b\mapsto f\qquad f:b\mapsto \alpha _{b}.

{\ displaystyle V \ ni \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b \ mapsto f \ qquad f: b \ mapsto \ alpha _ {b}.}

{\ displaystyle V \ ni \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b \ mapsto f \ qquad f: b \ mapsto \ alpha _ {b}.}

Spații vectoriale cu structuri suplimentare

Noțiunea de spațiu vectorial a servit în primul rând pentru a sublinia proprietățile algebrice privind mediile și entitățile geometrice; în plus, constituie baza algebrică pentru studiul problemelor de analiză funcțională , care pot fi asociate cu o geometrizare a studiului funcțiilor legate de ecuații liniare. Cu toate acestea, numai structura spațiului vectorial este slabă atunci când problemele geometrice și problemele de analiză funcțională trebuie tratate mai eficient. De fapt, trebuie remarcat faptul că doar cu structura spațiului vectorial nu este posibil să se abordeze probleme referitoare la lungimile segmentelor, distanțele și unghiurile (chiar dacă viziunea intuitivă a spațiilor vectoriale 2 sau 3 dimensionale pare să implice în mod necesar aceste noțiuni de geometrie elementară ).

Pentru a dezvolta „potențialul” structurii spațiului vectorial este necesar să-l îmbogățim în mai multe direcții, atât cu alte instrumente algebrice (de exemplu, propunerea produselor vectorilor), cât și cu noțiuni topologice și cu noțiuni diferențiale . De fapt, o activitate sistematică de îmbogățire a spațiilor vectoriale poate fi avută în vedere cu construcții care se adaugă la cea a combinației liniare pentru a obține structuri extrem de eficiente împotriva multor probleme matematice, de calcul și aplicative. Pentru a fi utile, aceste construcții trebuie să fie cumva compatibile cu structura spațiului vectorial, iar condițiile de compatibilitate variază de la caz la caz.

Spațiu normat

Un spațiu vectorial în care este definită o normă , adică o lungime a vectorilor săi, se numește spațiu normat . Importanța spațiilor vectoriale normate depinde de faptul că pornind de la norma vectorilor unici distanța dintre doi vectori este definită ca norma diferenței lor și această noțiune permite definirea construcțiilor metrice și deci a construcțiilor topologice .

Spațiul Banach

Un spațiu complet normat în raport cu metrica indusă se numește spațiu Banach .

Spațiul Hilbert

Un spațiu vectorial complex (resp. Real) în care este definit un produs scalar Hermitian (resp. Biliniar ) pozitiv și, prin urmare, și conceptele de unghi și perpendicularitate ale vectorilor, se numește spațiu prehilbertian . Un spațiu cu un produs scalar este, de asemenea, reglementat, în timp ce, în general, viceversa nu este validă.

Un spațiu cu un produs scalar care este complet în raport cu metrica indusă se numește spațiul Hilbert .

Spațiu vector topologic

Un spațiu vectorial care are și o topologie se numește spațiu vector topologic .

Algebra de câmp

Un spațiu vectorial îmbogățit cu un operator biliniar care definește o multiplicare între vectori constituie așa-numita algebră de câmp . De exemplu, matricile pătrate de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ echipate cu produsul matricilor formează o algebră. O altă algebră pe orice câmp este furnizată de polinoamele din acest câmp cu produsul obișnuit între polinoame.

Generalizări

O fâșie Möbius : este homeomorfă local

U\times \mathbb {R}

{\ displaystyle U \ times \ mathbb {R}}

U \ times \ mathbb {R}

.

Pachete vectoriale

Același subiect în detaliu: pachet Vector și pachet Tangent .

Un pachet de vectori este o familie de spații vectoriale parametrizate cu continuitate dintr-un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Mai exact, un pachet de vector pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu topologic $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ echipat cu o funcție continuă $\pi \colon E\to X$ ${\ displaystyle \ pi \ colon E \ to X}$ $\ pi \ colon E \ to X$ astfel încât pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ fibra $\pi ^{-1}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1}}$ $\ pi ^ {{- 1}}$ este un spațiu vectorial.

Formulare

Același subiect în detaliu: Modul (matematică) .

Un modul este pentru un inel ceea ce este un spațiu vectorial pentru un câmp. Deși sunt valabile aceleași axiome care se aplică câmpurilor, teoria modulelor este complicată de prezența elementelor (inelelor) care nu posedă reciprocitate .

Spații afine

Același subiect în detaliu: spațiu afiliat .

Intuitiv, un spațiu afin este un spațiu vector a cărui origine nu este fixă. Este un întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ echipat cu o funcție $f:A\times V\to A$ ${\ displaystyle f: A \ times V \ to A}$ $f: A \ ori V \ la A$ , unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , indicat în general cu semnul $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ :

f(P,v)=P+v,

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

astfel încât: ^[6]

Pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ fix, aplicația care se leagă de vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ideea $P+v$ ${\ displaystyle P + v}$ $P + v$ este o bijecție din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fiecare pereche de vectori $v, w$ ${\ displaystyle v, w}$ $v, w$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ relația deține:

(P+v)+w=P+(v+w)

{\ displaystyle (P + v) + w = ​​P + (v + w)}

(P + v) + w = ​​P + (v + w)

Notă

^ Hoffman, Kunze , p. 28 .
^ S. Lang , Pagina 37 .
^ Hoffman, Kunze , p. 29 .
^ Proprietatea distributivă privește doar două operații, în timp ce în acest caz sunt implicate trei operații: adăugarea de scalari ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ), înmulțirea unui vector cu un scalar ( $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ ) și adunarea vectorială ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ )
^ Proprietatea asociativă privește o singură operație, în timp ce în acest caz sunt implicate două operații: multiplicarea scalară pe câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și multiplicarea cu un scalar
^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 102.

Bibliografie

Marco Abate, Chiara de Fabritiis, Geometrie analitică cu elemente de algebră liniară , Milano, McGraw-Hill, 2006, ISBN 88-386-6289-4 .
Silvana Abeasis, Elements of linear algebra and geometry , Bologna, Zanichelli, 1993, ISBN 88-08-16538-8 .
Giulio Campanella, Note despre algebră , Roma, Noua cultură, 2005, ISBN 88-89362-22-7 .
Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Luciano Lomonaco, O introducere la algebra liniară , Roma, Aracne, 2005, ISBN 88-548-0144-5 .
Edoardo Sernesi, Geometria 1 , ed. A II-a, Torino, Bollati Boringhieri , 1989, ISBN 88-339-5447-1 .
( EN ) Werner Greub, Algebra liniară , ediția a 4-a, New York, Springer, 1995, ISBN 0-387-90110-8 .
( EN ) Paul Halmos , Finite-Dimensional Vector Spaces , ediția a doua, New York, Springer, 1974, ISBN 0-387-90093-4 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra , Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
( EN ) Serge Lang, Algebra liniară , ediția a 3-a, New York, Springer, 1987, ISBN 0-387-96412-6 .
( EN ) Steven Roman, Algebra liniară avansată , Springer, 1992, ISBN 0-387-97837-2 .
(EN) Georgi Evgen'evich Shilov , Algebra liniară, traducere de Richard Silverman, New York, Dover, 1977, ISBN 0-486-63518-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse pe spațiul vectorial
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe spațiul vectorial

linkuri externe

( EN ) Spațiu vectorial , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) MI Kadets, Vector space , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) O prelegere despre concepte fundamentale legate de spațiile vectoriale (susținută la MIT )
( EN ) Un simulator grafic pentru conceptele de interval, dependență liniară, bază și dimensiune

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 8099 · LCCN ( EN ) sh85142456 · GND ( DE ) 4130622-3 · BNF ( FR ) cb11947083w (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Hoffman, Kunze , p. 28 .

[2] S. Lang , Pagina 37 .

[3] Hoffman, Kunze , p. 29 .

[4] Proprietatea distributivă privește doar două operații, în timp ce în acest caz sunt implicate trei operații: adăugarea de scalari ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ), înmulțirea unui vector cu un scalar ( $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ ) și adunarea vectorială ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ )

[5] Proprietatea asociativă privește o singură operație, în timp ce în acest caz sunt implicate două operații: multiplicarea scalară pe câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și multiplicarea cu un scalar

[6] Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 102.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identità · Nulla · Quadrata · Invertibile · Simmetrica · Antisimmetrica · Trasposta · Diagonale · Triangolare · Di cambiamento di base · Ortogonale · Normale · Simplettica · Moltiplicazione di matrici · Rango · Teorema di Kronecker · Minore · Matrice dei cofattori · Determinante · Teorema di Binet · Teorema di Laplace · Radice quadrata di una matrice
Diagonalizzabilità	Autovettore e autovalore · Spettro · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Teorema di Hamilton-Cayley · Matrice a blocchi · Forma canonica di Jordan · Teorema di diagonalizzabilità
Prodotto scalare	Forma bilineare · Sottospazio ortogonale · Spazio euclideo · Base ortonormale · Algoritmo di Lagrange · Segnatura · Teorema di Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Forma hermitiana · Teorema spettrale