Spațiul-timp al lui Schwarzschild

Spațiul-timp al lui Schwarzschild este o soluție a ecuațiilor de câmp ale lui Einstein în vid, care descrie spațiul-timp în jurul unei mase sferice, care nu se rotește, fără sarcină . A fost prima soluție găsită pentru relativitatea generală ^[1] , la câteva luni după publicarea sa. ^[2]

Karl Schwarzschild

Din punct de vedere matematic, reprezintă geometria unui spațiu-timp static și sferic simetric. Într-adevăr, după cum demonstrează teorema lui Birkhoff , ^[3] staticitatea este o consecință a simetriei sferice, iar cea a lui Schwarzschild este soluția mai generală care satisface aceste două cereri.

Deși este o aproximare (practic toate corpurile cerești se rotesc), are aplicații largi. Mișcările planetare din jurul Soarelui, de exemplu, care în teoria newtoniană a gravitației au fost descrise ^[4] ca mișcări într-un câmp al forțelor centrale , pentru care legile lui Kepler erau valabile, sunt descrise de relativitatea generală ca mișcări ale maselor de testare (adică mișcări geodezice ) în spațiul-timp Schwarzschild. În special, dacă în teoria Kepleriană orbitele planetelor erau elipse, în cea relativistă acestea sunt rozete (pentru a afla mai multe, vezi mai jos) și prezintă o precesiune a axei orbitei, care fusese deja observată între 18 secolele XIX și nu a fost explicabilă în cadrul newtonian. În special, calculele lui Le Verrier , descoperitorul teoretic, împreună cu Adams , ale planetei Neptun, exploatând teoria perturbațiilor seculare, au reușit să explice aproape toată precesiunea observată, cu excepția unui reziduu de mai puțin de 50 de secunde de arc pe secol. . Calculul exact permis de soluția Schwarzschild pentru unghiul de precesiune al lui Mercur a fost prima dovadă puternică care susține teoria relativității .

Soluția lui Schwarzschild este, de asemenea, la originea uneia dintre ideile fizicii care au stimulat cel mai puternic imaginația colectivă, împrumutându-se deseori speculațiilor de science fiction: gaura neagră . După cum se va arăta mai bine mai târziu, dacă corpul sursă al câmpului gravitațional este suficient de dens, soluția Schwarzschild prezice că în jurul sursei, la o distanță cunoscută sub numele de raza Schwarzschild , există o suprafață ideală, numită orizontul evenimentelor care împarte spațiu. -timp în două regiuni care nu sunt conectate cauzal ^[5] și care funcționează ca o membrană unidirecțională: totul poate intra, dar nimic nu poate ieși. ^[6]

În special, nici măcar lumina , odată ce a intrat în volumul închis de orizontul evenimentelor, nu va mai putea să se îndepărteze de ea și va continua inexorabil să orbiteze, sunând cercuri în jurul masei centrale. Întrucât lumina nu poate scăpa de obiect, John Archibald Wheeler , într-un interviu din 1968, pentru a se face înțeles de jurnalist, s-a exprimat printr-o comparație: dacă obiectul ar trece în fața fundalului plin de stele ale galaxiei noastre, observatorul de pe Pământ nu putea vedea steaua, dar ar vedea în poziția sa o „gaură neagră” în raport cu fundalul luminos. Acest termen a fost adoptat de atunci, în timp ce termenul precis este singularitatea gravitațională.

Generalitate

Dacă se introduc coordonate sferice locale și o coordonată de timp, se scrie metrica ^[7] (aici se folosește o metrică cu semnătura -2):

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta d \ phi ^ {2},}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta d \ phi ^ {2},}

unde cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se indică masa sursei, cu $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ constanta gravitațională universală și cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii . Rețineți că pentru $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ tindând la zero, găsim spațiul-timp al lui Minkowski ; același tip de metrică se obține pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ având tendința la infinit, o proprietate cunoscută sub numele de stabilitate asimptotică .

Rețineți că pentru sursă se impune doar că este o sferă simetrică, dar nu că este statică: prin urmare, ne putem aștepta la o radiație gravitațională (mică în comparație cu energia emisă în alte forme), de asemenea, de la explozia unei supernove , care (deplasându-se cu viteză mare) este încă comparabilă cu o sferă simetrică. Același rezultat se obține și în electromagnetism, în care câmpul electromagnetic din jurul unei distribuții sferice de sursă de sarcină nu depinde de distribuția radială a sarcinilor.

Alegerea coordonatelor sferice pare cea mai naturală, date fiind simetriile problemei, dar nu este cea mai bună pentru explorarea caracteristicilor spațiu-timp. Mai mult, teorema lui Birkhoff (relativitatea) ne arată că, deși nu este bună, este și singura soluție sferică simetrică disponibilă. Din acest motiv, diferite sisteme locale de coordonate au fost introduse de-a lungul anilor pentru a prezenta această caracteristică a geometriei spațiu-timp. Vom vorbi despre asta mai târziu.

Metrica exprimată în coordonate sferice, așa cum am dat-o, este independentă de coordonate $\displaystyle {t}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {t}}$ $\ displaystyle {t}$ Și $\displaystyle {\phi }$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ phi}}$ $\ displaystyle {\ phi}$ ; aceasta implică existența a două câmpuri vectoriale , numite câmpuri de ucidere , care corespund la cât mai multe simetrii ale spațiului-timp și cantități conservate.

Pentru a fi precis, t-invarianța implică o invarianță pentru traduceri de timp, iar cantitatea conservată este energie ; invarianța φ, pe de altă parte, implică invarianța pentru rotații față de axă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , iar cantitatea conservată este impulsul unghiular în raport cu acea axă.

Este posibil să scriem metrica sub formă de matrice:

g_{ik}={\begin{pmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&0&0&0\\0&-{\frac {1}{\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\mathrm {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {pmatrix} \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right)}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {pmatrix} \ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} \ right)}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}

Este singular în punctele în care matricea este singulară $g_{ik}$ ${\ displaystyle g_ {ik}}$ $g_ {ik}$ . Pentru metrica Schwarzschild, acest lucru se întâmplă atunci când

$\displaystyle {1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}=0\iff r={\frac {2GM}{c^{2}}}};$ ${\ displaystyle \ displaystyle {1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} = 0 \ if r = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}};}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} = 0 \ if r = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}};}$
$\displaystyle {r=0}.$ ${\ displaystyle \ displaystyle {r = 0}.}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {r = 0}.}$

În primul caz, singularitatea poate fi eliminată prin schimbarea coordonatelor (de exemplu, trecând la coordonatele Kruskal, vezi mai jos). Valoarea $r=2M$ ${\ displaystyle r = 2M}$ $r = 2M$ este cunoscută sub numele de raza Schwarzschild (adică distanța de la centrul stelei la care se formează orizontul evenimentelor ). Faptul că această singularitate se datorează doar unei alegeri proaste a coordonatelor este ușor verificat știind, de exemplu, că invarianții de curbură nu sunt divergenți în aceasta, observând că geodezica poate fi prelungită prin orizontul evenimentelor sau considerând că determinantul matrice $g_{ik}$ ${\ displaystyle g_ {ik}}$ $g_ {ik}$ nu este divergent la punctul specificat. În al doilea caz, invers, este o singularitate care nu poate fi eliminată și corespunde unei curburi infinite de spațiu-timp (invarianții de curbură sunt divergenți în acesta), reprezentată adesea ca o pâlnie în țesătura spațiu-timp.

Pentru a încheia complet descrierea spațiului-timp, valoarea componentelor diferite de zero ale simbolurilor Christoffel și ale tensorului Riemann în coordonate sferice sunt date mai jos.

Simboluri ale lui Christoffel:

{\Gamma }_{tr}^{t}=\displaystyle {\Gamma }_{rt}^{t}={\frac {M}{r^{2}}}{\biggl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\biggr )}^{-1}\;\;,\;\;\displaystyle {\Gamma }_{rr}^{r}=-{\frac {M}{r^{2}}}{\biggl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\biggr )}^{-1},

{\ displaystyle {\ Gamma} _ {tr} ^ {t} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {rt} ^ {t} = {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} {\ biggr)} ^ {- 1} \; \ ;, \; \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {rr} ^ {r} = - {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} {\ biggr)} ^ {- 1},}

{\ displaystyle {\ Gamma} _ {tr} ^ {t} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {rt} ^ {t} = {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} {\ biggr)} ^ {- 1} \; \ ;, \; \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {rr} ^ {r} = - {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2} r}} {\ biggr)} ^ {- 1},}

\displaystyle {\Gamma }_{tt}^{r}={\frac {M}{r^{2}}}{\biggl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\biggr )}\;\;,\;\qquad \qquad \displaystyle {\Gamma }_{\phi \theta }^{\phi }=\displaystyle {\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} _ {tt} ^ {r} = {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2 } r}} {\ biggr)} \; \ ;, \; \ qquad \ qquad \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ theta} ^ {\ phi} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ theta \ phi} ^ {\ phi} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}},}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} _ {tt} ^ {r} = {\ frac {M} {r ^ {2}}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2GM} {c ^ {2 } r}} {\ biggr)} \; \ ;, \; \ qquad \ qquad \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ theta} ^ {\ phi} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ theta \ phi} ^ {\ phi} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}},}

\displaystyle {\Gamma }\,_{\theta \theta }^{r}=-r{\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )}\;\;,\qquad \qquad \;\;\;\displaystyle {\Gamma }_{\phi \phi }^{r}=-r\sin ^{2}\theta {\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )},

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} \, _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - r {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} \; \ ;, \ qquad \ qquad \; \; \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ phi} ^ {r} = - r \ sin ^ {2} \ theta {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)},}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} \, _ {\ theta \ theta} ^ {r} = - r {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} \; \ ;, \ qquad \ qquad \; \; \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ phi} ^ {r} = - r \ sin ^ {2} \ theta {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)},}

\displaystyle {\Gamma }_{\theta r}^{\theta }=\displaystyle {\Gamma }\,_{r\theta }^{\theta }=\displaystyle {\Gamma }_{\phi r}^{\phi }=\displaystyle {\Gamma }_{r\phi }^{\phi }={\frac {1}{r}}\;\;,\;\quad \quad \;\displaystyle {\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta .

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ theta r} ^ {\ theta} = \ displaystyle {\ Gamma} \, _ {r \ theta} ^ {\ theta} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi r} ^ {\ phi} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {r \ phi} ^ {\ phi} = {\ frac {1} {r}} \; \ ;, \; \ quad \ quad \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ phi} ^ {\ theta} = - \ sin \ theta \ cos \ theta.}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ theta r} ^ {\ theta} = \ displaystyle {\ Gamma} \, _ {r \ theta} ^ {\ theta} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi r} ^ {\ phi} = \ displaystyle {\ Gamma} _ {r \ phi} ^ {\ phi} = {\ frac {1} {r}} \; \ ;, \; \ quad \ quad \; \ displaystyle {\ Gamma} _ {\ phi \ phi} ^ {\ theta} = - \ sin \ theta \ cos \ theta.}

Tensor Riemann (la aceste componente trebuie adăugate cele obținute prin simetrie în perechile de indici, a se vedea tensorul Riemann ):

{\displaystyle {R}}_{trtr}={\frac {2M}{r^{3}}}\;,\qquad \;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;{\displaystyle {R}}_{t\theta t\theta }=-{\frac {M}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )},

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {trtr} = {\ frac {2M} {r ^ {3}}} \ ;, \ qquad \; \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \; {\ displaystyle {R}} _ {t \ theta t \ theta} = - {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)},}

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {trtr} = {\ frac {2M} {r ^ {3}}} \ ;, \ qquad \; \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \; {\ displaystyle {R}} _ {t \ theta t \ theta} = - {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)},}

{\displaystyle {R}}_{t\phi t\phi }=-{\frac {M}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )}\sin ^{2}\theta ,\qquad \qquad \;{\displaystyle {R}}_{r\theta r\theta }={\frac {M}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )}^{-1},

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {t \ phi t \ phi} = - {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} \ sin ^ {2} \ theta, \ qquad \ qquad \; {\ displaystyle {R}} _ {r \ theta r \ theta} = {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} ^ {- 1},}

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {t \ phi t \ phi} = - {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} \ sin ^ {2} \ theta, \ qquad \ qquad \; {\ displaystyle {R}} _ {r \ theta r \ theta} = {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr)} ^ {- 1},}

{\displaystyle {R}}_{r\phi r\phi }={\frac {M}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2M}{r}}{\biggr )}^{-1}\sin ^{2}\theta ,\qquad \quad \;\;{\displaystyle {R}}_{\theta \phi \theta \phi }=-2Mr\sin ^{2}\theta .

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {r \ phi r \ phi} = {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr )} ^ {- 1} \ sin ^ {2} \ theta, \ qquad \ quad \; \; {\ displaystyle {R}} _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = - 2Mr \ sin ^ {2 } \ theta.}

{\ displaystyle {\ displaystyle {R}} _ {r \ phi r \ phi} = {\ frac {M} {r}} {\ biggl (} 1 - {\ frac {2M} {r}} {\ biggr )} ^ {- 1} \ sin ^ {2} \ theta, \ qquad \ quad \; \; {\ displaystyle {R}} _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = - 2Mr \ sin ^ {2 } \ theta.}

Spațiul-timp pentru surse nu prea dense

S-a spus că soluția Schwarzschild își asumă sfericitatea și staționaritatea masei sursă. Această situație nu este foarte realistă, deoarece practic toate corpurile cerești se rotesc, totuși spațiul-timp Schwarzschild este o primă aproximare excelentă (este posibil să se vadă ^[8] că câmpul gravitațional produs de orice sursă este confundat cu cel al lui Schwarzschild care stă departe suficient de departe de corp). Este adecvat să descriem spațiul-timp din jurul corpurilor cerești care nu sunt prea dense și permite explicarea comportamentului tuturor planetelor din jurul Soarelui și al sateliților din jurul planetelor; a permis estimarea unghiului corect de deviere a razelor de lumină în jurul unui corp ceresc și a întârzierii semnalelor care trec în apropierea soarelui ( efectul Shapiro ^[9] ^[10] ^[11] ). Prima verificare experimentală a bunătății teoriei a venit cu predicția corectă a anomaliei asupra unghiului de precesiune al lui Mercur . În acest sens, este posibil, cu puțină matematică, să se obțină acest rezultat fundamental, după cum urmează.

După cum sa menționat deja, spațiul-timp al lui Schwarzschild are două câmpuri vectoriale Killing, datorită independenței metricei față de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , și la unghiul φ. Notăm astfel de vectori, în notația Cartan , ca

\displaystyle {\mathbf {\chi } =\partial _{t}};

{\ displaystyle \ displaystyle {\ mathbf {\ chi} = \ partial _ {t}};}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ mathbf {\ chi} = \ partial _ {t}};}

\mathbf {\psi } =\partial _{\phi }.

{\ displaystyle \ mathbf {\ psi} = \ partial _ {\ phi}.}

{\ displaystyle \ mathbf {\ psi} = \ partial _ {\ phi}.}

Se știe ^[12] că dat un câmp de ucidere $\mathbf {\Psi }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Psi}}$ ${\ mathbf {\ Psi}}$ , cantitatea fizică stocată asociată cu aceasta este dată de $g_{\mu \nu }\Psi ^{\mu }u^{\nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ Psi ^ {\ mu} u ^ {\ nu}}$ $g _ {{\ mu \ nu}} \ Psi ^ {\ mu} u ^ {\ nu}$ Unde $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este viteza patru de-a lungul unei geodezii, parametrizată într-un mod afin de λ. Aici și în cele ce urmează indicii greci variază de la 0 la 3 și se folosește convenția lui Einstein privind indicii repetați;

În cazul lui Schwarzschild avem cele două cantități conservate:

g_{\mu \nu }u^{\mu }\,\chi ^{\nu }=g_{tt}u^{t}\chi ^{t}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {dt}{d\lambda }}\equiv E

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} \, \ chi ^ {\ nu} = g_ {tt} u ^ {t} \ chi ^ {t} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ frac {dt} {d \ lambda}} \ equiv E}

g _ {{\ mu \ nu}} u ^ {\ mu} \, \ chi ^ {\ nu} = g _ {{tt}} u ^ {t} \ chi ^ {t} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) {\ frac {dt} {d \ lambda}} \ equiv E

\displaystyle {}g_{\mu \nu }u^{\mu }\,\psi ^{\nu }=g_{\phi \phi }u^{\phi }\psi ^{\phi }=-r^{2}{\frac {d\phi }{d\lambda }}\equiv J

{\ displaystyle \ displaystyle {} g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} \, \ psi ^ {\ nu} = g _ {\ phi \ phi} u ^ {\ phi} \ psi ^ {\ phi} = -r ^ {2} {\ frac {d \ phi} {d \ lambda}} \ equiv J}

\ displaystyle {} g _ {{\ mu \ nu}} u ^ {\ mu} \, \ psi ^ {\ nu} = g _ {{\ phi \ phi}} u ^ {\ phi} \ psi ^ { \ phi} = - r ^ {2} {\ frac {d \ phi} {d \ lambda}} \ equiv J

și poate fi interpretat ca energie și moment unghiular de-a lungul geodeziei. De asemenea, observăm că, având în vedere simetria spațiului, o particulă a cărei orbită (adică proiecția spațială a geodeziei) a fost la un moment dat într-un plan, va continua să se deplaseze în același plan. Acest lucru este echivalent cu posibilitatea de a lua în considerare, pentru claritate și odată pentru totdeauna, o mișcare pe planul ecuatorial, fixând astfel

\displaystyle {}\theta ={\frac {\pi }{2}}\;\;,\;\;{\frac {d\theta }{d\lambda }}=0.

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \; \ ;, \; \; {\ frac {d \ theta} {d \ lambda}} = 0.}

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \; \ ;, \; \; {\ frac {d \ theta} {d \ lambda}} = 0.}

Putem spune ceva despre evoluția coordonatei radiale amintind relația valabilă întotdeauna pentru viteza patru de-a lungul unei geodezice:

\displaystyle {}g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=\kappa \ \mathrm {(costante)}

{\ displaystyle \ displaystyle {} g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = \ kappa \ \ mathrm {(constant)}}

\ displaystyle {} g _ {{\ mu \ nu}} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = \ kappa \ {\ mathrm {(constant)}}

unde constanta este 1 pentru geodezii de tip timp (particule materiale) și zero pentru geodezii de tip lumină (fotoni). Dezvoltând această ecuație luând în considerare componentele metricei Schwarzschild și cantitățile conservate, avem:

Orbita unei planete nu este o elipsă , ci o rozetă. Unghiul dintre razele vectoriale care indică două periele consecutive este unghiul de precesiune. Animația arată trei orbite consecutive. Notă: excentricitatea este exagerată în mod deliberat pentru a evidenția efectul și viteza nu este reprezentativă

\displaystyle {}-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\lambda }}\right)^{2}+{\frac {E^{2}}{1-{\frac {2M}{r}}}}-{\frac {J^{2}}{r^{2}}}=\kappa ,

{\ displaystyle \ displaystyle {} - {\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} \ left ({\ frac {dr} {d \ lambda}} \ right) ^ {2 } + {\ frac {E ^ {2}} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} - {\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} = \ kappa, }

{\ displaystyle \ displaystyle {} - {\ frac {1} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} \ left ({\ frac {dr} {d \ lambda}} \ right) ^ {2 } + {\ frac {E ^ {2}} {1 - {\ frac {2M} {r}}}} - {\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} = \ kappa, }

care poate fi scris prin ordonarea termenilor:

\displaystyle {}\left({\frac {dr}{d\lambda }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+\kappa \right)=E^{2}.

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ left ({\ frac {dr} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \ left ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + \ kappa \ right) = E ^ {2}.}

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ left ({\ frac {dr} {d \ lambda}} \ right) ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \ left ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + \ kappa \ right) = E ^ {2}.}

Rețineți că, urmând abordarea clasică pentru a căuta traiectorii în spațiu-timp, ecuația geodezică ar fi trebuit rezolvată:

\displaystyle {{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\rho }}{d\lambda }}=0}

{\ displaystyle \ displaystyle {{\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {d \ lambda ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ sigma \ rho} ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ sigma}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ rho}} {d \ lambda}} = 0}}

\ displaystyle {{\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {d \ lambda ^ {2}}} + \ Gamma _ {{\ sigma \ rho}} ^ {\ mu} {\ frac { dx ^ {\ sigma}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ rho}} {d \ lambda}} = 0}

pentru a ajunge la aceleași concluzii, dar cu un număr mai mare de calcule.

Prin combinarea ecuațiilor pentru $dr/d\lambda$ ${\ displaystyle dr / d \ lambda}$ $dr / d \ lambda$ Și $d\phi /d\lambda$ ${\ displaystyle d \ phi / d \ lambda}$ $d \ phi / d \ lambda$ obținem ecuația inversă pentru o orbită închisă

\displaystyle {}\phi (r)=\int ^{r}{\frac {J^{2}dr}{r^{2}\left(E^{2}-(1-{\frac {2M}{r}})({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+1)\right)^{1/2}}}.

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ phi (r) = \ int ^ {r} {\ frac {J ^ {2} dr} {r ^ {2} \ left (E ^ {2} - (1 - {\ frac {2M} {r}}) ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + 1) \ right) ^ {1/2}}}.}

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ phi (r) = \ int ^ {r} {\ frac {J ^ {2} dr} {r ^ {2} \ left (E ^ {2} - (1 - {\ frac {2M} {r}}) ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + 1) \ right) ^ {1/2}}}.}

Prin dezvoltarea seriei de integrare a $M/r$ ${\ displaystyle M / r}$ $Domnul$ presupus mic (ceea ce este legal pentru toate planetele sistemului solar ^[13] ), și cu puțină algebră este posibil să se calculeze precesiunea pe o revoluție la fel de dublă decât precesiunea dintre periheliu $r_{-}$ ${\ displaystyle r _ {-}}$ $r _ {-}$ și afeliu $r_{+}$ ${\ displaystyle r _ {+}}$ $r _ {+}$ (dată fiind simetria orbitei în raport cu axa majoră) ^[14] :

\Delta \phi _{orbita}=2\left|\int _{r_{-}}^{r_{+}}{\frac {J^{2}dr}{r^{2}\left(E^{2}-(1-{\frac {2M}{r}})({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+1)\right)^{1/2}}}\right|\sim {\frac {6\pi M}{L}}\mathrm {rad/rivol} ,

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {orbit} = 2 \ left | \ int _ {r _ {-}} ^ {r _ {+}} {\ frac {J ^ {2} dr} {r ^ {2 } \ left (E ^ {2} - (1 - {\ frac {2M} {r}}) ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + 1) \ right) ^ {1/2}}} \ right | \ sim {\ frac {6 \ pi M} {L}} \ mathrm {rad / revol},}

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {orbit} = 2 \ left | \ int _ {r _ {-}} ^ {r _ {+}} {\ frac {J ^ {2} dr} {r ^ {2 } \ left (E ^ {2} - (1 - {\ frac {2M} {r}}) ({\ frac {J ^ {2}} {r ^ {2}}} + 1) \ right) ^ {1/2}}} \ right | \ sim {\ frac {6 \ pi M} {L}} \ mathrm {rad / revol},}

Unde $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este jumătatea dreaptă a orbitei (vezi elipsa ). Prin inserarea datelor numerice obținem pentru contribuția la precesiunea lui Mercur de origine pur relativistă valoarea:

\displaystyle {}\Delta \phi =43{,}03\mathrm {\ secondi\ di\ arco/secolo} .

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ Delta \ phi = 43 {,} 03 \ mathrm {\ seconds \ of \ arc / century}.}

{\ displaystyle \ displaystyle {} \ Delta \ phi = 43 {,} 03 \ mathrm {\ seconds \ of \ arc / century}.}

Excelentul acord cu valoarea experimentală, măsurat din nou în anii 1940 și egal cu 43,11 secunde de arc / secol ^{[15] a} contribuit la conferirea greutății și credibilității teoriei einstaniene a gravitației.

Timp spațial pentru surse extrem de dense - găuri negre

S-a spus mai devreme că metrica Schwarzschild are două singularități, pentru $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ Și $r=2M$ ${\ displaystyle r = 2M}$ $r = 2M$ . Prezența singularității în originea coordonatelor nu este surprinzătoare, deoarece se găsește și în teoria newtoniană a gravitației.

Mai surprinzător, pe de altă parte, este cealaltă singularitate, dat fiind că în mod clasic nu există nicio urmă a acesteia; în special, ne putem întreba ce se întâmplă dacă sursa câmpului este un corp atât de dens, încât suprafața sa se află în sfera de rază 2M, astfel încât această distanță să fie accesibilă corpurilor externe (masive sau nu).

Pentru a ne face o idee, raza Schwarzschild pentru Soare este puțin sub 3 km ^[16] comparativ cu o rază „fizică” de aproape 700 000 km ^[17], prin urmare este ușor de înțeles cât sunt necesare densități foarte mari, deoarece raza este mai mică decât raza Schwarzschild și avem o gaură neagră. Pentru mai multe informații despre caracteristicile generale, consultați intrarea găurii negre .

S-a anticipat deja că această singularitate nu este intrinsecă spațiului-timp, ci datorită sistemului particular de coordonate utilizat (singularității coordonate).

Spațiu-timp deformat de o gaură neagră cu masă în creștere. La început este plat, mai târziu se formează o gaură neagră. Raza cercului inferior este 2M și reprezintă orizontul evenimentelor

Pentru a înțelege mai bine comportamentul spațiului-timp va fi, prin urmare, convenabil să schimbați sistemul de coordonate (operațiunea este întotdeauna permisă, deoarece identitățile tensorului sunt satisfăcute în fiecare sistem de referință)

Coordonatele primite ale Eddington-Finkelstein

Același subiect în detaliu: coordonatele Eddington-Finkelstein .

Este practic să alegeți coordonatele pentru care geodezica radială de tip lumină poate fi reprezentată ca linii înclinate la 45 ° într-o diagramă spațiu-timp. Pentru fotonul pe care îl avem $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ $ds ^ {2} = 0$ deci ecuația pentru geodezie radială este:

dt^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{2}}}dr^{2}\equiv (dr*)^{2},

{\ displaystyle dt ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) ^ {2}}} dr ^ {2} \ equiv (dr * ) ^ {2},}

{\ displaystyle dt ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) ^ {2}}} dr ^ {2} \ equiv (dr * ) ^ {2},}

unde am introdus coordonata radială a lui Regge - Wheeler ^[18] $r*$ ${\ displaystyle r *}$ ${\ displaystyle r *}$ :

r*=r+2Mln\left({\frac {r}{2M}}-1\right),\qquad {\text{per }}r>2M

{\ displaystyle r * = r + 2Mln \ left ({\ frac {r} {2M}} - 1 \ right), \ qquad {\ text {per}} r> 2M}

{\ displaystyle r * = r + 2Mln \ left ({\ frac {r} {2M}} - 1 \ right), \ qquad {\ text {per}} r> 2M}

folosind această coordonată radială se scrie metrica:

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left(dt^{2}-(dr*)^{2}\right)-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \ left (dt ^ {2} - (dr *) ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) \ left (dt ^ {2} - (dr *) ^ {2} \ right) -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

În cele din urmă, introducerea coordonatei nule de intrare Eddington - Finkelstein

v\equiv t+r*,\qquad -\infty <v<+\infty .

{\ displaystyle v \ equiv t + r *, \ qquad - \ infty <v <+ \ infty.}

{\ displaystyle v \ equiv t + r *, \ qquad - \ infty <v <+ \ infty.}

Rețineți că $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este inițial definit doar pentru $r>2M$ ${\ displaystyle r> 2M}$ $r> 2M$ dar poate fi extins analitic pentru toate valorile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Putem scrie metrica exprimată în coordonatele care intră Eddington ^[19] -Finkelstein ^[20] $(v,r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (v, r, \ theta, \ phi)}$ $(v, r, \ theta, \ phi)$ :

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-2dvdr-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -2dvdr-r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -2dvdr-r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

Datorită termenului mixt, este imediat să vedem în ce măsură metrica este regulată $r=2M$ ${\ displaystyle r = 2M}$ $r = 2M$ , deci singularitatea Schwarzschild este de fapt de tipul coordonat.

Pe lângă demonstrarea non-singularității fizice a orizontului evenimentelor, metrica Eddington-Finkelstein este foarte potrivită pentru a înțelege de ce nimic nu se poate îndepărta de câmpul gravitațional al sursei odată ce orizontul evenimentului a trecut. Să considerăm o geodezie radială pentru simplitate, deci $d\theta =d\phi =0$ ${\ displaystyle d \ theta = d \ phi = 0}$ $d \ theta = d \ phi = 0$ ; puteți rearanja termenii metricii astfel:

2dv\,dr=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-ds^{2}.

{\ displaystyle 2dv \, dr = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -ds ^ {2}.}

{\ displaystyle 2dv \, dr = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -ds ^ {2}.}

Tratăm separat cazul unei particule masive și a unui foton.

Pentru particula masivă care se mișcă pe o geodezică de tip timp, cu convenția noastră privind semnele, avem $ds^{2}>0$ ${\ displaystyle ds ^ {2}> 0}$ $ds ^ {2}> 0$ , în plus, pentru punctele din orizontul evenimentelor coeficientul de $dv^{2}$ ${\ displaystyle dv ^ {2}}$ $dv ^ {2}$ este negativ. Rezumând:

2dv\,dr=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-ds^{2}<0.

{\ displaystyle 2dv \, dr = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -ds ^ {2} <0.}

{\ displaystyle 2dv \, dr = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) dv ^ {2} -ds ^ {2} <0.}

Semnul $d v$ ${\ displaystyle dv}$ $dv$ nu poate fi arbitrar, deoarece dacă luăm în considerare mișcarea „din trecut în viitor”, avem $dv>0$ ${\ displaystyle dv> 0}$ $dv> 0$ , așa cum v a fost definit ca $v\equiv t+r*$ ${\ displaystyle v \ equiv t + r *}$ $v \ echiv t + r *$ , deci dacă timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ crește și „timpul” $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ trebuie să crească. Pentru a face produsul negativ $2dv\;dr$ ${\ displaystyle 2dv \; dr}$ $2dv \; dr$ prin urmare trebuie să aveți

dr<0,\qquad \quad {\text{per }}r<2M,

{\ displaystyle dr <0, \ qquad \ quad {\ text {per}} r <2M,}

{\ displaystyle dr <0, \ qquad \ quad {\ text {per}} r <2M,}

ceea ce înseamnă că distanța particulei de la centru de la singularitatea centrală nu poate scădea decât odată cu trecerea timpului: particula nu poate evita în niciun fel coliziunea cu masa centrală. Dacă am fi luat în considerare un foton, în locul unei particule, singura diferență substanțială ar fi fost poziția $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ $ds ^ {2} = 0$ , ajungând la aceleași concluzii. Deci, nici măcar undele electromagnetice nu se pot îndepărta de câmpul gravitațional al sursei odată ce au trecut orizontul evenimentelor.

Această caracteristică justifică pe deplin numele atribuit acestor corpuri cerești: găuri negre , acest obiect nu va permite luminii să părăsească câmpul gravitațional și va fi complet invizibil pentru un observator extern.

O modalitate posibilă de a „vedea” o gaură neagră: gaura neagră formată într-un sistem binar, datorită câmpului gravitațional intens, îndepărtează materia de steaua parteneră, formând un disc caracteristic de acreție

Din acest motiv, o observare directă este imposibilă, iar singurele posibilități de detectare a prezenței unei găuri negre sunt legate de efectele câmpului gravitațional intens pe care le are asupra corpurilor cerești care sunt posibil aproape de acesta. A se vedea, de exemplu, imaginea din lateral care reprezintă sistemul stelar binar GRO J1655-40 . Una dintre componente ar trebui să fie o gaură neagră: câmpul său gravitațional este atât de intens încât îndepărtează materialul straturilor exterioare de pe partener (în prim plan), formând un disc caracteristic de acumulare (disc albastru în fundal).

Coordonatele de ieșire Eddington-Finkelstein

Rețineți cum este posibil, pornind de la metrică în coordonate sferice, să introduceți în loc de coordonate $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , văzută mai sus, coordonata de ieșire a lui Eddington-Finkelsteins $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , definit ca:

\displaystyle {}u\equiv t-r*\qquad -\infty <u<\infty

{\ displaystyle \ displaystyle {} u \ equiv tr * \ qquad - \ infty <u <\ infty}

\ displaystyle {} u \ equiv t-r * \ qquad - \ infty <u <\ infty

de asemenea, inițial definit în afara orizontului evenimentelor, dar extensibil din punct de vedere analitic. În coordonate $(u,r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (u, r, \ theta, \ phi)}$ $(u, r, \ theta, \ phi)$ metrica este scrisă:

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)du^{2}+2du\,dr-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) du ^ {2} + 2du \, dr-r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) du ^ {2} + 2du \, dr-r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin \ theta ^ {2} d \ phi ^ {2}.}

În regiunea din cadrul orizontului evenimentelor, această valoare descrie un comportament exact opus celui observat anterior. De fapt, este ușor de observat, urmând aceeași procedură, că, în acest caz, distanța unei particule (sau a unui foton) de singularitatea centrală poate crește doar în timp.

Această soluție specială primește numele de soluție de gaură albă . Prezența (la nivel matematic) a soluției găurii albe era previzibilă, deoarece ecuațiile lui Einstein sunt invariante în ceea ce privește reflexia temporală; cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de soluția găurii negre, care vede realizarea sa fizică ca fiind posibilă după prăbușirea stelară a unei stele destul de masive , fără alte cereri speciale, formarea unei găuri albe oferă condiții inițiale extrem de improbabile și este practic exclus din Conjectura Weyl , deci nu au fost luate în considerare în mod serios de comunitatea științifică, cu excepția unei perioade scurte, ^[21] rămânând doar obiectul speculațiilor de ficțiune științifică.

Coordonatele Kruskal

S-a spus că coordonatele Eddington-Finkelstein de ieșire și de intrare descriu comportamente diferite în cadrul orizontului evenimentelor. È possibile introdurre un altro sistema di coordinate, quelle di Kruskal ^[22] - Szekeres ^[23] , per avere una visione unitaria delle differenti possibili configurazioni per uno spazio-tempo di Schwarzschild. In queste coordinate la metrica si scrive (con segnatura +2 per ragioni di comodità):

-{\frac {32\,M^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{2M}}}dUdV+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2},

-{\frac {32\,M^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{2M}}}dUdV+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2},

-{\frac {32\,M^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{2M}}}dUdV+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin \theta ^{2}d\phi ^{2},

ove le coordinate $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ sono definite al di fuori dell'orizzonte degli eventi, e sono legate alle coordinate entranti e uscenti dalle seguenti relazioni:

U\equiv -e^{\frac {-u}{4M}}

U\equiv -e^{\frac {-u}{4M}}

U\equiv -e^{\frac {-u}{4M}}

V\equiv e^{\frac {v}{4M}}.

V\equiv e^{\frac {v}{4M}}.

V\equiv e^{\frac {v}{4M}}.

La vecchia coordinata radiale $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ va intesa adesso come funzione di $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ , e definita implicitamente dalla relazione

UV=-e^{\frac {r*}{2M}}=\left(1-{\frac {r}{2M}}\right)e^{\frac {r}{2M}}.

UV=-e^{\frac {r*}{2M}}=\left(1-{\frac {r}{2M}}\right)e^{\frac {r}{2M}}.

UV=-e^{\frac {r*}{2M}}=\left(1-{\frac {r}{2M}}\right)e^{\frac {r}{2M}}.

Diagramma di Kruskal per uno spazio di Schwarzschild

La metrica di Kruskal è inizialmente definita per $U<0$ ${\displaystyle U<0}$ $U<0$ e $V>0$ ${\displaystyle V>0}$ $V>0$ , ma può essere estesa analiticamente per ogni valore delle due variabili; essa non presenta alcun comportamento particolare per $r=2M$ ${\displaystyle r=2M}$ $r=2M$ .

In queste coordinate la singolarità centrale si ha per

UV=1,

{\displaystyle UV=1,}

UV=1,

per cui essa non sarà un punto , ma due archi di iperbole. L'orizzonte degli eventi è invece dato da:

UV=0,

{\displaystyle UV=0,}

UV=0,

cioè lungo gli assi $U, V$ ${\displaystyle U,V}$ $U,V$ .

Si noti che $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ sono coordinate radiali nulle, per cui i coni di luce avranno i lati lungo queste direzioni. Nell'immagine a lato è disegnato un tipico diagramma di Kruskal, gli assi $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ sono inclinati, in modo che nel grafico i coni di luce appaiano coi lati inclinati a 45°, e si considerano fissati i valori di $\theta$ $\theta$ $\theta$ e $\phi$ $\phi$ $\phi$ . Lo spazio tempo risulta in tal modo diviso in quattro regioni, corrispondenti ai quattro quadranti, e indicate nel disegno con numeri romani.

Le regioni corrispondenti alla soluzione di buco nero sono I (spazio-tempo fuori dall'orizzonte degli eventi) e II (interno dell'orizzonte), mentre le regioni III e IV corrispondono alla soluzione di buco bianco. È possibile vedere ^[24] come i moti a distanza costante dalla singolarità siano archi di iperbole nella regione I (rappresentati da punti dorati). La linea di punti blu rappresenta il moto di una particella materiale che oltrepassa l'orizzonte degli eventi e va a collidere con la singolarità centrale.

Con l'aiuto del grafico a lato, si vede facilmente del perché qualunque segnale fisico non possa, una volta superato l'orizzonte degli eventi, tornare nella regione I, o comunicare con essa. Considerando ad esempio il moto della massa (punti blu) ci si concentri nel punto P all'interno dell'orizzonte degli eventi, indicato in figura. Dal punto P essa potrà proseguire il suo moto solo in direzioni che sono all'interno del suo cono di luce futuro, andando quindi prima o poi a collidere contro l'arco di iperbole corrispondente a $r=0$ ${\displaystyle r=0}$ $r=0$ nella regione II. Se la massa fosse luminosa, essa potrebbe dal punto P , inviare segnali luminosi lungo i lati del suo cono: anch'essi finirebbero contro la singolarità centrale, e all'esterno dell'orizzonte degli eventi non si vedrebbe niente. Per quanto detto la regione I non può seguire causalmente la regione II.

Massima estensione analitica

Ricapitolando un po', si è visto come nella metrica di Schwarzschild, in coordinate sferiche, si incontrino "problemi" per $r=2M$ ${\displaystyle r=2M}$ $r=2M$ . Le geodetiche (ad esempio radiali entranti) incontreranno l'orizzonte degli eventi per un valore finito del parametro affine ( tempo proprio per particelle materiali). Tali geodetiche potranno essere prolungate, all'interno dell'orizzonte degli eventi, eventualmente con un opportuno cambio di coordinate (passando alle coordinate di Eddington-Finkelstein entranti, ad esempio), e andranno a interrompersi nella singolarità centrale ( $r=0$ ${\displaystyle r=0}$ $r=0$ ). È possibile definire come singolare uno spazio-tempo per cui esistono geodetiche che non possono essere prolungate per valori arbitrari del parametro affine, o, detto altrimenti, che si interrompono da qualche parte.

Procedendo in tal modo per tutte le geodetiche dello spazio, cambiando coordinate se necessario, è possibile dimostrare ^[8] che la metrica di Kruskal realizza la massima estensione analitica dello spazio-tempo di Schwarzschild, intendendo con ciò che tutte le geodetiche possono essere prolungate per valori arbitrari del parametro affine o terminano nella (provengono dalla, nel caso di buco bianco) singolarità centrale.

Soluzione interna

Schema del sistema di riferimento utilizzato

La soluzione di Schwarzschild si estende anche all'interno del corpo massiccio, che per ipotesi è sferico e di raggio $R_{stella}$ $R_{stella}$ $R_{{stella}}$ dove vale l'equazione di Einstein "completa":

G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab},

G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab},

G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab},

dove $G_{ab}$ $G_{ab}$ $G_{{ab}}$ è il tensore di Einstein , $R_{ab}$ $R_{ab}$ $R_{{ab}}$ e $R$ ${\displaystyle R}$ $R$ sono rispettivamente il tensore di Ricci e lo scalare di curvatura ottenuti a partire dal tensore di Riemann e $T_{ab}$ $T_{ab}$ $T_{{ab}}$ è il tensore energia-impulso .

La metrica, date le ipotesi iniziali di stazionarietà e simmetria sferica è del tipo ^[25] .:

ds^{2}=-F(r)dt^{2}+A(r)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2},

ds^{2}=-F(r)dt^{2}+A(r)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2},

ds^{2}=-F(r)dt^{2}+A(r)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2},

dove $F(r)$ ${\displaystyle F(r)}$ $F(r)$ e $A(r)$ ${\displaystyle A(r)}$ $A(r)$ sono due funzioni della sola variabile $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ .

È possibile riscrivere l'equazione di Einstein per ottenere la seguente equazione equivalente:

R_{ab}=8\pi \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right),

R_{ab}=8\pi \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right),

R_{ab}=8\pi \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right),

dove $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ è la traccia di $T_{ab}$ $T_{ab}$ $T_{{ab}}$ che si ottiene calcolando ^[26] :

T=g^{ab}T_{ab}=T_{a}^{a}.

T=g^{ab}T_{ab}=T_{a}^{a}.

T=g^{ab}T_{ab}=T_{a}^{a}.

Supponendo che l'interno della stella sia un fluido perfetto (che soddisfa l' equazione di Eulero ), con densità $\rho$ $\rho$ $\rho$ e pressione $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ si ha che il tensore energia-impulso è dato da:

T_{ab}=\rho u_{a}u_{b}+P(g_{ab}+u_{a}u_{b}),

T_{ab}=\rho u_{a}u_{b}+P(g_{ab}+u_{a}u_{b}),

T_{ab}=\rho u_{a}u_{b}+P(g_{ab}+u_{a}u_{b}),

dove $u_{a}=\left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)$ $u_{a}=\left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)$ $u_{a}=\left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)$ sono vettori tali che $u_{a}u^{a}=-1$ $u_{a}u^{a}=-1$ $u_{{a}}u^{{a}}=-1$ . ^[27]

Si ricava che $T=3P-\rho$ $T=3P-\rho$ $T=3P-\rho$ e quindi si ottengono le seguenti equazioni in componenti $(t,r,\theta ,\phi )$ $(t,r,\theta ,\phi )$ $(t,r,\theta ,\phi )$ :

\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle R_{tt}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho +3P)F\\\\\displaystyle R_{rr}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)A\\\\\displaystyle R_{\theta \theta }=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)r^{2}\\\\\displaystyle R_{\phi \phi }=R_{\theta \theta }\sin ^{2}{\theta }\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle R_{tt}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho +3P)F\\\\\displaystyle R_{rr}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)A\\\\\displaystyle R_{\theta \theta }=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)r^{2}\\\\\displaystyle R_{\phi \phi }=R_{\theta \theta }\sin ^{2}{\theta }\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle R_{{tt}}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho +3P)F\\\\\displaystyle R_{{rr}}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)A\\\\\displaystyle R_{{\theta \theta }}=8\pi {\frac {1}{2}}(\rho -P)r^{2}\\\\\displaystyle R_{{\phi \phi }}=R_{{\theta \theta }}\sin ^{2}{\theta }\end{array}}\right.

si può calcolare la somma ${\frac {R_{tt}}{F}}+{\frac {R_{rr}}{A}}+{\frac {2R_{\theta \theta }}{r^{2}}}$ ${\frac {R_{tt}}{F}}+{\frac {R_{rr}}{A}}+{\frac {2R_{\theta \theta }}{r^{2}}}$ ${\frac {R_{{tt}}}{F}}+{\frac {R_{{rr}}}{A}}+{\frac {2R_{{\theta \theta }}}{r^{2}}}$ , in modo da eliminare la pressione $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ al secondo membro, ottenendo:

{\dfrac {2}{r}}{\dfrac {A'}{A^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=2\cdot 8\pi \rho ,

{\dfrac {2}{r}}{\dfrac {A'}{A^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=2\cdot 8\pi \rho ,

{\dfrac {2}{r}}{\dfrac {A'}{A^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=2\cdot 8\pi \rho ,

da cui si ricava:

r{\dfrac {A'}{A^{2}}}+\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \rho r^{2}

r{\dfrac {A'}{A^{2}}}+\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \rho r^{2}

r{\dfrac {A'}{A^{2}}}+\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \rho r^{2}

si può riscrivere il primo membro come:

{\dfrac {d}{dr}}\left[r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)\right].

{\dfrac {d}{dr}}\left[r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)\right].

{\dfrac {d}{dr}}\left[r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)\right].

Quindi integrando entrambi i membri rispetto a $d r$ ${\displaystyle dr}$ $dr$ tra e $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ si ha:

r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}.

r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}.

r\left(1-{\dfrac {1}{A}}\right)=8\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}.

Il termine a secondo membro può essere chiamato:

2\cdot \left[4\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}\right]=2m(r),

2\cdot \left[4\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}\right]=2m(r),

2\cdot \left[4\pi \int _{0}^{r}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}\right]=2m(r),

da cui si ricava infine:

A(r)=\left(1-{\dfrac {2m(r)}{r}}\right)^{-1}.

A(r)=\left(1-{\dfrac {2m(r)}{r}}\right)^{-1}.

A(r)=\left(1-{\dfrac {2m(r)}{r}}\right)^{-1}.

La funzione $m(r)$ ${\displaystyle m(r)}$ $m(r)$ si deve raccordare con la soluzione di Schwarzschild nel vuoto (ovvero per $r>R$ ${\displaystyle r>R}$ $r>R$ ) quando $r=R_{stella}$ $r=R_{stella}$ $r=R_{{stella}}$ , quindi:

m(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}=M,

m(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}=M,

m(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}\rho ({\tilde {r}}){\tilde {r}}^{2}d{\tilde {r}}=M,

dove $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ è la massa della stella (che compare anche nella metrica di Schawrzschild nel vuoto).

Se integrata in un intervallo $(0,r^{*})$ $(0,r^{*})$ $(0,r^{{*}})$ con $r^{*}<R_{stella}$ $r^{*}<R_{stella}$ $r^{{*}}<R_{{stella}}$ non rappresenta la massa della porzione di stella considerata infatti la massa dovrebbe essere data dall'integrale:

{\tilde {m}}(r)=\int _{V}d^{(3)}V\rho =\int _{V}{\sqrt {-g}}|_{3D}drd\theta d\phi \rho (r)=\int _{V}{\tilde {r}}^{2}{\sqrt {A({\tilde {r}})}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}}d\theta d\phi =

{\tilde {m}}(r)=\int _{V}d^{(3)}V\rho =\int _{V}{\sqrt {-g}}|_{3D}drd\theta d\phi \rho (r)=\int _{V}{\tilde {r}}^{2}{\sqrt {A({\tilde {r}})}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}}d\theta d\phi =

{\tilde {m}}(r)=\int _{{V}}d^{{(3)}}V\rho =\int _{{V}}{\sqrt {-g}}|_{{3D}}drd\theta d\phi \rho (r)=\int _{{V}}{\tilde {r}}^{2}{\sqrt {A({\tilde {r}})}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}}d\theta d\phi =

=4\pi \int _{0}^{r}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}},

=4\pi \int _{0}^{r}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}},

=4\pi \int _{0}^{r}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\rho ({\tilde {r}})d{\tilde {r}},

dove $d^{(3)}V$ $d^{(3)}V$ $d^{{(3)}}V$ indica l'elemento di volume 3-dimensionale, ${\sqrt {-g}}|_{3D}$ ${\sqrt {-g}}|_{3D}$ ${\sqrt {-g}}|_{{3D}}$ la restrizione a tre dimensioni del determinante della metrica, per cui vale la relazione $d^{(3)}V={\sqrt {-g}}|_{3D}r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$ $d^{(3)}V={\sqrt {-g}}|_{3D}r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$ $d^{{(3)}}V={\sqrt {-g}}|_{{3D}}r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$ . Nell'ultimo passaggio il fattore $4\pi$ $4\pi$ $4\pi$ deriva dall'integrale sulla parte angolare.

Dato che il fattore nell'ultimo integrale vale $\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}>1$ $\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}>1$ $\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{{\tilde {r}}}}\right]^{{-{\frac {1}{2}}}}>1$ si ricava che ${\tilde {m}}(r)>m(r)$ ${\tilde {m}}(r)>m(r)$ ${\tilde {m}}(r)>m(r)$ , inoltre dato che $A(r)>0$ ${\displaystyle A(r)>0}$ $A(r)>0$ abbiamo che $r>2m(r)$ ${\displaystyle r>2m(r)}$ $r>2m(r)$ . Infine chiamiamo:

{\tilde {m}}(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}d{\tilde {r}}=M_{p},

{\tilde {m}}(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}d{\tilde {r}}=M_{p},

{\tilde {m}}(R_{stella})=4\pi \int _{0}^{R_{stella}}{\tilde {r}}^{2}\left[1-{\dfrac {2m({\tilde {r}})}{\tilde {r}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}d{\tilde {r}}=M_{p},

dove $M_{p}$ $M_{p}$ $M_{{p}}$ è la massa propria e, per la diseguaglianza mostrata prima vale $M_{p}>M$ $M_{p}>M$ $M_{{p}}>M$ .

Per ottenere la funzione $F(r)$ ${\displaystyle F(r)}$ $F(r)$ possiamo sfruttare la legge di conservazione su $T_{ab}$ $T_{ab}$ $T_{{ab}}$ espressa come $\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }$ $\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }$ $\nabla _{{\mu }}T^{{\mu \nu }}$ e ricordando la forma di $T_{ab}$ $T_{ab}$ $T_{{ab}}$ si ha:

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=\nabla _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }-\nabla _{\mu }(Pg^{\mu \nu })={\dfrac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }]+(\rho +P)\Gamma _{\sigma \mu }^{\nu }u^{\mu }u^{\sigma }-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }P=0.

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=\nabla _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }-\nabla _{\mu }(Pg^{\mu \nu })={\dfrac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }]+(\rho +P)\Gamma _{\sigma \mu }^{\nu }u^{\mu }u^{\sigma }-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }P=0.

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=\nabla _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }-\nabla _{\mu }(Pg^{\mu \nu })={\dfrac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }[(\rho +P)u^{\mu }u^{\nu }]+(\rho +P)\Gamma _{\sigma \mu }^{\nu }u^{\mu }u^{\sigma }-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }P=0.

Si arriva infine a ottenere l'equazione

(\rho +P){\frac {1}{2F}}\partial _{\mu }F+\partial _{\mu }P=0,

(\rho +P){\frac {1}{2F}}\partial _{\mu }F+\partial _{\mu }P=0,

(\rho +P){\frac {1}{2F}}\partial _{\mu }F+\partial _{\mu }P=0,

che per le componenti $\mu =t,\theta ,\phi$ $\mu =t,\theta ,\phi$ $\mu =t,\theta ,\phi$ diventa $\partial _{\mu }P=0$ $\partial _{\mu }P=0$ $\partial _{{\mu }}P=0$ , indicando che la pressione non dipende da $t,\theta ,\phi$ $t,\theta ,\phi$ $t,\theta ,\phi$ e per la componente $\mu =r$ $\mu =r$ $\mu =r$ diventa

{\dfrac {F'}{F}}=-{\dfrac {2P'}{\rho +P}}.

{\dfrac {F'}{F}}=-{\dfrac {2P'}{\rho +P}}.

{\dfrac {F'}{F}}=-{\dfrac {2P'}{\rho +P}}.

Note

^ Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.
^ Albert Einstein, Zur allgemeinen Relativitatstheorie , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1915) 778, Addendum-ibid. (1915) 799.
^ George David Birkhoff, Relativity and Modern Physics , Cambrigdge 1923, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297
^ In prima approssimazione, trascurando l'attrazione fra pianeti
^ In breve ciò vuol dire che gli osservatori di una regione non possono in alcun modo vedere quello avviene nell'altra. Si veda la bibliografia, con particolare riferimento a SW Hawking
^ Se si tiene conto di effetti quantistici, questa affermazione non è del tutto vera, si veda radiazione di Hawking .
^ A. Urso, Considerazioni sul campo gravitazionale statico a simmetria centrale. ( PDF ), su sites.google.com .
^ ^a ^b si veda CW Mistern, KS Torn, JA Wheeler, in bibliografia
^ II Shapiro, Phys.Rev.Let. 13 789 (1964)
^ II Shapiro, GH Pettengill, ME Ash, ML Stone, WB Smith, RP Ingalls e RA Brockelman, Phys.Rev.Let. 20 1265 (1968)
^ II Shapiro, GH Pettengill, ME Ash,DB Campbell, RB Dyce, WB Smith, RP Ingalls e RF Jurgens, Phys.Rev.Let. 26 1132 (1971)
^ Si veda ad es. https://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707012v1.pdf
^ Per Mercurio tale numero vale circa 3 × 10 ⁻⁸ , per gli altri pianeti è ancora più piccolo. Si veda ad es. HC Ohanian, in bibliografia
^ Per questo calcolo si veda ad es. S. Weinberg, in bibliografia
^ GM Clemence, Astron. Papers Am. Ephemeris, 11, part 1 (1943); Rev. Mod. Phys., 19, 361 (1947)
^ Raggio di Schwarzschild
^ Sole
^ T.Regge, JA Wheeler, "Stability of a Schwarzschild singularity", Phys. Rev. 108 , 1063 (1957)
^ ASEddington, The mathematical theory of relativity ,Cambridge University Press (1922)
^ D. Finkelstein, "Past-future asymmetry of the gravitational field of a point particle", Phys. Rev 110 , 965 (1958)
^ È possibile vedere sui siti delle più prestigiose riviste di fisica, come il Physical Review , che gli articoli sui buchi bianchi sono molto pochi, e si concentrano negli anni novanta
^ MD Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 - 1745 (1960)
^ G. Szekeres, Publ. Math. Debrecen 7, 285, 1960
^ per approfondire si vedano ad es. S. Bergia e F. Alessandro, o R. D'Inverno, in bibliografia.
^ In questa sezione si usa la segnatura (-, +, +, +) per la metrica.
^ Nel seguito si farà uso della convenzione di Einstein nella particolare versione della notazione astratta degli indici , quindi indici ripetuti in posizione covariante e controvariante si intendono sommati.
^ Data la segnatura utilizzata i vettori di tipo tempo (o time-like ) hanno norma negativa.

Bibliografia ragionata

Libri per cominciare, che danno per scontata solo una buona preparazione fisico-matematica:

S. Bergia, APFranco, Le strutture dello spazio-tempo , Clueb, 2001 - Molto adatto per cominciare a prendere confidenza con la relatività
R. d'Inverno, Introducing Einstein's relativity , Oxford University press, 2006 - Da evitare la traduzione italiana, edita da Clueb, stracolma di missprint

Libri di approfondimento, per cui una preparazione è auspicabile:

S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity , John Wiley and sons, 1972 - Trattazione prevalentemente algebrica, trascurata la visione astratta dei tensori, più usata oggi. Rimane ottimo
HC Ohanian, Gravitation and space time , WW Norton and Company, 1976 - successivamente rivisto a quattro mani con R. Ruffini, esiste una versione italiana edita da Zanichelli
RM Wald, General relativity , University Of Chicago Press, 1984 - Ottimo libro, completo, e in cui è usata la notazione tensoriale astratta

Libri altamente tecnici, richiedono un background elevato:

CW Misner, KS Torn, JA Wheeler, Gravitation , WH Freeman and Company, 1972 - Il libro di riferimento assoluto. Più di 1200 pagine, esplora in maniera esaustiva ogni aspetto della teoria della relatività, della formazione stellare, della cosmologia...
Stephen Hawking e George Ellis, The large scale structure of the space-time , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1973 - Ottima trattazione degli aspetti topologici della gravitazione
H. Stephani, D. Kramer, M. MacCallum, e C. Hoenselaers, Exact solutions of Einstein's field equations , Cambridge University Press, 2002 - Raccoglie tutte le soluzioni esatte note per le equazioni di Einstein
S. Chandrasekhar, Mathematical Theory of Black Holes , Oxford University Press, 1983 - Libro di riferimento per uno studio completo sui buchi neri.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) ( PDF ) Articolo di PK Townsend sui buchi neri. Estremamente completo, richiede un livello molto alto.

Portale Relatività : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di relatività

[1] Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.

[2] Albert Einstein, Zur allgemeinen Relativitatstheorie , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1915) 778, Addendum-ibid. (1915) 799.

[3] George David Birkhoff, Relativity and Modern Physics , Cambrigdge 1923, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297

[4] In prima approssimazione, trascurando l'attrazione fra pianeti

[5] In breve ciò vuol dire che gli osservatori di una regione non possono in alcun modo vedere quello avviene nell'altra. Si veda la bibliografia, con particolare riferimento a SW Hawking

[6] Se si tiene conto di effetti quantistici, questa affermazione non è del tutto vera, si veda radiazione di Hawking .

[7] A. Urso, Considerazioni sul campo gravitazionale statico a simmetria centrale. ( PDF ), su sites.google.com .

[gravitation-8] si veda CW Mistern, KS Torn, JA Wheeler, in bibliografia

[9] II Shapiro, Phys.Rev.Let. 13 789 (1964)

[10] II Shapiro, GH Pettengill, ME Ash, ML Stone, WB Smith, RP Ingalls e RA Brockelman, Phys.Rev.Let. 20 1265 (1968)

[11] II Shapiro, GH Pettengill, ME Ash,DB Campbell, RB Dyce, WB Smith, RP Ingalls e RF Jurgens, Phys.Rev.Let. 26 1132 (1971)

[12] Si veda ad es. https://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707012v1.pdf

[13] Per Mercurio tale numero vale circa 3 × 10 ⁻⁸ , per gli altri pianeti è ancora più piccolo. Si veda ad es. HC Ohanian, in bibliografia

[14] Per questo calcolo si veda ad es. S. Weinberg, in bibliografia

[15] GM Clemence, Astron. Papers Am. Ephemeris, 11, part 1 (1943); Rev. Mod. Phys., 19, 361 (1947)

[16] Raggio di Schwarzschild

[17] Sole

[18] T.Regge, JA Wheeler, "Stability of a Schwarzschild singularity", Phys. Rev. 108 , 1063 (1957)

[19] ASEddington, The mathematical theory of relativity ,Cambridge University Press (1922)

[20] D. Finkelstein, "Past-future asymmetry of the gravitational field of a point particle", Phys. Rev 110 , 965 (1958)

[21] È possibile vedere sui siti delle più prestigiose riviste di fisica, come il Physical Review , che gli articoli sui buchi bianchi sono molto pochi, e si concentrano negli anni novanta

[22] MD Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 - 1745 (1960)

[23] G. Szekeres, Publ. Math. Debrecen 7, 285, 1960

[24] r approfondire si vedano ad es. S. Bergia e F. Alessandro, o R. D'Inverno, in bibliografia.

[25] In questa sezione si usa la segnatura (-, +, +, +) per la metrica.

[26] Nel seguito si farà uso della convenzione di Einstein nella particolare versione della notazione astratta degli indici , quindi indici ripetuti in posizione covariante e controvariante si intendono sommati.

[27] Data la segnatura utilizzata i vettori di tipo tempo (o time-like ) hanno norma negativa.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15] a

[16]

[17],

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]