Spectru (matematică)

În matematică , în special în domeniul analizei funcționale și al teoriei spectrale , spectrul unei transformări liniare între spațiile vectoriale este generalizarea conceptului unui set de valori proprii pentru matrice .

Conceptul de spectru este de obicei introdus în algebră liniară în contextul transformărilor liniare (mărginite) între spații vectoriale de dimensiune finită și este extins prin analiză funcțională la cazul operatorilor liniari mărginite și chiar nelimitate în spații vectoriale infinite. Operatorii fără restricții trebuie deseori să fie închise .

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un operator liniar mărginit definit pe un spațiu Banach $\mathbb {X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {X}}$ ${\ mathbb {X}}$ pe teren $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ , si cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ indicați funcția de identitate pe $\mathbb {X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {X}}$ ${\ mathbb {X}}$ , spectrul de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este setul de numere $\lambda \in \mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {K}}$ astfel pentru care $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu are un invers care este un operator liniar mărginit. De sine $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o valoare proprie a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , asa de $T-\lambda I$ ${\ displaystyle T- \ lambda I}$ ${\ displaystyle T- \ lambda I}$ nu este unu-la-unu funcție și , prin urmare , inversa ei $(T-\lambda I)^{-1}$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}}$ nu este definit. Cu toate acestea, operatorul $T-\lambda I$ ${\ displaystyle T- \ lambda I}$ $T- \ lambda I$ cu toate acestea, este posibil să nu aibă un operator invers: prin urmare, spectrul unui operator conține toate valorile sale proprii, dar nu se limitează la ele.

Se poate arăta că fiecare operator liniar mărginit pe un spațiu Banach complex are un spectru ne-gol. Mai mult, operatorii de pe spații dimensionale infinite nu pot avea valori proprii, de exemplu pe spațiul Hilbert ℓ ² operatorul de deplasare unilaterală $(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ mapsto (0, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ mapsto (0, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}$ nu are valori proprii.

Spectrul operatorilor limitați

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un operator liniar limitat definit pe un complex spațial Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Este definit ca setul de rezolvare a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ întregul $\rho (T)$ ${\ displaystyle \ rho (T)}$ $\ rho (T)$ de numere complexe $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel pentru care operatorul $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ este inversabil, adică are un invers care este un operator liniar mărginit.

Este definit ca rezolvarea lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ functia:

R_{\lambda }(T)=(\lambda I-T)^{-1}\

{\ displaystyle R _ {\ lambda} (T) = (\ lambda IT) ^ {- 1} \}

R _ {\ lambda} (T) = (\ lambda I-T) ^ {{- 1}} \

Spectrul de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este setul $\sigma (T)$ ${\ displaystyle \ sigma (T)}$ $\ sigma (T)$ de numere complexe $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ care nu aparțin setului de rezolvare, adică astfel încât operatorul $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu este inversabil. ^[1]

De cand $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ este un operator liniar , dacă inversul său există este liniar. Mai mult, prin teorema graficului închis inversul unui operator liniar mărginit este mărginit. Rezultă că setul de rezolvare este setul de valori cedante $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ bijectiv.

Spectrul unui operator nu poate fi gol și se pot distinge trei subseturi disjuncte:

Este definit ca un spectru punctual sau discret de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ansamblul valorilor proprii ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , adică numere complexe $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât:

T(x)=\lambda x\qquad x\neq 0\

{\ displaystyle T (x) = \ lambda x \ qquad x \ neq 0 \}

T (x) = \ lambda x \ qquad x \ neq 0 \

Prin urmare, valorile proprii sunt numerele pentru care

T(x)-\lambda x=0

{\ displaystyle T (x) - \ lambda x = 0}

T (x) - \ lambda x = 0

, adică

(T-\lambda I)(x)=0

{\ displaystyle (T- \ lambda I) (x) = 0}

(T- \ lambda I) (x) = 0

: de fapt, funcția

T-\lambda I

{\ displaystyle T- \ lambda I}

T- \ lambda I

nu este inversabil dacă nucleul său nu este constituit doar de vectorul nul, adică există vectori

X

{\ displaystyle x}

X

astfel pentru care există o

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

astfel încât

T(x)-\lambda x=0

{\ displaystyle T (x) - \ lambda x = 0}

T (x) - \ lambda x = 0

. Echivalent,

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

este valoarea proprie a

T.

{\ displaystyle T}

T.

dacă și numai dacă

T-\lambda I

{\ displaystyle T- \ lambda I}

T- \ lambda I

nu este injectiv sau dacă și numai dacă

\det(T-\lambda I)=0

{\ displaystyle \ det (T- \ lambda I) = 0}

\ det (T- \ lambda I) = 0

.

Se numește spectru continuu de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel pentru care $(\lambda I-T)^{-1}$ ${\ displaystyle (\ lambda IT) ^ {- 1}}$ $(\ lambda I-T) ^ {{- 1}}$ nu este limitat, deși este dens definit.

Este definit spectrul rezidual de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ setul de numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ care nu sunt valori proprii și altele pentru care operatorul $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ nu are nicio imagine densă în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[2]

Spectrul include setul de valori proprii numite valori proprii aproximative , care sunt i $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât $(\lambda I-T)^{-1}$ ${\ displaystyle (\ lambda IT) ^ {- 1}}$ $(\ lambda I-T) ^ {{- 1}}$ nu este limitat sau nu există. Acest lucru face posibilă o subdiviziune diferită a spectrului:

Setul de numere este definit ca un spectru punctual aproximativ $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pentru care există o succesiune de vectori unitari $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ astfel încât:

\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = 0}

Spectrul punctual aproximativ conține spectrul punctual și pentru un operator limitat nu este niciodată gol.

Setul de numere este definit ca spectru rezidual pur $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pentru care $(\lambda I-T)^{-1}$ ${\ displaystyle (\ lambda IT) ^ {- 1}}$ $(\ lambda I-T) ^ {{- 1}}$ este limitată și imaginea de $\lambda I-T$ ${\ displaystyle \ lambda IT}$ $\ lambda I-T$ este un subspatiu propriu al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Se arată că setul de rezolvare $\rho (T)$ ${\ displaystyle \ rho (T)}$ $\ rho (T)$ este un subset deschis de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ și că solventul $R_{\lambda }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ este o funcție analitică definită pe un subset $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ deschis și conectat al planului complex la valorile din spațiul operatorilor mărginite pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special, $R_{\lambda }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ este analitic pentru fiecare subset maxim conectat de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . ^[3]

În plus, pentru fiecare $\lambda ,\mu \in \rho (T)$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ rho (T)}$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ rho (T)}$ funcții $R_{\lambda }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda} (T)}$ Și $R_{\mu }(T)$ ${\ displaystyle R _ {\ mu} (T)}$ ${\ displaystyle R _ {\ mu} (T)}$ comutați și avem:

R_{\lambda }(T)-R_{\mu }(T)=(\lambda -\mu )R_{\lambda }(T)R_{\mu }(T)\

{\ displaystyle R _ {\ lambda} (T) -R _ {\ mu} (T) = (\ lambda - \ mu) R _ {\ lambda} (T) R _ {\ mu} (T) \}

{\ displaystyle R _ {\ lambda} (T) -R _ {\ mu} (T) = (\ lambda - \ mu) R _ {\ lambda} (T) R _ {\ mu} (T) \}

Această relație se numește prima formulă de rezolvare . ^[4]

Limita spectrului rezultă din expansiunea seriei Neumann din $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . Spectrul $\sigma (x)$ ${\ displaystyle \ sigma (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma (x)}$ este limitat de $\|x\|$ ${\ displaystyle \ | x \ |}$ ${\ displaystyle \ | x \ |}$ , și un rezultat similar demonstrează închiderea sa: spectrul unui operator limitat este compact.

Algebra Banach

Un operator mărginit poate fi văzut ca un element al algebrei Banach $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ complex care conține unitatea $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ . Spectrul unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , adesea scris ca $\sigma _{B}(x)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {B} (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {B} (x)}$ sau pur și simplu $\sigma (x)$ ${\ displaystyle \ sigma (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma (x)}$ , este format din numere complexe $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel pentru care operatorul $(\lambda e-x)$ ${\ displaystyle (\ lambda ex)}$ ${\ displaystyle (\ lambda e-x)}$ nu este inversabil în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Banach complex , atunci mulțimea tuturor operatorilor liniari delimitați de pe el formează o algebră Banach, numită $B(X)$ ${\ displaystyle B (X)}$ ${\ displaystyle B (X)}$ .

Raza spectrală

Același subiect în detaliu: Raza spectrală .

Se numește raza spectrală a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ numarul $r(T)$ ${\ displaystyle r (T)}$ ${\ displaystyle r (T)}$ dat de:

r(T)=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|\lambda |

{\ displaystyle r (T) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} | \ lambda |}

{\ displaystyle r (T) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} | \ lambda |}

Se arată că: ^[5]

\lim _{n\to \infty }\|T^{n}\|^{1/n}=r(T)

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | T ^ {n} \ | ^ {1 / n} = r (T)}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | T ^ {n} \ | ^ {1 / n} = r (T)}

iar această limită există întotdeauna. În special, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Hilbert și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct avem:

r(T)=\|T\|\

{\ displaystyle r (T) = \ | T \ | \}

{\ displaystyle r (T) = \ | T \ | \}

Spectrul operatorului adăugat

Același subiect în detaliu: Adjuvant Operatorul și operatorul autoadjunct .

Definiția operatorului adăugat diferă în funcție de faptul dacă ne aflăm într-un spațiu Hilbert sau într-un spațiu Banach . Din această cauză, spectrul și rezolvarea unui operator definit pe un spațiu Banach coincid cu cele ale adjunctului său, în timp ce într-un spațiu Hilbert, denotând adjunctul lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ , avem asta:

\sigma (T^{*})=\{\lambda :{\bar {\lambda }}\in \sigma (T)\}\qquad R_{\lambda }(T^{*})=R_{\lambda }(T)^{*}

{\ displaystyle \ sigma (T ^ {*}) = \ {\ lambda: {\ bar {\ lambda}} \ in \ sigma (T) \} \ qquad R _ {\ lambda} (T ^ {*}) = R _ {\ lambda} (T) ^ {*}}

{\ displaystyle \ sigma (T ^ {*}) = \ {\ lambda: {\ bar {\ lambda}} \ in \ sigma (T) \} \ qquad R _ {\ lambda} (T ^ {*}) = R _ {\ lambda} (T) ^ {*}}

De asemenea, dacă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține spectrului rezidual al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , asa de $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține spectrului punctual al adjunctului $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ . Dacă în schimb $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține spectrului punctual al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , atunci aparține atât spectrului punctual, cât și spectrului rezidual al $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ . ^[6]

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct pe un spațiu Hilbert, avem și:

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ nu are spectru rezidual.
$\sigma (T)$ ${\ displaystyle \ sigma (T)}$ $\ sigma (T)$ este un subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , adică valorile proprii sunt reale.
Vectorii proprii în raport cu valorile proprii distincte sunt ortogonali.

Un operator autoadjunct al unei C * -algebre ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ se spune pozitiv dacă spectrul său $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ conține doar numere reale non-negative. De asemenea, este pozitiv dacă și numai dacă există un element $B\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}}}$ $B \ in \ mathcal {A}$ astfel încât $A=B^{*}B$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ . Un operator pozitiv într-un spațiu Hilbert (deci pe câmpul complex) este autoadjunct și, în special, normal . ^[7] Acest lucru nu este adevărat într-un spațiu vectorial real.

Teorema spectrală stabilește în continuare că un operator mărginit pe un spațiu Hilbert este normal dacă și numai dacă este un operator de multiplicare. Se poate arăta că, în general, spectrul continuu al unui operator de multiplicare mărginită este întregul spectru.

Spectrul operatorilor compacti și normali

Același subiect în detaliu: operator compact și operator normal .

Teorema Riesz-Schauder afirmă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator compact definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ apoi spectrul $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ este un set finit sau numărabil care admite cel mult $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ ca punct de acumulare. În plus, fiecare $\lambda \in \sigma _{p}(A)$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {p} (A)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {p} (A)}$ nu nul are multiplicitate finită. Spectrul vine sub această formă:

\sigma (A)=\sigma _{p}(A)\cup \{0\}

{\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma _ {p} (A) \ cup \ {0 \}}

{\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma _ {p} (A) \ cup \ {0 \}}

Rețineți că nimic nu exclude acest lucru $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ ar putea fi o valoare proprie cu multiplicitate finită sau infinită. ^[8]

Teorema spectrală afirmă că fiecare matrice normală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice unitară . Cu alte cuvinte, pentru orice matrice normală $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ există o matrice unitară $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și o diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ prin urmare: ^[9]

D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU

{\ displaystyle D = U ^ {- 1} HU = \, ^ {t} \! {\ bar {U}} HU}

D = U ^ {{- 1}} HU = \, ^ {t} \! {\ Bar U} HU

Ca corolar, rezultă că dacă și numai dacă operatorul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct, baza ortonormală contează numai valori proprii reale , în timp ce dacă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ modulul valorilor proprii este unitar este 1. În special, valorile proprii ale unei matrice hermitiene sunt toate reale, în timp ce cele ale unei matrice unitare sunt de modulul 1.

Spectrul operatorilor nelimitați

Putem extinde definiția spectrului pentru operatori nelimitați pe un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , operatori care nu mai sunt elemente ale algebrei lui Banach $B(X)$ ${\ displaystyle B (X)}$ ${\ displaystyle B (X)}$ , și procedăm într-un mod similar cu cazul limitat. Un număr complex $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ se spune că se află în setul de rezolvare al unui operator liniar $T:D\subset X\to X$ ${\ displaystyle T: D \ subset X \ to X}$ ${\ displaystyle T: D \ subset X \ to X}$ dacă operatorul:

T-\lambda I:D\to X

{\ displaystyle T- \ lambda I: D \ to X}

{\ displaystyle T- \ lambda I: D \ to X}

are un invers mărginit, adică dacă există un operator mărginit $S:X\rightarrow D$ ${\ displaystyle S: X \ rightarrow D}$ ${\ displaystyle S: X \ rightarrow D}$ astfel încât: ^[10]

S(T-\lambda I)=I_{D}\qquad (T-\lambda I)S=I_{X}

{\ displaystyle S (T- \ lambda I) = I_ {D} \ qquad (T- \ lambda I) S = I_ {X}}

{\ displaystyle S (T- \ lambda I) = I_ {D} \ qquad (T- \ lambda I) S = I_ {X}}

Complementarul setului de rezolvare este spectrul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Un număr complex $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ prin urmare, este în spectru dacă proprietatea anterioară nu este validă, iar spectrul poate fi clasificat exact în același mod ca și în cazul delimitat. Spectrul unui operator nelimitat este în general un subset închis, posibil gol, al planului complex.

Din definiție rezultă că $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ s-ar putea să nu fie inversabil în sensul operatorilor delimitați. Din moment ce domeniul $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ poate fi un subset adecvat de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , expresia:

\,(T-\lambda )S=I_{X}

{\ displaystyle \, (T- \ lambda) S = I_ {X}}

{\ displaystyle \, (T- \ lambda) S = I_ {X}}

are sens numai dacă imaginea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este cuprins în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . În mod similar:

\,S(T-\lambda )=I_{D}

{\ displaystyle \, S (T- \ lambda) = I_ {D}}

{\ displaystyle \, S (T- \ lambda) = I_ {D}}

presupune că $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este cuprins în imaginea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Faptul că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ stai în setul rezolvator de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ înseamnă că $T-\lambda$ ${\ displaystyle T- \ lambda}$ ${\ displaystyle T- \ lambda}$ este bijectiv. Conversa este adevărată dacă introducem condiția suplimentară care $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un operator închis . Pentru teorema graficului închis , de fapt, dacă $T-\lambda I:D\to X$ ${\ displaystyle T- \ lambda I: D \ to X}$ ${\ displaystyle T- \ lambda I: D \ to X}$ este bijectiv atunci aplicația sa inversă (algebric) este în mod necesar un operator mărginit. Rețineți că caracterul complet al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este necesar în invocarea teoremei graficului închis.

Prin urmare, spre deosebire de cazul limitat, condiția ca un număr complex $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este în spectrul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ devine pur algebric: pentru un operator închis $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este în spectrul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ dacă și numai dacă $T-\lambda I$ ${\ displaystyle T- \ lambda I}$ ${\ displaystyle T- \ lambda I}$ nu este bijectiv.

Operatorul de rezolvare

Solventul $R_{\lambda }$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ poate fi evaluat pornind de la valorile proprii și funcțiile proprii ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Punerea în aplicare $R_{\lambda }$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle R _ {\ lambda}}$ la o funcție arbitrară $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ avem:

R_{\lambda }|\varphi \rangle =(\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i},\varphi \rangle

{\ displaystyle R _ {\ lambda} | \ varphi \ rangle = (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1 } {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle R _ {\ lambda} | \ varphi \ rangle = (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1 } {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle}

Această funcție are poli în planul complex corespunzător valorilor proprii ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Apoi folosind metoda reziduurilor obținem:

{\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =-\sum _{i=1}^{n}\ |e_{i}\rangle \ \langle f_{i},\varphi \rangle =-|\varphi \rangle

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle}

unde integralul este luat de-a lungul unei margini $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care include toate valorile proprii. Asumand $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este definit pe coordonate $\{x_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ , adică: ^[11] ^[12]

\langle x,\ \varphi \rangle =\varphi (x_{1},\ x_{2},...\ )\qquad \langle x,\ y\rangle =\delta (x-y)=\delta (x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},x_{3}-y_{3}\dots )

{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \) \ qquad \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy) = \ delta (x_ {1} -y_ {1}, x_ {2} -y_ {2}, x_ {3} -y_ {3} \ dots)}

{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \) \ qquad \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy) = \ delta (x_ {1} -y_ {1}, x_ {2} -y_ {2}, x_ {3} -y_ {3} \ dots)}

avem:

{\begin{aligned}\left\langle x,\ {\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\varphi \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ \varphi \rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \int \ dy\ \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \ \langle y,\ \varphi \rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -T) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {align}}}

Functia $G(x,y;\lambda )$ ${\ displaystyle G (x, y; \ lambda)}$ ${\ displaystyle G (x, y; \ lambda)}$ definit ca:

{\begin{aligned}G(x,\ y;\ \lambda )&=\langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ (\lambda -T)^{-1}e_{j}\rangle \langle f_{j},\ y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ sum _ { i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -T) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \ end {align}}}

este funcția lui Green pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și satisface: ^[13]

{\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}d\lambda G(x,y;\,\lambda )=-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} d \ lambda G (x, y; \, \ lambda) = - \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ langle x, e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, y \ rangle = - \ langle x, y \ rangle = - \ delta (xy)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} d \ lambda G (x, y; \, \ lambda) = - \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ langle x, e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, y \ rangle = - \ langle x, y \ rangle = - \ delta (xy)}

Exemplu

Luați în considerare schimbarea bilaterală $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ dat de:

T(\cdots ,a_{-1},{\hat {a}}_{0},a_{1},\cdots )=(\cdots ,{\hat {a}}_{-1},a_{0},a_{1},\cdots )

{\ displaystyle T (\ cdots, a _ {- 1}, {\ hat {a}} _ {0}, a_ {1}, \ cdots) = (\ cdots, {\ hat {a}} _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, \ cdots)}

{\ displaystyle T (\ cdots, a _ {- 1}, {\ hat {a}} _ {0}, a_ {1}, \ cdots) = (\ cdots, {\ hat {a}} _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, \ cdots)}

unde ^ denotă poziția zero. Un calcul direct arată că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ nu are valori proprii, ci fiecare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ cu $|\lambda |=1$ ${\ displaystyle | \ lambda | = 1}$ ${\ displaystyle | \ lambda | = 1}$ este o valoare proprie aproximativă. Prin plasare $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ un transportator:

{\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ,\lambda ^{n-1},0,\dots )

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} (\ dots, 0,1, \ lambda, \ lambda ^ {2}, \ dots, \ lambda ^ {n-1}, 0, \ puncte)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} (\ dots, 0,1, \ lambda, \ lambda ^ {2}, \ dots, \ lambda ^ {n-1}, 0, \ puncte)}

asa de $\|x_{n}\|=1$ ${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | = 1}$ ${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | = 1}$ pentru fiecare n , dar:

\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0

{\ displaystyle \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = {\ sqrt {\ frac {2} {n}}} \ to 0}

{\ displaystyle \ | Tx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | = {\ sqrt {\ frac {2} {n}}} \ to 0}

Atâta timp cât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un operator de unitate, spectrul său aparține cercului de unitate. De aici spectrul continuu al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este întregul spectru și asta merge pentru o clasă mai generală de comercianți.

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 188
^ Schimbarea unilaterală pe $l^{2}(N)$ ${\ displaystyle l ^ {2} (N)}$ $l ^ {2} (N)$ oferă un exemplu: acest operator este o izometrie și, prin urmare, este limitat, dar nu poate fi inversat, deoarece nu este orientativ.
^ Reed, Simon , P. 190 .
^ Reed, Simon , Pagina 191 .
^ Reed, Simon , Pagina 192
^ Reed, Simon , Pagina 194
^ Reed, Simon , Pagina 195 .
^ Reed, Simon , Pagina 203
^ S. Lang , p. 251 .
^ Reed, Simon , p. 253 .
^ PAM Dirac, op. cit , pp. 65 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .
^ PAM Dirac, op. cit , pp. 60 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .
^ Bernard Friedman, op. cit , pp. 214, ec. 2.14, ISBN 0-486-66444-9 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VS Shul'man, Spectrum of a operator , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 188

[2] Schimbarea unilaterală pe $l^{2}(N)$ ${\ displaystyle l ^ {2} (N)}$ $l ^ {2} (N)$ oferă un exemplu: acest operator este o izometrie și, prin urmare, este limitat, dar nu poate fi inversat, deoarece nu este orientativ.

[3] Reed, Simon , P. 190 .

[4] Reed, Simon , Pagina 191 .

[5] Reed, Simon , Pagina 192

[6] Reed, Simon , Pagina 194

[7] Reed, Simon , Pagina 195 .

[8] Reed, Simon , Pagina 203

[9] S. Lang , p. 251 .

[10] Reed, Simon , p. 253 .

[Dirac2-11] PAM Dirac, op. cit , pp. 65 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .

[Dirac3-12] PAM Dirac, op. cit , pp. 60 și urm , ISBN 0-19-852011-5 .

[Friedman3-13] Bernard Friedman, op. cit , pp. 214, ec. 2.14, ISBN 0-486-66444-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]