Rotație (matematică)

O sferă care se rotește în jurul unei axe

În matematică , și în special în geometrie , o rotație este o transformare a planului sau spațiului euclidian care deplasează obiectele într-un mod rigid și care lasă cel puțin un punct fix, în cazul planului sau o linie, în cazul de spațiu. Punctele care rămân fixate în transformare formează mai general un subspatiu: atunci când acest set este un punct sau o linie dreaptă, se numește respectiv centru și axa de rotație.

Mai precis, o rotație este o izometrie a unui spațiu euclidian care își păstrează orientarea și este descrisă de o matrice ortogonală specială .

Indiferent de numărul de dimensiuni ale spațiului de rotație, elementele de rotație sunt:

reversul (în sensul acelor de ceasornic-invers acelor de ceasornic);
amplitudinea unghiului de rotație ;
centrul de rotație (punctul în jurul căruia se produce mișcarea de rotație).

Două dimensiuni

Rotație în sens invers acelor de ceasornic în plan

Același subiect în detaliu: izometrie plană .

În două dimensiuni, o rotație este o transformare $R(\theta )$ ${\ displaystyle R (\ theta)}$ ${\ displaystyle R (\ theta)}$ , care se presupune că în sens invers acelor de ceasornic depinde de un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , și care transformă vectorul $(x;y)$ ${\ displaystyle (x; y)}$ $(X y)$ în

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta, \\ y' & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta, \\ y' & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}

Folosind multiplicarea matricii, rotația în sens invers acelor de ceasornic poate fi descrisă după cum urmează:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

Matricea pătrată din această expresie este o matrice ortogonală de rang special $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Această transformare se numește un unghi de rotație în sens invers acelor de ceasornic $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în jurul originii.

Matricea $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ descrierea rotației se numește adesea matricea de rotație a unghiului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Demonstrație

Formulele de rotație pot fi obținute prin raționament în modul următor. Este $P(x;y)$ ${\ displaystyle P (x; y)}$ $P (x; y)$ orice punct și sunt $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ coordonatele sale polare . Da, da

{\begin{aligned}x&=\rho \cos \alpha \\y&=\rho \sin \alpha \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \ cos \ alpha \\ y & = \ rho \ sin \ alpha \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \ cos \ alpha \\ y & = \ rho \ sin \ alpha \ end {align}}}

ideea $P'(x';y')$ ${\ displaystyle P '(x'; y ')}$ ${\ displaystyle P '(x'; y ')}$ , imagine de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ într-o rotație în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , are coordonate polare $(\rho ;\alpha +\theta )$ ${\ displaystyle (\ rho; \ alpha + \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ rho; \ alpha + \ theta)}$ . Prin urmare, coordonatele sale carteziene sunt date de sistemul anterior, unde este plasat $\alpha +\theta$ ${\ displaystyle \ alpha + \ theta}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ theta}$ in loc de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ :

{\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos \ left (\ alpha + \ theta \ right) \\ y' & = \ rho \ sin \ left (\ alpha + \ theta \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos \ left (\ alpha + \ theta \ right) \\ y' & = \ rho \ sin \ left (\ alpha + \ theta \ right). \ end {align}}}

prin aplicarea formulelor de adaos de sinus și cosinus și luând în considerare și formulele inițiale, se obțin formulele de rotație, de fapt:

{\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta \right)&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta \right)&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos \ left (\ alpha + \ theta \ right) & = \ rho \ left (\ cos \ alpha \ cos \ theta - \ sin \ alpha \ sin \ theta \ right) & = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta, \\ y '& = \ rho \ sin \ left (\ alpha + \ theta \ right) & = \ rho \ left (\ sin \ alpha \ cos \ theta + \ cos \ alpha \ sin \ theta \ right) & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos \ left (\ alpha + \ theta \ right) & = \ rho \ left (\ cos \ alpha \ cos \ theta - \ sin \ alpha \ sin \ theta \ right) & = x \ cos \ theta -y \ sin \ theta, \\ y '& = \ rho \ sin \ left (\ alpha + \ theta \ right) & = \ rho \ left (\ sin \ alpha \ cos \ theta + \ cos \ alpha \ sin \ theta \ right) & = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta. \ end {align}}}

Planul general

Același subiect în detaliu: Rotația în planul complex și grupul circular .

O rotație este exprimată mai concis interpretând planul ca un plan complex : o rotație este echivalentă cu produsul ori de un număr complex de module unitare.

În acest fel, de exemplu, rotația unghiului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , centrat în origine, este scris ca

{\begin{matrix}\rho \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} ,&\\&z&\mapsto &z'&=e^{i\theta }z.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ rho \ colon & \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {C}, & \\ & z & \ mapsto & z '& = e ^ {i \ theta} z . \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ rho \ colon & \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {C}, & \\ & z & \ mapsto & z '& = e ^ {i \ theta} z . \ end {matrix}}}

Setul de numere complexe cu modul unitar este algebric închis în raport cu produsul, formând astfel un grup abelian , numit grup circular : interpretarea complexă a rotațiilor planului poate fi apoi exprimată ca faptul că grupul circular și grup ortogonal special $\mathrm {SO} (2)$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (2)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (2)}$ sunt izomorfe.

Trei dimensiuni

Rotația într-un sistem tridimensional

În trei dimensiuni, rotația este determinată de o axă , dată de o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ trecând prin origine și dintr-un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ de rotație. Pentru a evita ambiguitatea, se fixează o direcție a axei și se ia în considerare rotația unghiului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ efectuat în sens invers acelor de ceasornic în raport cu axa orientată. Rotația este descrisă în modul cel mai succint prin scrierea vectorilor spațiului în coordonate în raport cu o bază ortonormală $v_{1},v_{2},v_{3}$ ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}}$ ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}}$ , unde este $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ este vectorul de lungime cuprins în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și având direcția corectă. Rotația în jurul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ transformă vectorul de coordonate $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ în:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}.}

O rotație generală în 3 dimensiuni poate fi exprimată ca o compoziție de 3 rotații în jurul a trei axe independente, cum ar fi axele $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ ^[1] . Deci, date trei unghiuri $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ , care indică, respectiv, cât de mult se rotește în jurul fiecărei axe, matricea de rotație este:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} \ cdot { \ begin {bmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix } \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\ \ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} \ cdot { \ begin {bmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix } \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\ \ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Fără a schimba baza, rotația unui unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în jurul unei axe determinată de vectorul unitar $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ (adică un vector de modul unitate) este descris de următoarea matrice:

{\begin{bmatrix}x^{2}+(1-x^{2})\cos \theta &xy(1-\cos \theta )-z\sin \theta &xz(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &y^{2}+(1-y^{2})\cos \theta &yz(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &z^{2}+(1-z^{2})\cos \theta \end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x ^ {2} + (1-x ^ {2}) \ cos \ theta & xy (1- \ cos \ theta) -z \ sin \ theta & xz (1- \ cos \ theta) + y \ sin \ theta \\ xy (1- \ cos \ theta) + z \ sin \ theta & y ^ {2} + (1-y ^ {2}) \ cos \ theta & yz ( 1- \ cos \ theta) -x \ sin \ theta \\ xz (1- \ cos \ theta) -y \ sin \ theta & yz (1- \ cos \ theta) + x \ sin \ theta & z ^ { 2} + (1- z ^ {2}) \ cos \ theta \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x ^ {2} + (1-x ^ {2}) \ cos \ theta & xy (1- \ cos \ theta) -z \ sin \ theta & xz (1- \ cos \ theta) + y \ sin \ theta \\ xy (1- \ cos \ theta) + z \ sin \ theta & y ^ {2} + (1-y ^ {2}) \ cos \ theta & yz ( 1- \ cos \ theta) -x \ sin \ theta \\ xz (1- \ cos \ theta) -y \ sin \ theta & yz (1- \ cos \ theta) + x \ sin \ theta & z ^ { 2} + (1- z ^ {2}) \ cos \ theta \ end {bmatrix}}.}

Prin plasare $(x,y,z)=(1,0,0)$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (1,0,0)}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (1,0,0)}$ sau $(x,y,z)=(0,1,0)$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (0,1,0)}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (0,1,0)}$ sau $(x,y,z)=(0,0,1)$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (0,0,1)}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (0,0,1)}$ rotația în jurul axei se obține respectiv $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ la ax $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și spre axă $z .$ ${\ displaystyle z.}$ ${\ displaystyle z.}$

Această matrice a fost obținută scriind matricea asociată cu transformarea liniară (în raport cu bazele canonice din domeniu și codomain) a formulei Rodrigues .

În multe aplicații este convenabil să se utilizeze algebra cuaternară pentru a face rotații în spațiul tridimensional.

Dimensiune arbitrară

Într-un spațiu euclidian de dimensiuni arbitrare, o rotație este o transformare liniară a spațiului în sine, care este, de asemenea, o izometrie și care menține orientarea spațiului. Matricile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ care realizează aceste transformări sunt matricile ortogonale speciale .