Statica structurală

Structurile statice este acea parte a mecanicii care dezvoltă studiul static al organismelor care pot fi atribuite forme structurale cunoscute în mecanica structurilor , în special grinzi și structuri . Predominante Interesul este studiul structurilor izostatice , singurele pentru care, prin condițiile de echilibru la soare statice, este posibil să se ajungă la o determinare completă a stării lor de stres interne . Astăzi, acest studiu este realizat în principal analitic și numeric. În trecut , o mulțime de instrumente utilizate au fost grafice statice , numite acum , ocazional , și numai în scopuri educaționale.

Condițiile de echilibru ale unei structuri

O structură într-o configurație geometrică atribuită este în echilibru dacă există un astfel de echilibru pentru fiecare dintre părțile în care structura poate fi descompusă. Prin urmare, problema echilibrului static al unei structuri poate fi urmărită înapoi la problema echilibrului static al tuturor părților sale. În astfel de relații de echilibru implicate nu numai forțele (și cuplurile ) aplicate extern, dar , de asemenea , acțiunile (tensiuni interne) că diferitele părți sunt schimbate reciproc. În scopul evaluării echilibrului, diferitele părți ale structurii pot fi considerate ca fiind corpuri rigide .

Ecuații cardinale ale staticii

O condiție necesară și suficientă pentru ca un corp rigid să fie în echilibru este ca acestea să fie nule:

rezultanta forțelor aplicate (echilibrul de traducere), adică suma forțelor trebuie să fie egală cu 0
rezultanta momentele forțelor și momentelor aplicate (echilibru rotației), în același mod , de asemenea , însumarea momentelor trebuie să fie egal cu 0

$\mathbf {r} =\sum _{i}\mathbf {f} _{i}=\mathbf {0} \;\;\;,\;\;\;\mathbf {M} _{o}=\sum _{i}\mathbf {r} \times \mathbf {f} _{i}+\sum _{j}\mathbf {c} _{j}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ sum _ {i} \ mathbf {f} _ {i} = \ mathbf {0} \; \; \; \; \; \; \ mathbf {M} _ { o} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {f} _ {i} + \ sum _ {j} \ mathbf {c} _ {j} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ sum _ {i} \ mathbf {f} _ {i} = \ mathbf {0} \; \; \; \; \; \; \ mathbf {M} _ { o} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {f} _ {i} + \ sum _ {j} \ mathbf {c} _ {j} = \ mathbf {0}}$

Pentru un corp în spațiu tridimensional, ecuațiile cardinale ale staticii corespund la 6 ecuații scalare (3 la translație și 3 la rotație). În cazul planului (traiectoriile punctelor corpului aparțin unui plan, unde sunt conținute forțele aplicate), ecuațiile statice corespund cu 3 ecuații scalare (două pentru translație și una pentru rotație (în jurul unei direcții normale față de plan) a problemei)).

Pentru un sistem compus dintr - un număr c generic de părți, având ecuațiile staticii aplică fiecăreia dintre părțile sale, numărul total al acestora este de 6 c în cazul tridimensional și 3 c în cazul planar.

Gradele de libertate

Se spune gradul de libertate numărul parametrilor cinematici necesară caracterizarea mișcării sau actul de mișcare a unui sistem. Un corp rigid în spațiul tridimensional are 6 grade de libertate (3 la translație și 3 la rotație). În problema planului, corpul rigid are 3 grade de libertate (două la translație și unul la rotație).

Cinematica unui sistem compus din corpuri rigide c este definit de cinematica fiecărui corp al sistemului. Gradul său de libertate este deci suma gradelor de libertate ale părților sale.

Gradul de libertate al unui sistem este egal cu numărul de ecuații scalare necesare pentru a impune echilibrul

O constrângere este niciun impediment pentru mobilitatea liberă a organismelor. În statica structurală, constrângerile luate în considerare sunt:

holonomiști (impun restricții numai asupra poziției corpurilor);
fixe (sunt independente de timp);
bilaterale (fiecare componentă cinematică împiedicată este așa în ambele direcții);
fără frecare (permit deplin mișcările la care nu se opun).

Se spune că constrângerile sunt externe dacă limitează deplasările absolute, interne dacă limitează deplasările relative între părțile unui sistem. Se spune poate constrângere numărul de componente în mișcare legate: în acest sens , vorbim de constrângere simplă în cazul în care una restricționează componente de deplasare, dublă constrângere, triplu ... atunci când componentele sunt împiedicate mai mult de unul.

Se vorbește de eșec atunci când constrânge impune constrângere, la componenta de deplasare constrânsă, să -și asume o valoare nenulă determinată.

În Mecanică , constrângerile sunt echivalente cu forțele, deoarece acestea modifică mișcarea unui sistem ori de câte ori încearcă să le încalci. Se spune constrângătoare forță de reacție explicitat printr - o legătură. Pentru ca condiția de constrângere cinematică să fie exercitată, reacțiile de constrângere au o caracterizare foarte precisă în funcție de componenta de deplasare care trebuie constrânsă: aceasta determină unele caractere vectoriale (direcția și punctul de aplicare) ale reacțiilor de constrângere și, prin urmare, numărul parametrilor scalari independenți (gradul de constrângere) prin care se exprimă reacția de constrângere.

Tipuri de constrângeri

Un exemplu de balama este balansoarul.

Un alt exemplu de balama este ușa.

Pentru problemele de plan, cele mai frecvent utilizate constrângeri în statica structurală sunt descrise mai jos.

căruciorul sau simplu suport este o legătură simplă și previne deplasarea punctului constrânse a lungul axei perpendiculare pe planul de alunecare al transportului. Oferă corpului două libertăți de mișcare: translația de-a lungul planului glisant al căruciorului și rotația în jurul punctului constrâns. Reacția de constrângere corespunde unei forțe aplicate în punctul constrâns și direcționată de-a lungul direcției ortogonale către planul de alunecare.
balama, este o legătură dublă , care împiedică deplasarea punctului constrânsă de-a lungul oricărei direcții a planului problemei. Lăsați corpul liber să se rotească în jurul punctului în sine. Reacționează cu o forță aplicată punctului și direcționată în funcție de orice direcție aparținând planului problemei: această forță poate fi reprezentată de cele două componente ale sale pe două axe ortogonale.
l „centralizare este o constrângere triplu care impiedica organismul atat cele doua componente translațională care rotatie. Reacționează prin două componente de forță în două direcții diferite și o pereche.
pendulul sau tija este o constrângere echivalentă simplă a troleu previne deplasările punctului constrânsă de-a lungul axei tijei și permite deplasările corpului ortogonal pe axa menționată și de rotație în jurul punctului. Reacționează cu o forță aplicată punctului și direcționată de-a lungul axei bielei.
pendulul dublu sau bipendolo este o constrângere dublă care împiedică translația de-a lungul axei pendulele și rotația corpului. Acesta permite organismului să traducă de-a lungul direcția perpendiculară pe axa pendulele: în acest sens, constrângerea este , de asemenea , a spus pantof sau glifului. Reacționează cu o forță directă în funcție de axa pendulului și de un cuplu.
dublu pendul dublu sau quadripendolo sau pendul necorespunzătoare sau pantograf este o constrângere simplă , care împiedică rotația corpului. Lasă corpul liber să traducă. Reacționează printr-un cuplu.

Căruciorul
Fermoarul
Articulatia
pendulul
Pendulul dublu
Pendulul dublu dublu

Sisteme constrânse

Se spune că sistemul mecanic constrâns (o structură), compus din mai multe corpuri (părțile structurii), este supus unui sistem de constrângeri cinematice. Gradul de m constrângerii sistemului este suma gradului de constrângerile individuale. Pentru deplasările infinitezimale rigide ale componentelor structurii, prezența constrângerilor cinematice este , în general , exprimată printr - un sistem de m liniar ecuații algebrice în n parametrii cinematici $\{q_{1},\ldots ,q_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}}$ $\ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}$ care descriu mobilitatea liberă a părților structurii (n este gradul de libertate al sistemului)

${\mathbf {A} }{\mathbf {q} }={\mathbf {d} }\;\;\Leftrightarrow \;\;\left(\sum _{j}^{n}A_{ij}\,q_{j}=d_{i}\;\;\;,\;\;\;\{i=1,\ldots ,m\}\right)\;$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}} {\ mathbf {q}} = {\ mathbf {d}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ sum _ {j} ^ {n} A_ { ij} \, q_ {j} = d_ {i} \; \; \ ;, \; \; \; \ {i = 1, \ ldots, m \} \ right) \;}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}} {\ mathbf {q}} = {\ mathbf {d}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ sum _ {j} ^ {n} A_ { ij} \, q_ {j} = d_ {i} \; \; \ ;, \; \; \; \ {i = 1, \ ldots, m \} \ right) \;}$

unde este $\{d_{1},\ldots ,d_{m}\}$ ${\ displaystyle \ {d_ {1}, \ ldots, d_ {m} \}}$ $\ {d_ {1}, \ ldots, d_ {m} \}$ sunt orice decontări atribuite ale constrângerilor. Matricea A (MXN) a coeficienților $A_{ij}$ ${\ Displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ se spune ca matricea sistemului cinematic.

Pentru un sistem restrîns, problema de echilibru se traduce într - un sistem de n liniar ecuații algebrice în setul de parametri m $\{R_{1},\ldots ,R_{m}\}$ ${\ displaystyle \ {R_ {1}, \ ldots, R_ {m} \}}$ $\ {R_ {1}, \ ldots, R_ {m} \}$ reprezentativ al reacțiilor de constrângere:

${\mathbf {B} }{\mathbf {R} }+{\mathbf {Q} }={\mathbf {0} }\;\;\Leftrightarrow \;\;\left(\sum _{j}^{m}B_{ij}\,R_{j}+Q_{i}=0\;\;\;,\;\;\;\{i=1,\ldots ,n\}\right)\;$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} {\ mathbf {R}} + {\ mathbf {Q}} = {\ mathbf {0}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ sum _ { j} ^ {m} B_ {ij} \, R_ {j} + Q_ {i} = 0 \; \; \ ;, \; \; \; \ {i = 1, \ ldots, n \} \ right ) \;}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} {\ mathbf {R}} + {\ mathbf {Q}} = {\ mathbf {0}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ sum _ { j} ^ {m} B_ {ij} \, R_ {j} + Q_ {i} = 0 \; \; \ ;, \; \; \; \ {i = 1, \ ldots, n \} \ right ) \;}$

Unde $\{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {Q_ {1}, \ ldots, Q_ {n} \}}$ $\ {Q_ {1}, \ ldots, Q_ {n} \}$ sunt termenii cunoscuți ai ecuațiilor legate de valorile atribuite ale forțelor și cuplurilor externe care acționează asupra sistemului. Matricea B (n x) a coeficienților $B_{ij}$ ${\ displaystyle B_ {ij}}$ $B _ {{ij}}$ Se numește matricea de echilibru sau matrice statică. Se arată că, pentru o alegere adecvată a parametrilor $\{q_{1},\ldots ,q_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}}$ $\ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}$ , matricea de echilibru este egală cu transpunerea matricei cinematice

${\mathbf {B} }={\mathbf {A} }^{t}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = {\ mathbf {A}} ^ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = {\ mathbf {A}} ^ {t}}$

Caracterizarea statică și cinematică a sistemelor constrânse

Sistem izostatic

Sistemul Labile

Sistem hiperstatic

Sistemele mecanice sunt caracterizate static și cinematic pe baza soluțiilor posibile ale sistemelor de ecuații care reprezintă condițiile de echilibru ale sistemului și acțiunea cinematică a constrângerilor

${\mathbf {B} }{\mathbf {R} }+{\mathbf {Q} }={\mathbf {0} }\;\;,\;\;{\mathbf {A} }{\mathbf {q} }={\mathbf {d} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} {\ mathbf {R}} + {\ mathbf {Q}} = {\ mathbf {0}} \; \ ;, \; \; {\ mathbf {A}} { \ mathbf {q}} = {\ mathbf {d}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {B}} {\ mathbf {R}} + {\ mathbf {Q}} = {\ mathbf {0}} \; \ ;, \; \; {\ mathbf {A}} { \ mathbf {q}} = {\ mathbf {d}}}$

și apoi , pe baza proprietăților algebrice ale celor două matrici A și B ale coeficienților implicați în problemă. A spus p denota rangul acestor matrici (rangul două matrice fiind potrivește transpusa celuilalt), avem următoarele tipuri:

Sistemul izostatică (p = n = m): gradul de constrângere este egal cu gradul de libertate și constrângeri sunt bine reprezentate, adică independent unul față de celălalt. Problema statica (precum problema cinematică) admite o soluție și soluția este unică: este apoi a spus că sistemul este determinat static (orice valoare a sarcinilor externe este asociată cu reacții de constrângere care fac sistemul echilibrat) și cinematic determinate (constrângerile sunt strict suficiente pentru a preveni actele de mișcare rigidă a părților sale, sau pentru a le determina univoc în cazul randamentelor atribuite).
Sistemul labil (p = m <n): gradul de constrângere este mai mic decât gradul de libertate al sistemului și constrângerile prezent sunt bine locuri. În termeni cinematici, problema conexă admite $\infty ^{n-m}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {nm}}$ $\ infty ^ {{n-m}}$ soluții: constrângerile aplicate, sunt insuficiente pentru a preveni actele de mișcare rigidă a sistemului, care poate fi articulată în conformitate cu l = mecanismele labilitate nm (sistemul este cinematic nedeterminat și l = nm este gradul de labilitate). În termeni statici, problema aferentă nu admite în general nicio soluție. Există două situații posibile, care depind de p „rangul matricei obținută orlando matricea statică cu vectorul termenilor cunoscuți. Dacă p „> p sistemul este imposibil static. Dacă p „= p sistemul (deși cinetic labil) este determinată static. Prin urmare, clasificarea statică depinde de sistemul de încărcare prezent.
Sistemul nedeterminate (p = n <m): gradul de constrângere este mai mare decât gradul de libertate. În termeni statici, problema conexă admite $\infty ^{m-n}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {mn}}$ $\ infty ^ {{m-n}}$ soluții: sistemul este întotdeauna în echilibru , dar condițiile de echilibru sunt în număr suficient pentru a determina în mod unic valorile reacțiilor de constrângere (sistemul este static nedeterminat și i = mn este gradul de hyperstaticity). În termeni cinematici, problema relativă nu admite în general soluția pentru valorile generice ale așezărilor: constrângerile sunt superabundante și acțiunile de mișcare ale sistemului sunt întotdeauna împiedicate.
Sistemul degenerate (p <min {n, m}): constrângerile prezente sunt prost reprezentate și insuficiente pentru a preveni actele de mișcare a sistemului (sistemul are mecanisme de np labilitate). Există Echilibrul numai pentru valori particulare ale sarcinilor (p „= p), dar numărul p de ecuații independente de echilibru nu este suficient pentru a determina în mod unic valorile reacțiilor de constrângere (sistemul are hyperstaticity mp). În practică, un sistem degenerat prezintă în același timp mecanisme de labilitate și condiții de hiperstaticitate.

Structuri izostatice, hiperestatice și labile

Pentru o structură generică, relația dintre gradul de libertate, constrângere, slăbiciune și hiperstaticitate este întotdeauna verificată

$n-m=l-i$ ${\ displaystyle nm = li}$ $n-m = l-i$

Din aceasta derivăm următoarele condiții suficiente pentru slăbiciunea și hiperstaticitatea unei structuri:

$n>m\;\;\Rightarrow \;\;$ ${\ displaystyle n> m \; \; \ Rightarrow \; \;}$ $n> m \; \; \ Rightarrow \; \;$ structura este cu siguranță labilă;
$n<m\;\;\Rightarrow \;\;$ ${\ displaystyle n <m \; \; \ Rightarrow \; \;}$ $n <m \; \; \ Rightarrow \; \;$ structura este cu siguranță hiperstatică.

Cu toate acestea, cele două condiții nu sunt necesare pentru labilitate și hiperstaticitate: un sistem degenerat prezintă atât hiperstaticitate, cât și labilitate, în ciuda faptului că are $n=m$ ${\ displaystyle n = m}$ $n = m$ .

Pe de altă parte, egalitatea dintre gradul de libertate și gradul de constrângere este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru izostaticitate:

$n=m\;\;\Leftarrow \;\;$ ${\ displaystyle n = m \; \; \ Leftarrow \; \;}$ $n = m \; \; \ Leftarrow \; \;$ structura este izostatică.

De fapt, constrângerile pot fi deplasate și structura voinței, de fapt, rezultatul degenerat. În concluzie, o structură este izostatică dacă există egalitate între gradul de constrângere și gradul de libertate și dacă se arată că constrângerile sunt eficiente, adică dacă se arată că nu există mecanisme de labilitate ale structurii.

Structurile izostatice joacă un rol predominant în structurile statice, deoarece acestea sunt în mod unic rezolvabile (în termeni de reacții de constrângere și a eforturilor de tensiuni interne) , prin utilizarea exclusivă a condițiilor de echilibru static .

Pentru structurile static nedeterminate, singurele ecuațiile staticii nu sunt suficiente pentru rezolvarea acestora: în acest caz , trebuie să se facă referire la metoda de flexibilitate sau metoda de rigiditate directă .

În general, structurile labile sunt static de nerezolvat.

Caracteristicile stresului

Corp secționat de un plan în două părți care schimbă acțiuni de contact reciproc. Pe fiecare dintre cele două părți, aceste forțe de contact, combinate cu forțele externe aplicate acolo, constituie un sistem de forțe în echilibru

Un corp (un fascicul) în echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe externe poate fi întotdeauna considerat a fi compus din două părți definite de un plan de secțiune. Constrângerea de continuitate acționează în corespondență cu secțiunea, cerând celor două părți să rămână împerechere în timpul mișcării corpului. Această constrângere continuitate este exprimat pe secțiunea prin intermediul unui sistem punctual de tensiuni (a tensiunilor interne ) că cele două părți ale corpului comunica unele cu altele prin cele două fețe ale secțiunii.

Forțele de contact pe care o parte a corpului le exercită pe cealaltă intervin, împreună cu forțele externe aplicate, în condițiile de echilibru care trebuie să se aplice în continuare fiecăreia dintre cele două părți ale corpului. Prin urmare, momentul rezultant și momentul rezultant al forțelor de contact interne pot fi determinate pe baza ecuațiilor cardinale ale staticii uneia dintre cele două părți ale corpului, echilibrând momentul rezultant și momentul rezultant al forțelor externe aplicate în acesta.

Ei spun caracteristici de stres ale unei secțiuni a rezultantei și componentele momentului vectorilor rezultanta forțelor de contact ale secțiunii interne, într - un local de referință de susținere la planul secțiunii. Pentru o problemă plană, acestea sunt:

forța normală (N) (componenta rezultanta forțelor de contact în direcția perpendiculară pe fața secțiunii)
tensiune de forfecare (T) (componenta rezultanta forțelor de contact în direcția paralelă cu fața secțiunii)
momentului de încovoiere (M) (component al momentului rezultant în direcția normală la planul problemei)

Caracteristicile de stres variază pe măsură ce secțiunea variază. O reprezentare sintetică a acestora poate fi obținută prin intermediul diagramelor. În structurile plane, obiectivul principal al staticii structurale este reconstrucția diagramelor de tensiune normală, forfecare forțată și momente de încovoiere.

Bibliografie

Belluzzi Odone, Mecanica structurale (primul volum), Zanichelli, Bologna, 1953 și edițiile ulterioare
Giulio Ceradini. Construirea științei. 1: Cinematica și staticii sistemelor rigide. ESA, Roma, 1985. ISBN 88-405-3017-7 .
Elisa Guagenti Grandori și colab. Static. McGraw-Hill, Milano, 1995. ISBN 88-386-0657-9 .
Antonio Domenico Lanzo. Grinzi de elastice Analiza: Metode și aplicații. Arachne, Roma, 2007. ISBN 978-88-548-1162-1 .

Elemente conexe

Portal de inginerie

Portal mecanic