Statistici Fermi-Dirac

În mecanica statistică , statistica Fermi-Dirac sau distribuția Fermi-Dirac este o distribuție statistică a fermionilor în stările de energie pentru un sistem în echilibru termic .

Introdus de Enrico Fermi și Paul Dirac în 1926 ^[1] , reprezintă, împreună cu statisticile Bose-Einstein pentru bosoni , actualizarea cuantică a distribuției clasice Maxwell-Boltzmann . În 1927 a fost aplicat de Arnold Sommerfeld la electronii din metale ^[1] și de atunci utilizat pe scară largă pentru studiul electronilor din solide, formând baza fizicii electronice și a semiconductorilor și făcând posibile descoperiri precum tranzistorul .

Dezvoltarea conceptului

Să presupunem că doi fermioni sunt așezați într-un sistem pe patru niveluri. Există șase aranjamente posibile ale unui astfel de sistem, care sunt prezentate în diagrama de mai jos.

 ε ₁ ε ₂ ε ₃ ε ₄
LA * *
B * *
C * *
D * *
ȘI * *
F * *

Fiecare dintre aceste aranjamente se numește microstatul sistemului. Este un postulat fundamental al fizicii statistice că, în echilibru termic , fiecare dintre aceste microstate este în mod egal supus constrângerilor impuse asupra energiei totale și a numărului de particule cunoscute.

În funcție de valorile energetice pentru fiecare stare, se poate întâmpla ca energia totală a uneia dintre aceste șase combinații să fie egală cu celelalte. De fapt, dacă presupunem că energiile sunt multiple în funcție de numere întregi succesive (începând de la 1) ale unei valori date $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , energia fiecăreia dintre cele șase microstate devine:

$A:\;3\varepsilon$ ${\ displaystyle A: \; 3 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle A: \; 3 \ varepsilon}$
$B:\;4\varepsilon$ ${\ displaystyle B: \; 4 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle B: \; 4 \ varepsilon}$
$C:\;5\varepsilon$ ${\ displaystyle C: \; 5 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle C: \; 5 \ varepsilon}$
$D:\;5\varepsilon$ ${\ displaystyle D: \; 5 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle D: \; 5 \ varepsilon}$
$E:\;6\varepsilon$ ${\ displaystyle E: \; 6 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle E: \; 6 \ varepsilon}$
$F:\;7\varepsilon$ ${\ displaystyle F: \; 7 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle F: \; 7 \ varepsilon}$

Deci, știind că sistemul are o energie egală cu $5\varepsilon$ ${\ displaystyle 5 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle 5 \ varepsilon}$ , se poate concluziona că statele $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt la fel de probabil să fie ocupați. Rețineți că dacă particulele ar fi distinse (cazul clasic), microstatele ar fi douăsprezece și nu șase.

Funcția de distribuție Fermi-Dirac

Este posibil să se obțină din argumente statistice (așa cum se explică în paragraful următor) forma distribuției Fermi-Dirac, adică a numărului mediu de fermioni care ocupă o stare a unei singure particule de energie $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ la temperatura $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Primim: ^[2]

\left\langle n\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{B}T}}\right)+1}}

{\ displaystyle \ left \ langle n \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {\ varepsilon - \ mu} {k_ {B} T}} \ right) +1}} }

{\ displaystyle \ left \ langle n \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {\ varepsilon - \ mu} {k_ {B} T}} \ right) +1}} }

unde este:

$\left\langle n\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle n \ right \ rangle}$ $\ left \ langle n \ right \ rangle$ este numărul mediu de particule în starea luată în considerare;
exp este funcția exponențială ;
$\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este energia stării considerate;
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este potențialul chimic electronic sau nivelul Fermi ;
$k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ este constanta lui Boltzmann
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută (măsurată în kelvini ).

O derivare a distribuției Fermi-Dirac

Să luăm în considerare un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ fermioni, care pot ocupa stări cu particule unice identificate printr-o colecție $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ a numerelor cuantice, la care se asociază energia $\varepsilon _{\nu }$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ nu}}$ $\ varepsilon _ {\ nu}$ . Vrem să stabilim numărul mediu de locuri de muncă în stat $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , presupunând că depinde doar de $\varepsilon _{\nu }$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ nu}}$ $\ varepsilon _ {\ nu}$ , precum și din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ și temperatura $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Vom obține această distribuție prin intermediul principiului maxim al entropiei , adică căutând distribuția care maximizează expresia entropiei Boltzmann - Gibbs , cu constrângerile pe care numărul total de particule este egal cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ iar energia totală a sistemului este egală cu $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Entropia pentru un sistem microcanonic este dată de legea lui Boltzmann : ^[3]

S=\ln W\

{\ displaystyle S = \ ln W \}

{\ displaystyle S = \ ln W \}

unde este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este numărul stărilor microscopice care corespund acestei distribuții. Să presupunem că grupăm stările microscopice în grupuri, astfel încât grupul $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ conține $G_{j}$ ${\ displaystyle G_ {j}}$ ${\ displaystyle G_ {j}}$ stări de particule unice e $N_{j}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ particule, cu $G_{j},N_{j}\gg 1$ ${\ displaystyle G_ {j}, N_ {j} \ gg 1}$ $G_ {j}, N_ {j} \ gg 1$ , și totuși energiile corespunzătoare sunt foarte apropiate unele de altele și de o energie „medie” $\varepsilon _{j}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {j}}$ $\ varepsilon _ {j}$ . În aceste condiții, numărul mediu de ocupare a statelor care aparțin grupului $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ este același pentru toți și egal cu:

$n_{j}=N_{j}/G_{j}$ ${\ displaystyle n_ {j} = N_ {j} / G_ {j}}$ $n_ {j} = N_ {j} / G_ {j}$

Numărul de moduri în care $N_{j}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ particulele pot fi distribuite între $G_{j}$ ${\ displaystyle G_ {j}}$ ${\ displaystyle G_ {j}}$ stări este dată de coeficientul binomial $G_{j}!/N_{j}!(G_{j}-N_{j})!$ ${\ displaystyle G_ {j}! / N_ {j}! (G_ {j} -N_ {j})!}$ $G_ {j}! / N_ {j}! (G_ {j} -N_ {j})!$ . ^[3] Prin urmare, logaritmul natural al numărului total de stări microscopice va fi dat de suma acestor contribuții pentru fiecare grup $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ :

{\begin{aligned}S&=\ln W=\sum _{j}\ln {\frac {G_{j}!}{N_{j}!(G_{j}-N_{j})!}}\\&\simeq \sum _{j}\left[G_{j}\ln G_{j}-G_{j}-N_{j}\ln N_{j}+N_{j}-(G_{j}-N_{j})\ln(G_{j}-N_{j})+G_{j}-N_{j}\right],\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = \ ln W = \ sum _ {j} \ ln {\ frac {G_ {j}!} {N_ {j}! (G_ {j} -N_ {j} )!}} \\ & \ simeq \ sum _ {j} \ left [G_ {j} \ ln G_ {j} -G_ {j} -N_ {j} \ ln N_ {j} + N_ {j} - (G_ {j} -N_ {j}) \ ln (G_ {j} -N_ {j}) + G_ {j} -N_ {j} \ right], \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = \ ln W = \ sum _ {j} \ ln {\ frac {G_ {j}!} {N_ {j}! (G_ {j} -N_ {j} )!}} \\ & \ simeq \ sum _ {j} \ left [G_ {j} \ ln G_ {j} -G_ {j} -N_ {j} \ ln N_ {j} + N_ {j} - (G_ {j} -N_ {j}) \ ln (G_ {j} -N_ {j}) + G_ {j} -N_ {j} \ right], \ end {align}}}

unde am folosit formula lui Stirling pentru factorial: ^[3]

\ln N!\simeq N\ln N-N.

{\ displaystyle \ ln N! \ simeq N \ ln NN.}

\ ln N! \ simeq N \ ln N-N.

O înțelegem așa

S=-\sum _{j}G_{j}\left[n_{j}\ln n_{j}+(1-n_{j})\ln(1-n_{j})\right],

{\ displaystyle S = - \ sum _ {j} G_ {j} \ left [n_ {j} \ ln n_ {j} + (1-n_ {j}) \ ln (1-n_ {j}) \ right ],}

{\ displaystyle S = - \ sum _ {j} G_ {j} \ left [n_ {j} \ ln n_ {j} + (1-n_ {j}) \ ln (1-n_ {j}) \ right ],}

care trebuie maximizat cu constrângeri

\sum _{j}G_{j}n_{j}=N;\qquad \sum _{j}G_{j}n_{j}\varepsilon _{j}=E.

{\ displaystyle \ sum _ {j} G_ {j} n_ {j} = N; \ qquad \ sum _ {j} G_ {j} n_ {j} \ varepsilon _ {j} = E.}

\ sum _ {j} G_ {j} n_ {j} = N; \ qquad \ sum _ {j} G_ {j} n_ {j} \ varepsilon _ {j} = E.

Aceasta este o problemă extremă constrânsă, care este rezolvată prin introducerea a doi multiplicatori Lagrange $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Soluția este:

{\frac {n_{j}}{1-n_{j}}}=\exp(\alpha -\beta \varepsilon _{j}).

{\ displaystyle {\ frac {n_ {j}} {1-n_ {j}}} = \ exp (\ alpha - \ beta \ varepsilon _ {j}).}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {j}} {1-n_ {j}}} = \ exp (\ alpha - \ beta \ varepsilon _ {j}).}

Rezolvarea cu privire la $n_{j}$ ${\ displaystyle n_ {j}}$ $n_ {j}$ primesti:

n_{j}={\frac {\exp(\beta \varepsilon _{j}-\alpha )}{\exp(\beta \varepsilon _{j}-\alpha )+1}},

{\ displaystyle n_ {j} = {\ frac {\ exp (\ beta \ varepsilon _ {j} - \ alpha)} {\ exp (\ beta \ varepsilon _ {j} - \ alpha) +1}},}

{\ displaystyle n_ {j} = {\ frac {\ exp (\ beta \ varepsilon _ {j} - \ alpha)} {\ exp (\ beta \ varepsilon _ {j} - \ alpha) +1}},}

care coincide cu distribuția Fermi dacă

\alpha ={\frac {\mu }{T}};\qquad \beta ={\frac {1}{T}}.

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ mu} {T}}; \ qquad \ beta = {\ frac {1} {T}}.}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ mu} {T}}; \ qquad \ beta = {\ frac {1} {T}}.}

Gaz Fermi degenerat

Același subiect în detaliu: gazul Fermi .

În limita temperaturii scăzute (practic aproape de zero absolut ), distribuția Fermi-Dirac își asumă o tendință de „pas”:

\left\langle n\right\rangle =\chi (\varepsilon -\mu _{0})

{\ displaystyle \ left \ langle n \ right \ rangle = \ chi (\ varepsilon - \ mu _ {0})}

\ left \ langle n \ right \ rangle = \ chi (\ varepsilon - \ mu _ {0})

unde este:

$\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este funcția caracteristică sau funcția indicator a intervalului $[0,\mu _{0}]$ ${\ displaystyle [0, \ mu _ {0}]}$ $[0, \ mu _ {0}]$ ;
$\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu_0$ este potențialul chimic a $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ ;

adică distribuția este 1 dacă $\varepsilon <\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon <\ mu _ {0}}$ $\ varepsilon <\ mu _ {0}$ și 0 dacă $\varepsilon >\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> \ mu _ {0}}$ $\ varepsilon> \ mu _ {0}$ .

În aceste condiții, sistemul ocupă toate și numai stările de particule unice cu energie mai mică decât o valoare maximă $\varepsilon _{F}=\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {F} = \ mu _ {0}}$ $\ varepsilon _ {F} = \ mu _ {0}$ , numită energie Fermi . Un gaz fermionic găsit în această situație se numește gaz Fermi degenerat și se caracterizează prin proprietăți particulare:

Ecuația de stare are forma $pV^{\gamma }=\mathrm {cost.}$ ${\ displaystyle pV ^ {\ gamma} = \ mathrm {cost.}}$ $pV ^ {\ gamma} = {\ mathrm {cost.}}$ , unde este $\gamma =5/3$ ${\ displaystyle \ gamma = 5/3}$ $\ gamma = 5/3$ , în loc de obicei $pV=\mathrm {cost.}$ ${\ displaystyle pV = \ mathrm {cost.}}$ $pV = {\ mathrm {cost.}}$
Căldura specifică este proporțională cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$
Prezența spinului de electroni dă naștere la fenomene de paramagnetism ( Pauli paramagnetism)