Istoria funcțiilor trigonometrice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Istoria funcțiilor trigonometrice se întinde pe aproximativ 4000 de ani. Există unele dovezi că babilonienii au fost primii care au folosit funcții trigonometrice (deși într-o formă încă primitivă), pe baza unui tabel de numere scrise pe un tabel cuneiform babilonian, Plimpton 322 (datând din 1900 până în î.Hr.), care poate fi interpretat ca o masă a secanților. [1] Există, totuși, încă o dezbatere deschisă dacă a fost sau nu un tabel trigonometric . Cea mai timpurie utilizare a funcției sinus apare în Sulba Sutras scrise în India antică între secolele VIII și VI î.Hr., care calculează corect sinusul lui π / 4 (45 ° ) ca 1 / √2 într-o procedură pentru problema opusă lui pătratul cercului , deși noțiunea de sine în sens general nu fusese încă dezvoltată. [2]

O reprezentare a artistului de Claudius Ptolemeu

Descriere

Mai târziu, funcțiile trigonometrice au fost studiate de Hipparchus din Niceea (180-125 î.Hr.), care a tabelat lungimile arcelor de circumferință (unghiul α înmulțit cu raza r ) împreună cu lungimea acordurilor subtende (2 r sin ( α / 2)). [3] În secolul al II-lea, Claudius Ptolemeu din Egipt a extins această lucrare în Almagestul său, derivând formule de adunare / scădere echivalente cu sin ( α + β ) și cos ( α + β ). Ptolemeu a derivat echivalentul formulei de bisecție sin 2 ( α / 2) = (1 - cos α ) / 2 și a compilat un tabel cu rezultatele sale. Nici tabelele lui Hipparh și nici cele ale lui Ptolemeu nu au supraviețuit, deși descrierile altor autori antici nu lasă puține îndoieli cu privire la existența lor. [4]

Următoarele evoluții majore în trigonometrie au avut loc în India . Matematicianul și astronomul Aryabhata (476-550), în lucrarea sa Aryabhata-Siddhanta , a definit pentru prima dată sinusul ca fiind relația modernă dintre jumătatea unui unghi și jumătatea coardei, definind și cosinusul, sinversul și reversul sânului. Lucrările sale conțin, de asemenea, cele mai vechi tabele supraviețuitoare ale valorilor sinusului și inversului (1 - cosinus), pentru intervale de 3,75 ° de la 0 ° la 90 °, cu o precizie de 4 cifre zecimale. El a folosit cuvintele jya pentru sinus, kojya pentru cosinus, ukramajya pentru invers și otkram jya pentru inversul sinusului. Cuvintele jya și kojya au devenit ulterior sinus și cosinus din cauza unei erori de traducere.

Cuvântul modern sine este derivat din cuvântul latin sinus , care înseamnă „golf” sau „intrare”, datorită unei erori de traducere (din arabă ) a cuvântului sanscrit jiva , altfel numit jya . [3] Aryabhata a folosit termenul ardha-jiva („jumătate de frânghie”), care a fost scurtat în jiva și apoi transliterat de arabi ca jiba (جب). Traducătorii europeni precum Robert din Chester și Gerard din Cremona , în Toledo din secolul al XII-lea, au confundat jiba pentru jaib (جب), care înseamnă „golf”, probabil pentru că jiba (جب) și jaib (جب) sunt scrise la fel în script. Arabă (care, în forma sa cea mai comună, nu oferă cititorului informații complete despre vocale).

Alți matematicieni indieni au extins mai târziu munca lui Aryabhata despre trigonometrie. Varāhamihira a dezvoltat formulele sin 2 x + cos 2 x = 1, sin x = cos (π / 2 - x ) și (1 - cos (2 x )) / 2 = sin 2 x . Bhaskara I a construit o formulă pentru calcularea sinusului unui unghi acut fără utilizarea tabelelor. Brahmagupta a dezvoltat formula 1 - sin 2 x = cos 2 x = sin 2 (π / 2 - x ) și formula de interpolare a lui Brahmagupta pentru a calcula valorile sinusurilor, care este un caz special al formulei de interpolare a lui Newton - Stirling până la a doua Ordin.

Lucrările indiene au fost ulterior traduse și extinse de către matematicienii musulmani . Matematicianul persan Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī a compilat tabele de sinusuri și tangente și a contribuit, de asemenea, la trigonometria sferică . Până în secolul al X-lea , în lucrările lui Abu'l-Wafa , matematicienii musulmani foloseau deja toate cele șase funcții trigonometrice principale și posedau tabele sinusale în trepte de 0,25 °, cu o precizie de 8 zecimale, cum ar fi tabelele pure de valori tangente. Abu'l-Wafa a dezvoltat, de asemenea, formula trigonometrică sin 2 x = 2 sin x cos x . Matematicianul persan Omar Khayyam a rezolvat ecuații cubice folosind soluții numerice aproximative găsite prin interpolare în tabelele trigonometrice.

Toate aceste lucrări de pionierat despre trigonometrie au fost în primul rând preocupate de aplicații în astronomie ; probabil primul tratament al trigonometriei ca subiect separat a fost cel al matematicianului indian Bhaskara II și al persanului Nasir al-Din Tusi , care s-au ocupat și de teorema sinusului și au enumerat cele șase cazuri distincte de triunghiuri cu unghi drept în trigonometrie sferică. Regiomontano a fost probabil primul matematician din Europa care s-a ocupat de trigonometrie ca disciplină matematică distinctă, în De triangulis omnimodus scris în 1464, precum și în tabula sa de mai târziu , care a inclus o funcție echivalentă cu tangenta modernă, deși nu era explicit numit.

În secolul al XIII-lea , matematicianul persan Nasir al-Din Tusi a enunțat legea cosinusului și a oferit o dovadă a acesteia. În lucrarea matematicianului persan Ghiyath al-Kashi ( secolul al XIV-lea ), există tabele trigonometrice care furnizează valorile funcției sinus cu o precizie de patru cifre sexagesimale (care este echivalent cu 8 cifre zecimale) pentru fiecare argument pentru intervale de 1 °, cu diferența de adăugat pentru fiecare șaizeci de grad. Matematicianul timurid (și împărat) Ulugh Ben (secolul al XIV-lea) a construit tabele trigonometrice precise de sinusuri și tangente cu o precizie de 8 zecimale.

Matematicianul indian Madhava din Sangamagramma (c. 1350 - c. 1425) a făcut mari progrese în analiza matematică a funcțiilor trigonometrice și a expansiunilor acestora în serii infinite . El a dezvoltat conceptul de serie de putere și seria Taylor și a produs expansiuni de serie trigonometrice pentru funcțiile sinus, cosinus, tangent și arctangent. Folosind aproximări din seria Taylor pentru sinus și cosinus, el a obținut un tabel sinusual cu 12 zecimale de precizie și un tabel cosinus cu 9 zecimale. El a dat, de asemenea, seria de putere pentru π, π / 4, raza , diametrul , circumferința și unghiul θ în ceea ce privește funcțiile trigonometrice. Lucrările sale au fost extinse de discipolii săi ai școlii din Kerala până în secolul al XVI-lea . [5]

Opus palatinum de triangulis al lui Rheticus , student al lui Nicolaus Copernicus , a fost probabil primul care a definit funcțiile trigonometrice direct în termeni de triunghiuri unghiulare mai degrabă decât de cercuri; de asemenea, conținea tabele pentru toate cele șase funcții trigonometrice; această lucrare a fost finalizată de studentul lui Rheticus Valentin Otho , în 1596 .

Antonio Sangiovanni , a doua echipă mobilă și aritmetică , 1686

În secolul al XVI-lea, invențiile instrumentelor pentru a facilita calculele trigonometrice au înflorit, inclusiv pătratul mobil dezvoltat de venețianul Ottavio Fabri .

Introducerea lui Leonardo Euler in analysin infinitorum (1748) a avut meritul de a stabili tratamentul analitic modern al funcțiilor trigonometrice în Europa, definindu-le prin serii infinite și prezentând formula lui Euler și ix = cos ( x ) + i sin ( x ). Euler folosește abrevierile din moment ce. , deci. , tang. , patut. , sec. și cosec. a rămas aproape neschimbată chiar și în utilizarea modernă. Brook Taylor a definit în general seria Taylor și a oferit expansiunile și aproximările seriei tuturor celor șase funcții trigonometrice. Lucrările lui James Gregory și Colin Maclaurin au avut, de asemenea , o influență notabilă în dezvoltarea seriei trigonometrice.

Notă

  1. ^ Iosif, pp. 383-4.
  2. ^ Iosif, p. 232.
  3. ^ a b O'Connor (1996).
  4. ^ Boyer, pp. 158–168.
  5. ^ O'Connor (2000); Pearce.

Bibliografie

Elemente conexe