Structură (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o structură pe un set este alcătuită din obiecte matematice suplimentare care se suprapun cumva asupra setului, permițându-i să fie vizualizat, lucrat, utilizat ca instrument de calcul și să atribuie un sens specific mulțimii și elementelor sale.

Unele structuri posibile sunt măsură , structuri algebrice ( grupuri , câmpuri etc.), topologii , metrici , ordonări , echivalențe și structuri diferențiale . Uneori, un set are structuri multiple simultan, ceea ce permite matematicienilor să studieze sinergia bogată care apare între structuri. De exemplu, o ordine induce o topologie . Un alt exemplu este constituit de seturi care sunt atât un grup, cât și o topologie și care, dacă cele două structuri sunt legate într-un anumit mod, devin grupuri topologice .

Aplicațiile între seturi care păstrează unele structuri (astfel încât structurile din domeniu sunt mapate în structurile echivalente ale codomainului) sunt foarte importante în multe domenii ale matematicii și se numesc morfisme . Un exemplu sunt homomorfismele , care păstrează structurile algebrice; homeomorfisme , care păstrează structurile topologice; și difeomorfisme , care păstrează structurile diferențiale.

Definiție formală

Date:

  • Un set,
  • Trei seturi disjuncte de indici,
  • O funcție,
  • Un set,
  • Un set,
  • Un set,

Se numește structura su cuaternul:

Mai mult, elementele se numesc elemente speciale ale . Cuaternul se numește tip de similitudine al . În cele din urmă, cardinalitatea lui , .

Structura spunem algebric dacă , și relațional dacă .

Exemplu: numere reale

Setul de numere reale are mai multe structuri standard:

  • ordinea liniară : fiecare număr este fie mai mic, fie mai mare decât orice alt număr;
  • structură algebrică: există operații de multiplicare și adunare care îl fac un câmp ;
  • metrică: există o noțiune de distanță între puncte;
  • măsură: este posibil să atribuiți o măsură anumitor subseturi ale acesteia (de obicei, borelienii );
  • geometrie: întregul are o metrică și este plat (respectă axiomele planului euclidian );
  • topologie: există o noțiune de set deschis .

Apoi, există corelații între toate aceste structuri:

  • metrica induce topologia;
  • ordinea și structura algebrică îl fac un câmp ordonat ;
  • structura câmpului și topologia îl fac un grup Lie , care este un anumit tip de grup topologic .

Elemente conexe

Controlul autorității GND ( DE ) 4183783-6
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică