structura cauzala

Structura cauzală a unui colector Lorentz descrie relațiile cauzale între puncte ale galeriei.

Introducere

În fizica modernă, în special în teoria relativității , spațiu - timp este reprezentat de un colector Lorentz. Punctele multiple sunt interpretate ca evenimente în spațiu-timp și relația rezultatele lor de cauzalitate în faptul că evenimentele (adică multiple puncte) pot influența alte evenimente.

În spațiu - timp Minkowski lui , fiecare eveniment O identifică un con de lumină care se divide în regiuni distincte spațio - temporale: viitorul (set de puncte care pot fi influențate de O), trecut (evenimentele care au influențat O) și în prezent (evenimente care au nici o corelație cauzală cu O)

Lui Minkowski spațiu - timp , tipic de construcții relativitatii , este un exemplu de o varietate Lorentzian cu (adică plat) curbură zero. Structura cauzală a Minkoski este spațiu - timp simplificată: pentru fiecare eveniment este posibil să se traseze un con de lumină și de a împărți spațiul în regiuni disjuncte: viitorul, trecutul și prezentul evenimentului, așa cum se arată în figură.

Cu toate acestea, în relativitatea generală a galeriei în care trăiește teorie (adică, spațiu - timp) , în general , poate avea o curbură . Structura cauzală este determinată prin trasarea curbelor (adică funcțiile regulate ^[1] ) care conectează două puncte în spațiu - timp. Condițiile privind vectorii tangent la curba defini relația cauzală dintre cele două puncte (și natura cauzală a curbei în sine).

structura cauzala

este $\,(M,g)$ ${\ Displaystyle \, (M, g)}$ ${\ Displaystyle \, (M, g)}$ o varietate Lorenzian $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ echipat cu valori $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Metrica are semnătură ^[2]

g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\

{\ Displaystyle g = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix }} \}

{\ Displaystyle g = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix }} \}

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un vector aparținând spațiului tangent $V_{P}$ ${\ V_ displaystyle {P}}$ ${\ V_ displaystyle {P}}$ a unui punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a soiului $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Acesta poate fi clasificat în trei familii distincte , în funcție de semnul său pătrat norma ^[3] $||X||^{2}=g(X,X)=g_{ab}X^{a}X^{b}=X_{a}X^{a}$ ${\ Displaystyle || X || ^ {2} = g (X, X) = g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} = X_ {a} X ^ {a}}$ ${\ Displaystyle || X || ^ {2} = g (X, X) = g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} = X_ {a} X ^ {a}}$ :

vectorii de tip timp () dacă temporale $\,g(X,X)<0$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) <0}$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) <0}$
vectori nuli sau vectori lightlike dacă $\,g(X,X)=0$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) = 0}$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) = 0}$
vectorii de tip spațial (spacelike) dacă $\,g(X,X)>0$ ${\ Displaystyle \, g (X, X)> 0}$ ${\ Displaystyle \, g (X, X)> 0}$

Definițiile depind de faptul dacă am folosit convenția $(-,+,+,+,\cdots )$ ${\ Displaystyle (-, +, +, +, \ cdots)}$ ${\ Displaystyle (-, +, +, +, \ cdots)}$ pentru semnătura metricii). Evident, în inegalitățile anterioare, este necesar să se schimbe direcția inegalităților în cazul în care convenția este schimbată.

Aceste nume sunt, de asemenea, utilizate în cazul Minkowski spațiu-timp. În acest caz, putem spune că punctele de Minkowski conectate printr-un spațiu-timp vector de timp sau tipul de lumină sunt corelate cauzal, în timp ce între puncte legate de vectori de tipul de spațiu nu există nici o corelație cauzală.

ajustabilitate temporal

În fiecare punct al soiului $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Vectorii care aparțin temporale spațiului tangent al punctului poate fi împărțită în două clase de echivalență . Pentru aceasta definim o relație de echivalență între perechile de vectori tangente temporale.

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt doi vectori tangente la un temporale punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ să spunem că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt echivalente (și este scris $X\sim Y$ ${\ Displaystyle X \ sim Y}$ ${\ Displaystyle X \ sim Y}$ ) de sine $\,g(X,Y)>0$ ${\ Displaystyle \, g (X, Y)> 0}$ ${\ Displaystyle \, g (X, Y)> 0}$ ^[4] .

Două clase de echivalență sunt identificate, putem apela unul dintre aceste clase ca clasa de echivalență a viitoarelor vectori directe temporale (vectori direcționată în viitor) și cealaltă clasă de vectori direcți din trecut (vectori direcționată din trecut). Vectorii Lightlike sunt excluse de la aceste două clase. Fizic, identificarea viitoare directe și vectori directe din trecut corespunde alegerea unei direcții pentru timp direcția. Una dintre cele două clase pot fi extinse pentru a include lightlike vectori, precum și.

O varietate Loretzian este timp orientabila ^[5] în cazul în care este posibil să harta structura cauzală cu privire la toate punctele de colectorul cu continuitate, sau în cazul în care este posibil să cartografieze împreună clasele de viitor directe și vectori directe din trecut în raport cu spațiile tangenta diferite puncte ale soiului. Un alt mod de a descrie orientability temporale este posibilitatea de cartografiere viitor și trecut straturi de conuri de lumină în fiecare punct între ele.

curbe

Cele (regulate) Curbele $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Adică funcții continue și cu derivați continue din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $\gamma (t)=P$ ${\ Displaystyle \ gamma (t) = P}$ ${\ Displaystyle \ gamma (t) = P}$ pot fi clasificate în

curbe cronologice (sau) în cazul în care temporale vectorul tangent la fiecare punct al curbei este. temporale
curbe nule (sau lightlike) dacă vectorul tangent este lightlike.
Curbele spacelike dacă vectorul tangent la fiecare punct al curbei este spacelike.
cauzal (sau non-spacelike) curbe dacă vectorul tangent este sau nulă în temporale orice punct de pe curba.

În cazul în care colectorul este temporal orientabila, curbele cronologice și cauzale pot fi clasificate în funcție de orientarea lor temporală: ele pot fi împărțite în viitor sau cronologică trecut (cauzale) curbele în funcție dacă vectorii lor tangente sunt temporale (sau chiar nul pentru curbe de cauzalitate) viitor directă sau în trecut directă.

Aceste definiții se aplică numai curbele cronologice și cauzale, deoarece numai aceste clase de curbe au vectori tangentă la care pot fi atribuite o orientare de timp.

Ipoteza regularității implică faptul că vectorul tangent nu este niciodată zero (este necesar să se facă această ipoteză , astfel încât curbele cauzale închise nu sunt permise, cum ar fi, de exemplu, curbele a căror imagine este un singur punct) ^{[ fără sursă ].}

relații cauzale

Având în vedere două puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ a soiului $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este posibil să se identifice diferite relații de cauzalitate între ele:

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ precede cronologic $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ (Adesea notată cu $\,P\ll Q$ ${\ Displaystyle \, P \ ll Q}$ ${\ Displaystyle \, P \ ll Q}$ ) În cazul în care există un viitor directă care unește curba temporale $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ la $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ precede o relație de cauzalitate $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ (Adesea notată cu $P\prec Q$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC}$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC}$ sau $P\leq Q$ ${\ Displaystyle P \ leq Q}$ ${\ Displaystyle P \ leq Q}$ ) În cazul în care există un viitor de cauzalitate directă (non-spacelike) curbă care unește $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ la $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sau $P=Q$ ${\ Displaystyle P = Q}$ ${\ Displaystyle P = Q}$ ^{[ fără sursă ]} . Se spune că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ precede în sens cauzal strict $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ( $x<y$ ${\ displaystyle x <y}$ $x <y$ ) cand $P\neq Q$ ${\ Displaystyle P \ neq Q}$ ${\ Displaystyle P \ neq Q}$ .

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ horismos $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ ^[6] (adesea notată $x\to y$ ${\ Displaystyle x \ y}$ ${\ displaystyle x \ to y}$ sau $x\nearrow y$ ${\ Displaystyle x \ y} nearrow$ ${\ Displaystyle x \ y} nearrow$ ) dacă $x\prec y$ ${\ Displaystyle x \ y} PREC$ ${\ Displaystyle x \ y} PREC$ și $x\not \ll y$ ${\ Displaystyle x \ nu \ ll y}$ ${\ Displaystyle x \ nu \ ll y}$ ^{[ fără sursă ]}
$P\ll Q$ ${\ Displaystyle P \ ll Q}$ ${\ Displaystyle P \ ll Q}$ , $Q\prec Z$ ${\ Displaystyle Q \ Z} PREC$ ${\ Displaystyle Q \ Z} PREC$ implica $P\ll Z$ ${\ Displaystyle P \ ll Z}$ ${\ Displaystyle P \ ll Z}$
$P\prec Q$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC}$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC}$ , $Q\ll Z$ ${\ Displaystyle Q \ ll Z}$ ${\ Displaystyle Q \ ll Z}$ implica $P\ll Z$ ${\ Displaystyle P \ ll Z}$ ${\ Displaystyle P \ ll Z}$

structura cauzala

Pentru un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ următoarele seturi sunt definite ^[6] :

Viitorul cronologic al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , indicat cu $\,I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ , Este definită ca mulțimea tuturor punctelor $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ precede cronologic $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ : $\,I^{+}(P)=\{Q\in M|P\ll Q\}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P) = \ {Q \ în M | P \ ll Q \}}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P) = \ {Q \ în M | P \ ll Q \}}$

Trecutul cronologică $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , indicat cu $\,I^{-}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P)}$ , Este definită ca mulțimea tuturor punctelor $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ precede cronologic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ : $\,I^{-}(P)=\{Q\in M|Q\ll P\}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P) = \ {Q \ în M | Q \ ll P \}}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P) = \ {Q \ în M | Q \ ll P \}}$

În mod similar, următoarele sunt definite:

Viitorul cauzal ( de asemenea , numit viitorul absolută) de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , indicat cu $\,J^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ , Este definită ca mulțimea tuturor punctelor $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ precede în mod aleatoriu $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ : $\,J^{+}(P)=\{Q\in M|P\prec Q\}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P) = \ {Q \ în M | P \ Q PREC \}}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P) = \ {Q \ în M | P \ Q PREC \}}$

Trecutul aleatoriu ( de asemenea , numit în trecut absolută) de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , indicat cu $\,J^{-}(P)$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P)}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P)}$ , Este definită ca mulțimea tuturor punctelor $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ precede în mod aleatoriu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ : $\,J^{-}(P)=\{Q\in M|Q\prec P\}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P) = \ {Q \ în M | Q \ P PREC \}}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P) = \ {Q \ în M | Q \ P PREC \}}$

definiții echivalente ale seturilor pot fi date $\,I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ , $\,I^{-}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (P)}$ , $\,J^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ , $\,J^{-}(P)$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P)}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {-} (P)}$ utilizarea curbelor. De exemplu, punctele de $\,I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ poate fi definit ca punctele care pot fi atinse de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ printr-un viitor directe temporale, și anume $\,I^{+}(P)=\{Q\in M|$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P) = \ {Q \ în M |}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P) = \ {Q \ în M |}$ $\exists$ ${\ Displaystyle \ există}$ $\ există$ $\gamma (t)$ ${\ Displaystyle \ gamma (t)}$ ${\ Displaystyle \ gamma (t)}$ viitor curba cronologică directă $|\gamma (0)=P,\gamma (1)=Q\}$ ${\ Displaystyle | \ gamma (0) = P, \ gamma (1) = Q \}}$ ${\ Displaystyle | \ gamma (0) = P, \ gamma (1) = Q \}}$ ^[7] . Definiții similare sunt date pentru celelalte seturi.

Ca un exemplu simplu, în Minkowski Spacetime set $\,I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ este interiorul de viitorului con de lumină centrat în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Întregul $\,J^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, J ^ {+} (P)}$ este întregul con viitor în lumină $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ (Inclusiv, de asemenea, conul în sine, adică muchia care în $\,I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P)}$ ).

Seturile $\,I^{+}(P),I^{-}(P),J^{+}(P),J^{-}(P)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P), I ^ {-} (P), J ^ {+} (P), J ^ {-} (P)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (P), I ^ {-} (P), J ^ {+} (P), J ^ {-} (P)}$ definite pentru toate punctele $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Sunt numite cauzale structura $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Având în vedere un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt definite ca: ^[6]

I^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)

{\ Displaystyle I ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} I ^ {\ pm} (x)}

{\ Displaystyle I ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} I ^ {\ pm} (x)}

J^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)

{\ J displaystyle ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} J ^ {\ pm} (x)}

{\ J displaystyle ^ {\ pm} (S) = \ bigcup _ {x \ in S} J ^ {\ pm} (x)}

Date $S., T.$ ${\ S displaystyle, T}$ ${\ S displaystyle, T}$ două subseturi de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ei se definesc:

Viitorul cronologic al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ referitoare la $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ ": $I^{+}(S,T)=I^{+}(S)\cap T$ ${\ I displaystyle ^ {+} (S, T) = I ^ {+} (S) \ capac T}$ ${\ I displaystyle ^ {+} (S, T) = I ^ {+} (S) \ capac T}$

Viitorul cauzal al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ referitoare la $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ ": $J^{+}(S,T)=J^{+}(S)\cap T$ ${\ J displaystyle ^ {+} (S, T) = J ^ {+} (S) \ capac T}$ ${\ J displaystyle ^ {+} (S, T) = J ^ {+} (S) \ capac T}$

Și în mod similar trecutul cronologic și cauzal trecut.

Proprietate

Un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ aparține lui $\,I^{-}(Q)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (Q)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {-} (Q)}$ dacă și numai dacă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ aparține lui $\,I^{+}(x)$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (x)}$ ${\ Displaystyle \, I ^ {+} (x)}$ .
$P\prec Q\implies I^{-}(P)\subset I^{-}(Q)$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC \ implică I ^ {-} (P) \ subset I ^ {-} (Q)}$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC \ implică I ^ {-} (P) \ subset I ^ {-} (Q)}$
$P\prec Q\implies I^{+}(Q)\subset I^{+}(P)$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC \ implică I ^ {+} (Q) \ subset I ^ {+} (P)}$ ${\ Displaystyle P \ Q PREC \ implică I ^ {+} (Q) \ subset I ^ {+} (P)}$
$I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]$ ${\ Displaystyle I ^ {+} [S] = I ^ {+} [I ^ {+} [S]] \ subset J ^ {+} [S] = J ^ {+} [J ^ {+} [ S]]}$ ${\ Displaystyle I ^ {+} [S] = I ^ {+} [I ^ {+} [S]] \ subset J ^ {+} [S] = J ^ {+} [J ^ {+} [ S]]}$
$I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]$ ${\ I displaystyle ^ {-} [S] = I ^ {-} [I ^ {-} [S]] \ subset J ^ {-} [S] = J ^ {-} [J ^ {-} [ S]]}$ ${\ I displaystyle ^ {-} [S] = I ^ {-} [I ^ {-} [S]] \ subset J ^ {-} [S] = J ^ {-} [J ^ {-} [ S]]}$

Topologice proprietăți ale structurii cauzale:

$I^{\pm }(x)$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} (x)}$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} (x)}$ este deschis pentru toți $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .
$I^{\pm }[S]$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} [S]}$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} [S]}$ este deschis pentru toate subgrupurile $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $S\subset M$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ .
$I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} [S] = I ^ {\ pm} [{\ overline {S}}]}$ ${\ Displaystyle I ^ {\ pm} [S] = I ^ {\ pm} [{\ overline {S}}]}$ pentru toate subgrupurile $S\subset M$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ ${\ displaystyle S \ subset M}$ . ${\overline {S}}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {S}}}$ indică închiderea unui subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
$J^{\pm }[S]\subset {\overline {I^{\pm }[S]}}$ ${\ J displaystyle ^ {\ pm} [S] \ subset {\ overline {I ^ {\ pm} [S]}}}$ ${\ J displaystyle ^ {\ pm} [S] \ subset {\ overline {I ^ {\ pm} [S]}}}$

geometria Conformal

Același subiect în detaliu: harta Conformitate .

două valori $\,g$ ${\ displaystyle \, g}$ ${\ displaystyle \, g}$ Și ${\hat {g}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}}}$ se spune că sunt corelate în mod corespunzător ^[8] în cazul în care există o funcție $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ reale și regulate (de exemplu, clasa $C^{\infty }$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ ), A declarat factorul conform, astfel încât ${\hat {g}}=\Omega ^{2}g$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}} = \ Omega ^ {2} g}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}} = \ Omega ^ {2} g}$ .

Acesta poate fi verificată în mod direct prin substituții care transformări conforme nu modifică structura cauzală atribuit soiului cu metrica $\,g$ ${\ displaystyle \, g}$ ${\ displaystyle \, g}$ . De exemplu, fie că este vorba $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un vector de tangentă aparținând temporale la spațiul tangenta al punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu metrica $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Apoi, utilizând convenția anterioară $\,g(X,X)=g_{ab}X^{a}X^{b}<0$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) = g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} <0}$ ${\ Displaystyle \, g (X, X) = g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} <0}$ . După o transformare conformal avem ${\hat {g}}(X,X)={\hat {g}}_{ab}X^{a}X^{b}=\Omega ^{2}g_{ab}X^{a}X^{b}>0$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}} (X, X) = {\ hat {g}} _ {ab} X ^ {a} X ^ {b} = \ Omega ^ {2} g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}> 0}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}} (X, X) = {\ hat {g}} _ {ab} X ^ {a} X ^ {b} = \ Omega ^ {2} g_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}> 0}$ astfel încât $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un vector în raport temporale ${\hat {g}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {g}}}$ .

Notă

^ Prin funcția regulată ne referim la o funcție continuă și cu un număr de derivați suficiente pentru dezvoltarea teoriei, un bun exemplu de funcții regulate sunt funcțiile de clasă $C^{\infty }$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ .
^ Există două convenții diferite pe semnul matricei metric: cel prezentat, de asemenea , descris ca fiind - +++, prin faptul că $g=diag(-1,+1,+1,+1)$ ${\ Displaystyle g = diag (-1, + 1, + 1 + 1)}$ ${\ Displaystyle g = diag (-1, + 1, + 1 + 1)}$ , Este , de asemenea , cunoscut sub numele de Convenția de la est-coasta de vest și Convenția-coasta opusă, + --- în cazul în care $g=diag(+1,-1,-1,-1)$ ${\ Displaystyle g = diag (+ 1, -1, -1, -1)}$ ${\ Displaystyle g = diag (+ 1, -1, -1, -1)}$ .
^ Convenția lui Einstein vor fi utilizate mai jos , iar simbolul însumării va fi omisă
^ Rețineți că direcția acestei inegalități nu depinde de convenția utilizată pentru semnarea metricii
^(EN) Hawking și Israel , p. 255
^ ^A ^b ^c Penrose , p. 15
^ În cazul în care există un viitor directă cronologică curba de legare $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , Atunci este posibil să - l reparameterize , astfel încât $\gamma (0)=P,\gamma (1)=Q$ ${\ Displaystyle \ gamma (0) = P, \ gamma (1) = Q}$ ${\ Displaystyle \ gamma (0) = P, \ gamma (1) = Q}$ .
^ Hawking și Ellis , p. 42