Succesiune cauchy

În matematică , o succesiune de Cauchy sau secvență fundamentală este o secvență astfel încât, în orice caz, este o distanță fixă arbitrar mică $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , de la un anumit punct înainte toate elementele secvenței au o distanță reciprocă mai mică de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Fiecare secvență convergentă este din Cauchy, iar acest nume se datorează matematicianului și inginerului Augustin-Louis Cauchy .

Definiție

Acesta definește o succesiune de succesiune Cauchy $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ {x_ {n} \} _ {{n \ in {\ mathbb N}}}$ la valori într-un spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ astfel încât pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $N(\varepsilon )=N$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon) = N}$ $N (\ varepsilon) = N$ astfel încât pentru toți $m,n\geq N$ ${\ displaystyle m, n \ geq N}$ $m, n \ geq N$ apare: ^[1]

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon}

d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon

Definiția indică faptul că, pe măsură ce indicele tinde spre infinit, distanța în spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ între cele două elemente ale succesiunii tinde să se anuleze reciproc.

Fiecare secvență care converge în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este de la Cauchy, așa cum se arată considerând o secvență convergentă $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\to x$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ to x}$ $\ {x_ {n} \} _ {{n \ în {\ mathbb N}}} \ to x$ . Există apoi un index $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât:

d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad \forall n>N

{\ displaystyle d (x_ {n}, x) <{\ frac {\ varepsilon} {2}} \ qquad \ forall n> N}

d (x_ {n}, x) <{\ frac {\ varepsilon} {2}} \ qquad \ forall n> N

Luând în considerare atunci $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ mai mult decât $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în consecință avem:

d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) <{\ frac {\ varepsilon} {2}} + {\ frac {\ varepsilon} {2}} = \ varepsilon}

d (x_ {n}, x_ {m}) <{\ frac {\ varepsilon} {2}} + {\ frac {\ varepsilon} {2}} = \ varepsilon

Dimpotrivă, o secvență Cauchy nu trebuie neapărat să convergă. Dacă toate secvențele Cauchy ale spațiului metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ au o limită în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ se numește spațiu metric complet . ^[2] Având în vedere un spațiu metric, este întotdeauna posibil să „extindeți” spațiul pentru ao face complet . Un spațiu normat complet, în raport cu metrica indusă de normă, se numește spațiu Banach .

Fiecare secvență Cauchy este limitată și fiecare subsecvență a unei secvențe Cauchy care tinde spre o limită $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Tinde să $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

Câteva teoreme despre secvențele Cauchy

Se spune diametrul unui anumit set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ într-un spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ extremul superior :

\sup _{p,q\in E}\,d(p,q)

{\ displaystyle \ sup _ {p, q \ în E} \, d (p, q)}

\ sup _ {{p, q \ în E}} \, d (p, q)

și este indicat cu:

{\mbox{diam }}E

{\ displaystyle {\ mbox {diam}} E}

{\ mbox {diam}} E

în analogie cu diametrul cercului , deoarece pentru oricare două puncte aparținând unui cerc distanța lor este întotdeauna mai mică (cel mult egală) cu diametrul cercului în sine.

Teorema Boundity a secvențelor Cauchy

Este $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ o secvență Cauchy în $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ . Atunci $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ este limitat în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Într-adevăr, prin definiția secvenței Cauchy, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $N(\varepsilon )=N$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon) = N}$ $N (\ varepsilon) = N$ astfel încât:

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon \qquad \forall \,m,n\geq N

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon \ qquad \ forall \, m, n \ geq N}

d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon \ qquad \ forall \, m, n \ geq N

și de aceea există $N_{*}$ ${\ displaystyle N _ {*}}$ $N _ {*}$ care satisface:

d(x_{n},x_{m})<1\qquad \forall \,m,n\geq N_{*}

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) <1 \ qquad \ forall \, m, n \ geq N _ {*}}

d (x_ {n}, x_ {m}) <1 \ qquad \ forall \, m, n \ geq N _ {*}

de la care:

d(x_{n},x_{N_{*}})<1\qquad \forall n\geq N_{*}

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {N _ {*}}) <1 \ qquad \ forall n \ geq N _ {*}}

d (x_ {n}, x _ {{N _ {*}}}) <1 \ qquad \ forall n \ geq N _ {*}

Este:

r=\max\{1,d(x_{1},x_{N_{*}}),d(x_{2},x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}

{\ displaystyle r = \ max \ {1, d (x_ {1}, x_ {N _ {*}}), d (x_ {2}, x_ {N _ {*}}), \ dots, d ( x_ {N _ {*} - 1}, x_ {N _ {*}}) \}}

r = \ max \ {1, d (x_ {1}, x _ {{N _ {*}}}), d (x_ {2}, x _ {{N _ {*}}}), \ dots , d (x_ {{N _ {*} - 1}}, x _ {{N _ {*}}}) \}

Atunci:

d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N*})+d(x_{m},x_{N*})\leq r+r=2r\qquad \forall n,m

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) \ leq d (x_ {n}, x_ {N *}) + d (x_ {m}, x_ {N *}) \ leq r + r = 2r \ qquad \ forall n, m}

d (x_ {n}, x_ {m}) \ leq d (x_ {n}, x _ {{N *}}) + d (x_ {m}, x _ {{N *}}) \ leq r + r = 2r \ qquad \ forall n, m

Prin urmare $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ este limitat.

Teorema implicației din convergență

Este $\{p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $\ {p_ {n} \}$ convergent. Atunci $\{p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $\ {p_ {n} \}$ este o secvență Cauchy.

De fapt, prin definiția convergenței, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ se poate găsi $N(\varepsilon )=N$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon) = N}$ $N (\ varepsilon) = N$ astfel încât să existe $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care satisface:

d(p_{n},p)<\varepsilon \qquad \forall n\geq N

{\ displaystyle d (p_ {n}, p) <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ geq N}

d (p_ {n}, p) <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ geq N

Prin urmare, există un indice de succesiune $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ $m \ geq n$ pentru care, aplicând inegalitatea triunghiulară , avem

d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon

{\ displaystyle d (p_ {n}, p_ {m}) \ leq d (p_ {m}, p) + d (p, p_ {n}) <2 \, \ varepsilon}

d (p_ {n}, p_ {m}) \ leq d (p_ {m}, p) + d (p, p_ {n}) <2 \, \ varepsilon

Deci teorema este dovedită.

Teorema convergenței în spații metrice

Este $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ , cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ compact și $\{p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $\ {p_ {n} \}$ o secvență Cauchy în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Atunci $\{p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $\ {p_ {n} \}$ converge la un moment dat de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

De fapt, ambele, după cum sa menționat, $\{p_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {n} \}}$ $\ {p_ {n} \}$ o secvență Cauchy. Pentru fiecare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ număr natural, construiește-l $E_{N}$ ${\ displaystyle E_ {N}}$ $E_ {N}$ În felul următor:

E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\dots \}

{\ displaystyle E_ {N} \ ,: = \, \ {p_ {N}, p_ {N + 1}, p_ {N + 2}, \ dots \}}

E_ {N} \ ,: = \, \ {p_ {N}, p ​​_ {{N + 1}}, p _ {{N + 2}}, \ dots \}

{\overline {E}}_{N}\subset X\qquad \forall \,N

{\ displaystyle {\ overline {E}} _ {N} \ subset X \ qquad \ forall \, N}

\ overline {E} _ {N} \ subset X \ qquad \ forall \, N

unde este ${\overline {E}}$ ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$ $\ overline {E}$ este închiderea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ (unirea întregului cu punctele sale de acumulare ). Deoarece acestea sunt seturi închise într-un compact, ele sunt la rândul lor compacte, deci:

\lim _{N\to \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \! {\ mbox {diam}} {\ overline {E}} _ {N} = 0}

\ lim _ {{N \ to \ infty}} \! {\ mbox {diam}} \ overline {E} _ {N} = 0

În plus:

E_{N}\supset E_{N+1}

{\ displaystyle E_ {N} \ supset E_ {N + 1}}

E_ {N} \ supset E _ {{N + 1}}

Ceea ce implică:

{\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}

{\ displaystyle {\ overline {E}} _ {N} \ supset {\ overline {E}} _ {N + 1}}

\ overline {E} _ {{N}} \ supset \ overline {E} _ {{N + 1}}

și, prin urmare, există doar unul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $p\in X$ ${\ displaystyle p \ în X}$ $p \ în X$ pentru fiecare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . În acest moment, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există ${\tilde {N}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {N}}}$ ${\ tilde {N}}$ astfel încât:

{\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \qquad \forall \,N\geq {\tilde {N}}

{\ displaystyle {\ mbox {diam}} \, {\ overline {E}} _ {N} <\ varepsilon \ qquad \ forall \, N \ geq {\ tilde {N}}}

{\ mbox {diam}} \, \ overline {E} _ {N} <\ varepsilon \ qquad \ forall \, N \ geq {\ tilde {N}}

de la care:

d(p,q)<\varepsilon \qquad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N}

{\ displaystyle d (p, q) <\ varepsilon \ qquad \ forall \, q \ in {\ overline {E}} _ {N}}

d (p, q) <\ varepsilon \ qquad \ forall \, q \ in \ overline {E} _ {N}

Ceea ce implică:

d(p,p_{n})<\varepsilon \qquad \forall n\geq {\tilde {N}}

{\ displaystyle d (p, p_ {n}) <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ geq {\ tilde {N}}}

d (p, p_ {n}) <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ geq {\ tilde {N}}

care înseamnă $p_{n}\to p$ ${\ displaystyle p_ {n} \ to p}$ $p_ {n} \ to p$ , adică secvența converge.

Teorema completitudinii R ^k

Se spune că un spațiu metric este complet atunci când condiția Cauchy pentru secvențe este o condiție suficientă pentru convergență. Teorema afirmă că în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ fiecare secvență Cauchy converge.

De fapt, luând o secvență Cauchy $\{\mathbf {x} _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {n} \}}$ $\ {{\ mathbf {x}} _ {n} \}$ la valori în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ , atât ca pentru teorema anterioară:

E_{N}\,:=\,\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\dots \}

{\ displaystyle E_ {N} \ ,: = \, \ {x_ {N}, x_ {N + 1}, x_ {N + 2}, \ dots \}}

{\ displaystyle E_ {N} \ ,: = \, \ {x_ {N}, x_ {N + 1}, x_ {N + 2}, \ dots \}}

Atunci este posibil să construim pentru unii $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ A $E_{N}$ ${\ displaystyle E_ {N}}$ $E_ {N}$ astfel încât ${\mbox{diam}}\,E_{n}<1$ ${\ displaystyle {\ mbox {diam}} \, E_ {n} <1}$ ${\ mbox {diam}} \, E_ {n} <1$ . Prin urmare, succesiunea este limitată, deoarece pe de o parte există un set finit, cel al întregului $\{x_{1},...,x_{N-1}\}\,$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, ..., x_ {N-1} \} \,}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, ..., x_ {N-1} \} \,}$ , iar pe de altă parte există $E_{N}$ ${\ displaystyle E_ {N}}$ $E_ {N}$ . Prin teorema Heine-Borel, un subset delimitat în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ are închidere compactă, așa că ne întoarcem în cazul teoremei anterioare. Acest lucru dovedește completitudinea $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {k}$ .

Numere raționale și numere reale

Nu toate secvențele Cauchy converg: de exemplu, în spațiul numerelor raționale , secvența

x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}

{\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {F_ {n + 1}} {F_ {n}}}}

x_ {n} = {\ frac {F _ {{n + 1}}} {F_ {n}}}

unde este $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ sunt numerele secvenței Fibonacci , este a lui Cauchy și tinde spre un număr care verifică $x^{2}=x+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} = x + 1}$ $x ^ {2} = x + 1$ , dar niciun rațional nu are această proprietate. Prin urmare, este necesar să se construiască un nou tip de numere; aceasta este una dintre modalitățile de a obține setul de numere reale pornind de la raționale.

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 5 .
^ Reed, Simon , Pagina 6 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed și Barry Simon , Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, ed. A II-a. , San Diego , California , Academic Press , 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
(EN) Walter Rudin , Principiile analizei matematice, New York , McGraw-Hill, Inc. , 1953, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse despre succesiunea lui Cauchy

linkuri externe

( EN ) Cauchy Succession , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 5 .

[2] Reed, Simon , Pagina 6 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy