Secvența Fibonacci

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Secvența Fibonacci (numită și secvența de aur ), indicată cu sau cu , În matematică indică o succesiune de numere întregi în care fiecare număr este suma celor două precedente, cu excepția primelor două care sunt, prin definiție [1] : Și . Această secvență este definită recursiv conform următoarei reguli:

(pentru fiecare n> 1)

Elementele se mai numesc numere Fibonacci . Primii termeni ai secvenței Fibonacci, care își ia numele de la matematicianul pisan din secolul al XIII-lea Leonardo Fibonacci , sunt:

Istorie

Intenția lui Leonardo Fibonacci a fost de a găsi o lege matematică care să descrie creșterea unei populații de iepuri.

Presupunând prin ipoteză că:

  • ai o pereche de iepuri nou-născuți
  • acest prim cuplu devine fertil la sfârșitul primei luni și dă naștere unui nou cuplu la sfârșitul celei de-a doua luni;
  • cuplurile nou-născute se comportă în mod similar;
  • cuplurile fertile începând cu a doua lună de viață dau naștere unui cuplu de copii pe lună;

se întâmplă următoarele:

  • după o lună, câțiva iepuri vor fi fertili,
  • după două luni vor exista două cupluri dintre care doar unul este fertil,
  • în luna următoare, a treia lună de la momentul inițial, vor fi acolo cupluri pentru că doar cuplul fertil va fi generat; din aceste trei, două vor fi cupluri fertile, prin urmare
  • în luna următoare (a patra lună de la momentul inițial) vor fi acolo cupluri

În acest exemplu, numărul de perechi de iepuri în fiecare lună exprimă secvența Fibonacci.

Proprietate

Raportul , pentru având tendința la infinit, având tendința la numărul algebric irațional numită secțiunea de aur sau numărul Fidiei . În termeni matematici:

unde este

De fapt, dacă spunem se dovedește

de aici rezultă că , sau . Această ecuație are soluții , dar deoarece secvența Fibonacci crește cu siguranță: de aceea

.

Relația dintre un număr Fibonacci și următorul său tinde spre reciprocitatea secțiunii de aur

Pentru urmează următoarele relații:

la)
b)

Avem că -numărul Fibonacci poate fi exprimat cu formula:

Această formulă elegantă este cunoscută sub numele de formula Binet . Jacques Binet a dovedit-o în 1843, însă era deja cunoscută în secolul al XVIII-lea de Euler , Abraham de Moivre și Daniel Bernoulli . Această expresie pentru poate fi calculat prin intermediul transformatei zeta .

Uneori este convenabil să se utilizeze succesiunea bilaterală, adică o succesiune definită pe numerele întregi în loc de pe cele naturale, constând din numere întregi prin adăugarea la termenii anteriori a termenilor

Pornind de la numerele Fibonacci și secțiunea aurie, pot fi definite câteva funcții speciale: cosinus hiperbolic Fibonacci , cotangentă hiperbolică Fibonacci , sinus hiperbolic Fibonacci , tangentă hiperbolică Fibonacci .

Relațiile cu triunghiul lui Tartaglia și coeficienții binomiali

Triunghiul lui Tartaglia este o faimoasă reprezentare a coeficienților binomiali obținuți din dezvoltarea binomului lui Newton , unde este este o linie a triunghiului:

Primele linii ale triunghiului Tartaglia

Pentru a arăta că există o relație între triunghiul și numerele Fibonacci, rescriem numerele triunghiului după cum urmează:

Seria Fibonacci obținută din triunghiul Tartaglia

Începând de la prima linie roșie din partea de sus, dacă adunați numerele traversate de fiecare linie, obțineți secvența Fibonacci.

Relația cu coeficienții binomiali este:

Numere Fibonacci și factori comuni

De sine , asa de , adică orice multiplu din găsiți un număr Fibonacci multiplu de .

Analiza vizuală. Construiți o masă punând „x” dacă nu este un divizor al :

 i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    F (i) 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
    F (3) = 2 xx xxx x	
    F (4) = 3 xx xxxx x	
    F (5) = 5 xx xxxxxx

Din care se vede că:

este un factor de pentru fiecare ,

este un factor de pentru fiecare ,

este un factor de pentru fiecare ,

etc.

Dovada rezultă din coeficienții binomiali

Închideți numerele Fibonacci

Două numere Fibonacci consecutive nu au factori comuni, adică sunt coprimi .

Într-adevăr, fie el Și pentru unii , in care este un divizor comun. Da, da , care este, de asemenea are ca divizor și, continuând raționamentul pentru termenii anteriori , și tu obții asta are ca divizor, atunci

Numere prime Fibonacci

De cand este divizibil cu Și , dacă un număr este și primul este prim, cu excepția .

Reversul nu este adevărat. De fapt, de exemplu este prim, în timp ce nu este prim.

Cel mai mare număr Fibonacci cunoscut a fost raportat în aprilie 2001 de David Broadbent și Bouk de Water.

Seria numerelor index ale primilor Fibonacci este secvența A001605 .

Teorema lui Carmichael și factorii primi caracteristici

Pentru fiecare , există un factor prim al numărului Fibonacci care nu a apărut niciodată ca factor în numerele Fibonacci , cu

Această teoremă este cunoscută sub numele de teorema lui Carmichael . Pentru există următoarele cazuri speciale:

(nu are factori primi);
(nu are factori primi);
, care are doar factorul prim , care este și ;
, care are doar factorii Și , cum ar fi factorii săi primi și aceștia au apărut anterior ca Și .

Rețineți că acest lucru nu înseamnă asta trebuie să fie un număr prim pentru fiecare primul. De exemplu , unde este este un număr prim, dar Nu.

Factorii primi ai unui număr Fibonacci care nu împart niciun număr anterior de Fibonacci se numesc factori caracteristici sau divizori primi primitivi .

Un factor primitiv al este congruent cu , Cu exceptia .

De sine Și este un divizor primitiv al , asa de este primul. De sine Și este un divizor primitiv al , asa de este prima (această teoremă a fost menționată pentru prima dată de Édouard Lucas , dar nu a fost dovedită).

Proprietatea divizibilității

Numerele Fibonacci se bucură în general de următoarele proprietăți de divizibilitate:

  • de sine asa de

unde simbolul înseamnă că este divizorul lui

Un alt rezultat este următorul: ales Numere Fibonacci dintr-un set , atunci unul dintre numerele alese împarte altul exact (Weinstein 1966).

Mihàly Bencze a găsit o nouă proprietate de divizibilitate cu o nouă secvență. Secvența are primele patru valori fixe și regula

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
B (n) 4 0 0 3 4 0 3 7 4 3 10 11 7 13

Acum observăm că este întotdeauna divizibil cu , cand este un număr prim (Bencze 1998).

Primalitate

De sine este un număr prim mai mare decât Și sau Și este un număr prim (o condiție care amintește de primalitatea lui Sophie Germain), atunci , asa de este compus.

De sine este prim atunci nu este un pătrat perfect cu excepția , caz în care este , cu nu pătrat perfect.

Relații cu cel mai mare divizor comun și divizibilitate

O proprietate importantă a numerelor Fibonacci se referă la cel mai mare divizor comun al acestora. De fapt, identitatea este satisfăcută

(Teorema lui Vorob'ev).

Din aceasta rezultă că este divizibil cu dacă și numai dacă este divizibil cu . Această proprietate este importantă deoarece rezultă că un număr Fibonacci poate fi un număr prim numai dacă în sine este un număr prim, cu singura excepție a (singurul număr Fibonacci cu care ar putea fi divizibil este ). [2] Totuși, conversația nu este adevărată: , de exemplu, este egal cu .

Nu se știe dacă numerele prime care sunt și numere Fibonacci sunt infinite sau nu.

Mai mult, se poate arăta că fiecare număr prim împarte cel puțin unul și, în consecință, infinit, numere Fibonacci.

Alte proprietăți

Printre celelalte proprietăți minore ale secvenței Fibonacci sunt următoarele.

  • Charles Raine a găsit următoarele. Luați în considerare 4 numere Fibonacci consecutive și un triunghi dreptunghiular cu picioare , și hipotenuză . Astfel, dacă este egal cu produsul termenilor externi și este egal cu de două ori produsul termenilor interni (adică dacă Și ), de asemenea este un număr Fibonacci. De asemenea, aria triunghiului este egală cu produsul celor patru numere.

Luând numere de exemplu Și atunci este . Adăugând pătratele și extragând rădăcina pătrată pe care o obținem , care este al unsprezecelea număr Fibonacci. Aria triunghiului va fi .

  • Având în vedere patru numere Fibonacci consecutive, produsul primului cu al patrulea este întotdeauna egal cu produsul celui de-al doilea cu al treilea crescut sau scăzut cu .
  • Dacă luăm succesiunea pătratelor numerelor Fibonacci și construim o secvență adăugând două câte două numerele primei secvențe, secvența rezultată este alcătuită din toate și numai numerele impare Fibonacci.
  • Având în vedere secvența numerelor impare Fibonacci, dacă construim secvența obținută prin scăderea numerelor adiacente ale primei secvențe două câte două, obținem succesiunea numerelor pare Fibonacci.
  • Fiecare număr Fibonacci corespunde sumei numerelor care o preced, cu excepția ultimului, mărit cu .
  • Singurele numere Fibonacci care sunt și pătrate sunt Și după cum a demonstrat în 1963 John HE Cohn [3] .
  • Identitatea Cassini , descoperită în 1680 de Jean-Dominique Cassini , afirmă că pentru fiecare întreg ,
Această identitate a fost generalizată în 1879 de Eugène Charles Catalan :
  • Suma reciprocelor numerelor Fibonacci converge , după cum se poate vedea prin aplicarea criteriului raportului , amintind că raportul dintre două numere Fibonacci consecutive tinde să . Suma acestei serii este de aprox s-a dovedit că acest număr este irațional . O puteți obține deja de la termeni cu PARI / GP: sumă (i = 1.100,1.0 / Fibonacci (i))

Algoritmul lui Euclid cu ciclu mai lung

Lamé a demonstrat în 1844 că algoritmul lui Euclid are un ciclu mai lung dacă există numere Fibonacci în intrare.

Fracții continuate

Există legături cu fracțiile continuate prin numere Fibonacci și, de asemenea, cu fracțiile Farey și secțiunea aurie.

O anumită fracție continuă infinită este secțiunea aurie

Fracția continuată precedentă poate fi, de asemenea, considerată ca diferiți biți de termeni convergenți; de exemplu:

Diferitele piese văzute mai sus dau două verigi neașteptate ale secțiunii de Aur: una cu secvența Fibonacci, cealaltă cu secvența Farey.

De fapt, secvența se repetă între piese ca la numerele Fibonacci. Excluzând , pentru a obține al treilea element trebuie adăugate primele două, pentru a obține următorul termen trebuie adăugate cele două anterioare etc.

Tot din piese se observă că doi convergenți succesivi ai secțiunii de aur satisfac relația De exemplu cu Și avem asta , ca în seria Farey.

Generalizări

O generalizare poate fi obținută prin setarea:

și pentru fiecare este

The sunt secvențe recurente liniare, unde fiecare element este o combinație liniară a celor două precedente.

Secvența se numește secvență Fibonacci generalizată cu valori inițiale și :

Secvența clasică Fibonacci este:

Secvența se numește secvență generalizată a lui Lucas :

Secvența clasică a numerelor Lucas este:

Numerele Lucas și Fibonacci sunt legate de multe relații. Rețineți, de exemplu, că: . Deci deducem că o succesiune Fibonacci nu poate începe neapărat cu două . Această secvență se numește secvența Fibonacci generică sau generalizată . Fiecare secvență generică Fibonacci are o caracteristică singulară, suma primelor zece elemente este întotdeauna egală cu de 11 ori elementul al șaptelea. Dovada este foarte simplă: enumerați primele zece elemente astfel:

Primul element:
Al doilea element:
Al treilea element:
Al 4-lea element:
Al 5-lea element:
Al 6-lea element:
Al 7-lea element:
Al 8-lea element:
Al 9-lea element:
Al 10-lea element:

Adăugând toate cele zece elemente, veți obține care este de doar 11 ori al șaptelea element.

Fiecare secvență generalizată păstrează proprietatea că raportul dintre două numere consecutive tinde spre secțiunea aurie. O anumită secvență Fibonacci generalizată, cea obținută prin plasare Și , se numește succesiunea lui Lucas .

Calcul cu matricea M

O modalitate eficientă de a calcula numerele Fibonacci generalizate cu un indice mare este utilizarea matricelor.

De sine

asa de

unde este

Succesiunile Tribonacci și Tetranacci

Secvența Fibonacci poate fi, de asemenea, generalizată prin necesitatea ca fiecare număr să fie suma ultimelor , unde este este orice număr întreg. De sine obținem o secvență degenerată ai cărei termeni sunt toți , de sine obținem secvența Fibonacci, în timp ce pentru Și se obțin așa-numita succesiune Tribonacci și respectiv Tetranacci . O caracteristică comună a acestor secvențe este că relația dintre doi termeni consecutivi tinde spre rădăcina reală dintre Și a polinomului

Suma reciprocelor elementelor acestei secvențe converge, de asemenea (dacă ), așa cum se poate vedea cu ușurință având în vedere că fiecare -elementul element al unei secvențe este mai mare sau egal cu elementul corespunzător din secvența Fibonacci și, prin urmare, reciprocul este mai mic.

Numere complexe Fibonacci

Un număr complex Fibonacci este un număr complex a cărui parte reală este un număr Fibonacci.

De exemplu este un număr complex Fibonacci deoarece .

Proprietățile numerelor complexe Fibonacci

Relația numerelor complexe Fibonacci cu ciudat și este astfel încât:

unde este

De exemplu:

Pentru chiar și formula nu este valabilă pentru numerele complexe, ci doar pentru substituirea numerelor întregi la , adică

unde este

De exemplu:

Secvența Fibonacci aleatorie

În 1999, Divikar Viswanath a considerat o secvență Fibonacci aleatorie, , in care este definit ca , unde este este + sau - cu probabilitate egală. Această secvență a fost numită secvența Vibonacci sau secvența aleatorie Viswanath .

Constanta Viswanath

Viswanath a descoperit o constantă similară cu raportul de aur în succesiunea sa. Deoarece secvența nu crește întotdeauna, Viswanath știa că constanta va fi mai mică decât raportul auriu. Această constantă este cunoscută sub numele de constanta Viswanath .

Repfigit secvențe

Repetați numerele

Il nome deriva da "replicating Fibonacci digit" ed indica i "numeri riproduttori di Fibonacci".

Si definisce numero Repfigit o numero di Keith un numero intero, costituito da cifre

che si rigenera all'interno di una sequenza del tipo

con

Generalizzando si consideri la sequenza definita in maniera ricorsiva da

per .

Se per qualche , è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith .

Esempi di repfigit

n=47 m=2 cifre

4 , 7 , 11, 18, 29, 47 , 76 , ...

n=197 m=3 cifre

1 , 9 , 7 , 17, 33, 57, 107, 197 , 361, ...

n=1537 m=4 cifre

1 , 5 , 3 , 7 , 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537 , 2963 , ...

Nel 1987 Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci.

Nel 1987 il numero repfigit più grande conosciuto era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, fu scoperto 44.121.607 e nello stesso anno il dottor Googol trovò che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono repfigit nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. Oggi sono stati scoperti numeri di questo tipo molto più grandi.

Numeri riproduttori di Fibonacci fino a 5 cifre

m=2

14 , 19 , 28 , 47 , 61 , 75

m=3

197 , 742

m=4

1104 , 1537 , 2208 , 2580 , 3684 , 4788 , 7385 , 7647 , 7909

m=5

31331 , 34285 , 34348 , 55604 , 62662 , 86935 , 93993

Vedi [2] A007629 in Sloane's OEIS per una lista completa.

Numeri Repfigit inversi

Esistono anche i numeri di Keith inversi, detti sinteticamente revRepfigit.

Ad esempio 12 è un numero revRepfigit perché con la tecnica vista prima si può ottenere una sequenza che mi dà il numero rovesciato ovvero 21: 1,2,3,5,8,13,21

Sono revRepfigit anche 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691 etc.

Congetture

Ci sono almeno due congetture da verificare:

1. Se i numeri repfigit sono infiniti.

2. Se esistono repfigit con m>34.

Numeri di Fibonacci e legami con altri settori

In matematica i numeri di Fibonacci sono legati in qualche modo alla sezione aurea , alla sequenza di Farey , alle frazioni continue , alla zeta di Fibonacci, alla zeta di Riemann , ai gruppi di Lie , ai frattali .

In Fisica sussiste il legame con la teoria delle stringhe . Molti altri legami sono evidenti con la biologia, la cristallografia, la musica, l'economia, l'arte, l'elettrotecnica, l'informatica, ecc. Tuttavia non mancano esempi di "avvistamenti" della successione di Fibonacci un po' forzati: lo rivelano Gael Mariani e Martin Scott dell'Università di Warwick, con un articolo su New Scientist del settembre 2005 . [4]

In chimica

Nel 2010 un gruppo di scienziati capeggiato da R. Coldea dell'università di Oxford ha osservato come in un composto chimico (niobato di cobalto), portato artificialmente in uno stato quantistico critico, appare una simmetria riconducibile al gruppo di Lie E 8 , con due picchi alle basse energie in un rapporto simile a quello aureo. [5] [6]

Tramite il principio geometrico delle teorie di stringa si può trovare che i numeri di Fibonacci conservano la simmetria e sono abbastanza vicini ai "Numeri di Lie", sui quali, invece, si basano i cinque gruppi eccezionali di simmetria G2, F4, E6, E7, E8. E8 ha dimensione 57, che è un numero di Lie per n = 7, infatti 7^2+7+1=57, vicinissimo al numero di Fibonacci 55=7^2+7-1 (i numeri di Lie ei numeri di Fibonacci hanno quindi lo stesso DNA geometrico (simmetria) e numerico corrispondente (parabola n^2+n+1 per i numeri di Lie, n^2+n+/-c con n primo ec molto piccolo). Ma il numero 248, collegato a E8, è anche 248 = 15^2+15+8=225+15+8 con numero vicino di Fibonacci 233=15^2+15-7.

Nella musica

La musica ha numerosi legami con la matematica , e molti ritengono [7] che importante sia in essa il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci. [8]

Sul piano compositivo , attraverso la successione di Fibonacci la sezione aurea può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc. Anche se vi sono stati fraintendimenti numerici: nel 1978 , per esempio, nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis Paul Larson riscontrò il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che ne attesti un'effettiva volontà di inserimento, la non casualità della ricorrenza rimane tutta a livello puramente congetturale. Simili illazioni sono più volte state espresse circa le opere di Mozart , anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, convinto anche lui di tale teoria (specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte ), dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore .

I musicologi hanno trovato altre applicazioni nei rapporti fra le durate (in misure ) delle varie parti dei brani musicali, in particolare si trovano questi rapporti nelle opere di Claude Debussy [9] [10] e di Béla Bartók [11] [12] .

Tra i compositori del XX secolo si evidenziano in proposito Stravinsky , Xenakis , Stockhausen (nel cui brano Klavierstücke IX si hanno frequenti rimandi alle successioni fibonacciane nelle segnature di tempo), Luigi Nono , Ligeti , Giacomo Manzoni e Sofija Asgatovna Gubajdulina che disse a proposito di Bartok:

«[...] L'aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea.»

Tuttavia è molto difficile stabilire se l'artista abbia voluto consciamente strutturare l'opera con la sezione aurea o se questa non sia piuttosto frutto della sua sensibilità artistica [13] , dato che la sezione aurea si riscontra spesso in natura [14] (come ad esempio nelle stelle marine, in ammoniti, conchiglie, ananas , pigne e nella forma dell' uovo [15] ). Infatti, mentre alcuni ritengono che i sopra citati Debussy e Bartok abbiano deliberatamente impiegato la sezione aurea, per altri questo è meno scontato. D'altronde Debussy stesso [16] scrisse esplicitamente al suo editore Durand (nell'agosto 1903):

( FR )

«Vous verrez, à la page 8 de " Jardins sous la Pluie ", qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; le divine nombre [...].»

( IT )

«Lei vedrà, alla pagina 8 di " Jardins sous la Pluie " che manca una battuta; è del resto una mia dimenticanza, perché non è nel manoscritto. Eppure, è necessaria, per il numero; il divino numero [...].»

Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo , come i già citati Karlheinz Stockhausen , György Ligeti e Iannis Xenakis , applicarono invece sistematicamente e intenzionalmente - a differenza della maggioranza dei loro predecessori - i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza; facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972 , un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l'applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori .

Anche la musica rock , specialmente nel cosiddetto rock progressivo , si è confrontata con gli aspetti mistico - esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla successione di Fibonacci. L'esempio più emblematico è la musica dei Genesis , che hanno usato assiduamente questa successione nella costruzione armonico-temporale dei loro brani; Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time ei Dream Theater nell'album Octavarium , interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band statunitense Tool che contiene il singolo omonimo " Lateralus " costruito fedelmente sulla successione di Fibonacci: i Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Inoltre la ritmica della canzone alterna battute da 9/8, 8/8 e 7/8, il numero ottenuto è 987 che è il sedicesimo numero della sequenza. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ( [...] To swing on the spiral [...] Spiral out. Keep going [...] ).

In botanica

Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l' astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.

La disposizione dei fiori nel capolino del girasole

I numeri di Fibonacci sono presenti anche in altre piante come il girasole ; difatti i piccoli fiori al centro del girasole (che è in effetti una infiorescenza) sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario.

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della successione di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.

I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi come il Broccolo romanesco .

Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l'una con l'altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata, spesso questo numero è un numero di Fibonacci, e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico” (vedi Fillotassi ).

Nel corpo umano

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore. [17] [18]

In geometria e in natura

La spirale di Fibonacci , creata mediante l'unione di quadrati con i lati equivalenti ai numeri della successione di Fibonacci .

Se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via.

In apicoltura

Leonardo da Pisa o Fibonacci visse vicino a Béjaïa , a quell'epoca importante città esportatrice di cera (da ciò deriva la versione francese del nome della città, "bougie", che significa "candela" in francese). Una recente analisi matematico-storica del periodo e della regione in cui visse Fibonacci suggerisce che, in realtà, furono gli apicoltori di Bejaia e le loro conoscenze sulla riproduzione delle api la fonte di ispirazione per la Successione di Fibonacci e non il più noto modello della riproduzione dei conigli [19] .

La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole sopra descritta e delle foglie su un ramo, oltre che negli alveari delle api .

Nell'arte

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d'arte.

Secondo Pietro Armienti, docente all'Università di Pisa ed esperto di petrologia (scienza delle rocce), le geometrie presenti sulla facciata della chiesa pisana di San Nicola sarebbero un chiaro riferimento alla successione del matematico. [20]

Mario Merz li ha usati nell'installazione luminosa denominata Il volo dei numeri , su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino . Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa , inoltre, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997 [21] . Lo stesso autore ha inoltre realizzato nel 1994 un'installazione permanente sulla ciminiera della compagnia elettrica Turku Energia a Turku , in Finlandia .

Tutta l'opera di Tobia Ravà fa riferimento alla successione di Fibonacci, scoprendone anche una specifica proprietà.

Anche il pittore austriaco Helmutt Bruck ha dipinto quadri omaggianti Fibonacci e prodotto opere in serie di 21.

A Barcellona ea Napoli è stata creata un'installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell'area della Barceloneta , all'interno dell'area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all'interno della stazione Vanvitelli della linea 1 della metropolitana , e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all'interno della stazione vera e propria.

Nel 2017, ad Albissola Marina , nella Piazzetta Poggi del centro storico, è stato installato un mosaico pavimentale dal titolo Fiore di Fibonacci , dovuto all'artista Gabriele Gelatti.

Nell'economia

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche in economia nell' Analisi tecnica per le previsioni dell'andamento dei titoli in borsa, secondo la teoria delle onde di Elliott .

Studiando i grafici storici dei titoli, Ralph Nelson Elliott sviluppò un metodo basato su tredici conformazioni grafiche dette onde , simili per forma ma non necessariamente per dimensione.

A differenza di altre applicazioni grafiche come medie mobili, trendline, macd, rsi ecc. che si limitano ad indicare il livello di resistenza e di supporto e le angolature del trend "Il principio delle onde di Elliott" è l'unico metodo in grado di individuare un movimento del mercato dall'inizio alla fine e quindi di presumere i futuri andamenti dei prezzi.

In informatica

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto " Fibonacci heap " che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di particolari algoritmi. [22]

Il seguente algoritmo in Python permette di trovare l'i-esimo numero della serie di Fibonacci.

 def fibonacci ( n ):
if n < 2 :
return n
return fibonacci ( n - 2 ) + fibonacci ( n - 1 )
print ( fibonacci ( i ))

Nei frattali

Nei frattali di Mandelbrot , governati dalla proprietà dell'autosomiglianza, si ritrovano i numeri di Fibonacci. L'autosomiglianza difatti è governata da una regola o formula ripetibile, così come la successione di Fibonacci.

In elettrotecnica

Una rete di resistori, ad esempio un Ladder Network (Rete a scala), ha una resistenza equivalente ai morsetti A e B esprimibile sia come frazione continua che tramite la sezione aurea oi numeri di Fibonacci (infatti si ha Req/R = ).

Nei giochi sistemici

In qualunque gioco sistemico come totocalcio, superenalotto o roulette i numeri di Fibonacci possono essere utilizzati come montanti per le puntate.

Note

  1. ^ A000045 - OEIS , su oeis.org . URL consultato il 6 marzo 2019 .
  2. ^ La sequenza A005478 dell' OEIS elenca i primi numeri primi presenti nella successione di Fibonacci; la sequenza A001605 ne elenca invece gli indici
  3. ^ JHE Cohn, Square Fibonacci Numbers Etc , in Fibonacci Quarterly , vol. 2, 1964, 109-113.
  4. ^ Not so Fibonacci , su newscientist.com .
  5. ^ Il rapporto aureo governa la "musica" quantistica - Le Scienze , in Le Scienze . URL consultato il 15 novembre 2016 .
  6. ^ Quantum Criticality in an Ising Chain: Experimental Evidence for Emergent E8 Symmetry , in Science , 8 gennaio 2010. URL consultato il 18 dicembre 2016 .
  7. ^ Ad esempio, fra gli studi più recenti, Michele Emmer, Matematica e cultura , Springer, 2001 - ISBN 8847001412 , oppure Ian Bent, William Drabkin, Analisi musicale , EDT srl Editore, 1990 - ISBN 8870630730 .
  8. ^ Sequenza in musica Fibonacci, una teoria originale: [1] .
  9. ^ Mario Livio , La Sezione Aurea, Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni - Bur, 2003, p. 280. ISBN 978-88-17-87201-0
  10. ^ ( EN ) Roy Howat, Debussy in proportion: a musical analysis , Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-31145-8
  11. ^ Mario Livio , La Sezione Aurea, Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni - Bur, 2003, p. 276-279. ISBN 978-88-17-87201-0
  12. ^ ( EN ) Ernö Lendvai, Béla Bartók: an analysis of his music , Kahn & Averill, 1971. ISBN 9780900707049
  13. ^ Sectio Aurea : Sezione Aurea e Musica: Breve storia del "Numero d'Oro" da Dufay al «progressive-rock» dei Genesis. , di Gaudenzio Temporelli
  14. ^ Sezione Aurea in natura , su liceoberchet.it . URL consultato il 1º maggio 2014 .
  15. ^ Le gioie della matematica di Theoni Pappas, Franco Muzzio Editore. ( ISBN 88-7413-112-7 )
  16. ^ Di cui si cita la composizione Reflets dans l'eau , in L 110, Images, Set 1 per piano (1905) : in questo brano la sequenza degli accordi è segnata dagli intervalli 34, 21, 13 e 8. Si veda in proposito Peter F. Smith, The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics , Routledge, New York, 2003 - p. 83, ISBN 0-415-30010-X
  17. ^ Dan Brown, Il codice da Vinci .
  18. ^ La sezione aurea nel corpo umano ( PDF ), su atuttoportale.it .
  19. ^ ( EN ) TC Scott e P. Marketos, On the Origin of the Fibonacci Sequence ( PDF ), su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews, marzo 2014.
  20. ^ "Scoperta la serie di Fibonacci sulla facciata di una chiesa a Pisa", La Repubblica, 18 settembre 2015 < http://firenze.repubblica.it/cronaca/2015/09/18/news/fibonacci-123140907/ >
  21. ^ Tuscia Electa Archiviato il 15 giugno 2008 in Internet Archive .
  22. ^ La sezione aurea in informatica ( PDF ), su atuttoportale.it . URL consultato il 15 novembre 2016 (archiviato dall' url originale il 28 gennaio 2018) .

Bibliografia

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 47110 · LCCN ( EN ) sh85048028 · BNF ( FR ) cb122868243 (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica