Succesiunea lui Mayer-Vietoris

În matematică , mai exact în topologia algebrică , secvența Mayer-Vietoris este un instrument pentru calcularea unor invarianți topologici, cum ar fi grupurile de omologie și cohomologie ale unui spațiu topologic prin grupele de omologie (sau, respectiv, cohomologie) ale subspatiilor sale și intersecția acestora ; este analog teoremei lui Van Kampen pentru calcularea grupului fundamental . Își ia numele de la cei doi matematicieni austrieci Walther Mayer și Leopold Vietoris , care au dovedit-o în anii 1920.

Definiție

Având în vedere un spațiu X și două dintre spațiile sale deschise U și V care acoperă X , secvența Mayer-Vietoris este secvența exactă ${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(U)\oplus H_{0}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cdots \ rightarrow H_ {n + 1} (X) \, și {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n} (U \ cap V) \ , {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {n} (X) {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \\ & \ quad {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n -1} (U \ cap V) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow H_ {0} (U) \ oplus H_ {0} (V) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {0} (X) \ rightarrow \, 0. \ End {align}}}$ ${\ begin {align} \ cdots \ rightarrow H _ {{n + 1}} (X) \, și {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H _ {{n}} (U \ cap V) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, H _ {{n}} (U) \ oplus H _ {{n}} (V) \, { \ xrightarrow {k _ {*} -l _ {*}}} \, H _ {{n}} (X) {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \\ & \ quad {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H _ {{n-1}} (U \ cap V) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow H_ {0} (U) \ oplus H_ {0} (V) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {0} (X) \ rightarrow \, 0. \ End {align}}$

unde H _i sunt grupurile de omologie (sau cohomologie).

Hărțile i _* și j _* corespund incluziunilor din $U\cap V$ ${\ displaystyle U \ cap V}$ $U \ cap V$ în U și respectiv V , în timp ce k _* și l _* la cele ale lui U și V în X.

Aplicații

Omologia sferelor

O primă și importantă aplicație a secvenței Mayer-Vietoris este calculul grupelor de omologie ale sferelor n- dimensionale S ⁿ . Alegând două puncte p și q ale sferei și

U=S^{n}\setminus \{p\}\qquad V=S^{n}\setminus \{q\}

{\ displaystyle U = S ^ {n} \ setminus \ {p \} \ qquad V = S ^ {n} \ setminus \ {q \}}

{\ displaystyle U = S ^ {n} \ setminus \ {p \} \ qquad V = S ^ {n} \ setminus \ {q \}}

acestea sunt homeomorfe a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (deci contractabil și cu grupuri de omologie, cu excepția celui de-al treilea, banal) în timp ce intersecția lor este homeomorfă la $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1} \ times \ mathbb {R}}$ și, prin urmare, echivalent homotopic cu S ^{n -1} . Prin urmare, avem, pentru n > 1,

H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\rightarrow H_{n}(S^{n})\rightarrow H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow H_{n-1}(U)\oplus H_{n-1}(V)

{\ displaystyle H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ rightarrow H_ {n} (S ^ {n}) \ rightarrow H_ {n-1} (U \ cap V) \ rightarrow H_ { n-1} (U) \ oplus H_ {n-1} (V)}

{\ displaystyle H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ rightarrow H_ {n} (S ^ {n}) \ rightarrow H_ {n-1} (U \ cap V) \ rightarrow H_ { n-1} (U) \ oplus H_ {n-1} (V)}

adică

0\rightarrow H_{n}(S^{n})\rightarrow H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ rightarrow H_ {n} (S ^ {n}) \ rightarrow H_ {n-1} (S ^ {n-1}) \ rightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ rightarrow H_ {n} (S ^ {n}) \ rightarrow H_ {n-1} (S ^ {n-1}) \ rightarrow 0}

prin urmare $H_{n}(S^{n})$ ${\ displaystyle H_ {n} (S ^ {n})}$ $H_ {n} (S ^ {n})$ este izomorfă la $H_{n-1}(S^{n-1})$ ${\ displaystyle H_ {n-1} (S ^ {n-1})}$ ${\ displaystyle H_ {n-1} (S ^ {n-1})}$ ; din care, folosind omologia lui S ⁰ (care constă din două puncte), avem

H_{n}(S^{k})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{se }}n\in \{0,k\}\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle H_ {n} (S ^ {k}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ mbox {se}} n \ in \ {0, k \} \\ 0 & { \ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle H_ {n} (S ^ {k}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ mbox {se}} n \ in \ {0, k \} \\ 0 & { \ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

Buchet

Succesiunea Mayer-Vietoris permite calcularea cu ușurință a grupelor de omologie ale buchetului a două spații dacă acestea sunt contractabile la nivel local (adică dacă punctele identificate au vecinătăți ale căror retrații de deformare ): în acest caz, luând ca U și V apar două spații plus partea de vecinătate contractibilă a punctului de bază

H_{n}(U\cap V)=0\rightarrow H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\rightarrow H_{n}(X)\rightarrow 0=H_{n-1}(U\cap V)

{\ displaystyle H_ {n} (U \ cap V) = 0 \ rightarrow H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ rightarrow H_ {n} (X) \ rightarrow 0 = H_ {n- 1} (U \ cap V)}

{\ displaystyle H_ {n} (U \ cap V) = 0 \ rightarrow H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ rightarrow H_ {n} (X) \ rightarrow 0 = H_ {n- 1} (U \ cap V)}

prin urmare

H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\cong H_{n}(X)

{\ displaystyle H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ cong H_ {n} (X)}

{\ displaystyle H_ {n} (U) \ oplus H_ {n} (V) \ cong H_ {n} (X)}

Suprafețe

O altă aplicație este în calculul grupelor de suprafețe omologice; pentru aceasta este convenabil să se utilizeze reprezentarea lor ca coeficient de poligoane, luând ca U interiorul poligonului (sau mai bine zis imaginea acestuia conform cu harta coeficientului) și ca V suprafața minus un punct (în interiorul poligonului): primul deschis este contractabil, în timp ce al doilea este echivalent homotopic cu un buchet cu un anumit număr (în funcție de sexul suprafeței) de circumferințe, a căror omologie poate fi calculată.

Bibliografie

(EN) Allen Hatcher, Algebraic Topology , Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-79540-1 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Bologna, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică