Secvența funcțiilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică, o secvență de funcții este o secvență ai cărei termeni sunt funcții .

Definirea unei limite adecvate pentru o succesiune de funcții este un subiect important al analizei funcționale . În special, pentru secvențele de funcții, conceptul important de convergență uniformă este introdus alături de convergența punctuală. Convergența uniformă la o funcție pe un anumit interval poate fi definită de norma uniformă .

Definiție

Având un set de funcții între două mulțimi fixe Și , o secvență de funcții este o aplicație din setul de numere naturale din , care se asociază cu fiecare număr natural o functie . Secvența este de obicei indicată cu unul dintre următoarele două simboluri:

Al doilea simbolism este mai corect, deoarece evidențiază faptul că noțiunea de succesiune generalizează pe cea a unui tupl ordonat .

Este important de reținut că în definiție, precum și în enunțarea multor teoreme și proprietăți, nu este necesar să presupunem că domeniul funcțiilor este un set structurat. Numai acolo unde este necesar se va înțelege, după caz, un spațiu topologic , metric etc.

Valori la un punct fix

S-a remediat un element în domeniu , succesiunea:

a valorilor asumate de funcțiile din Este o succesiune de elemente ale codomainului . Cand este un set numeric, cum ar fi setul de numere reale , aceasta este o secvență numerică .

Limita succesiunii

Având în vedere o succesiune de funcții, este firesc să se definească o noțiune de limită . De sine este o succesiune de funcții din în , secvența numerică a valorilor asumate la un moment dat poate avea sau nu o limită. Dacă există o limită pentru fiecare punct , este posibil să se definească o funcție limită . Acest tip de convergență, obținut prin „calcularea limită punct cu punct”, se numește convergență punctuală . Convergența punctelor este abia folosită în multe contexte de analiză funcțională, deoarece nu îndeplinește cerințele care sunt considerate în mod normal importante. Printre acestea se numără, de exemplu, comutativitatea limitei cu alte operații care se pot face pe funcții.

În cazul funcțiilor din în , convergența punctuală are următoarele proprietăți:

  • Limita unei secvențe de funcții continue nu este neapărat o funcție continuă.
  • Limita unei succesiuni de funcții diferențiabile sau integrabile nu este neapărat derivabilă / integrabilă.
  • Limita integralelor unei secvențe de funcții nu este neapărat egală cu integralul limitei, adică semnul limită nu poate fi întotdeauna schimbat cu cel al integralei.
  • Limita derivatelor unei secvențe de funcții nu este neapărat egală cu derivata limitei, adică semnul derivatei nu poate fi întotdeauna schimbat cu cel al limitei.

Pentru a obține noțiuni de convergență care satisfac proprietățile anterioare, este definit un spațiu adecvat de funcții din în , de exemplu spațiul funcțiilor continue , spațiul funcțiilor măsurabile sau spațiul funcții netede . Furnizand unei noțiuni de distanță , astfel încât să se dovedească a fi un spațiu metric , putem introduce o noțiune de convergență a unei succesiuni de elemente de mai puternică decât cea punctuală, numită „convergență uniformă”.

Convergența punctelor

Este o succesiune de funcții din în și fie o altă funcție din în . Spaţiu poate fi, de exemplu, ansamblul numerelor reale sau complexe . Succesiunea funcțiilor converge punctual la de sine:

pentru fiecare în domeniu . În simboluri, este scris:

Dacă codomainul este mulțimea numerelor reale , este de asemenea posibilă utilizarea unei simbolologii care indică o convergență monotonă . De sine

pentru fiecare Și , atunci se aplică și următoarele:

pentru fiecare Și , iar tu scrii sau . În mod similar, dacă celălalt verset al inegalității este valabil, este scris sau .

Convergență uniformă

Convergența uniformă poate fi vizualizată prin faptul că funcțiile secvenței nu se îndepărtează de funcția limită pentru o distanță mai mare de .

Este o succesiune de funcții din set în și fie o functie. Succesiunea converge uniform la funcție dacă pentru fiecare există astfel încât:

pentru toți .

Spus:

succesiunea converge lin către dacă și numai dacă:

Succesiunea converge local uniform dacă pentru fiecare într-un spațiu metric există astfel încât converge lin pe .

Rețineți că dacă în definiția convergenței uniforme schimbă „există „și” pentru fiecare "obținem definiția convergenței punctuale: pentru fiecare și pentru fiecare este un astfel încât pentru toți . Vedem că convergența uniformă implică o convergență punctuală.

Convergența uniformă diferă de convergența punctuală prin aceea că, odată ce o valoare este fixată (chiar și cât de mic se dorește), un index poate fi găsit în corespondență cu acesta de care nu depinde , adică nu depinde de punctul luat în considerare. În mod informal se poate spune că odată remediat , fiecare funcție cu aproximează pe toate functia cu o eroare mai mică de .

Proprietate

Convergența uniformă este, în multe contexte, preferabilă convergenței punctuale, deoarece îndeplinește o serie de proprietăți. Este convergând uniform a :

  • De sine este limitat atunci este limitat.
  • De sine este continuu atunci și continuă.
  • De sine atunci este uniform continuu este uniform continuu.
  • De sine este continuu și converg uniform , asa de:

Această relație permite trecerea la limită sub semnul integral . Ipoteza continuității poate fi înlocuită și cu ipoteza că să fie integrabil conform lui Lebesgue .

  • Lema lui Dini afirmă că dacă sau în (punctual) cu Și continua si compact , atunci convergând uniform a .
  • Dacă apare [ fără sursă ] :
    • Funcții sunt derivabile în
    • converge la pentru unii
    • converge la uniform
Atunci uniform, este diferențiat și .

Metrică uniformă

De sine este compact , spațiu a funcțiilor continue pe poate fi echipat cu o distanță :

pentru a deveni un spațiu metric . Acesta definește un concept de limită a unei secvențe care coincide cu cel de convergență uniformă. Ipotezele care atât compacte, cât și funcțiile continue sunt introduse pentru a obține în mod eficient o distanță finită între fiecare pereche de funcții, datorită teoremei lui Weierstrass . Această distanță este la rândul său indusă de norma uniformă .

Criteriul de convergență Cauchy

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: criteriul de convergență Cauchy .

Este o succesiune de funcții definite în . Converge punctual și uniform dacă și numai dacă pentru fiecare există un indice astfel încât, pentru fiecare în :

În spațiul funcțiilor limitate în de fapt, criteriul de convergență Cauchy este valabil, deoarece este un spațiu complet .

Exemple

Următoarele exemple sunt secvențe de funcții din în .

În unele cazuri, o succesiune de funcții poate fi descrisă în întregime printr-o expresie precum:

unde sunt primii termeni:

În mod similar, o expresie precum:

descrie succesiunea funcțiilor:

unde dacă se obține o succesiune de numere reale.

Alte tipuri de convergență

În cele ce urmează se va presupune că funcțiile care alcătuiesc secvența aparțin unui spațiu reglementat Următoarele noțiuni de convergență sunt utilizate pe scară largă în spațiile Banach , cum ar fi spațiile ( spațiul Lp ) și spațiile Sobolev

Se spune că converge în normă la funcție de sine

O caracterizare importantă a convergenței în normă în spațiile de măsurare este dată de teorema lui Vitali .

Se spune că converge slab la o funcție de sine

unde este indică spațiul dual al Și indică acțiunea de pe

Relațiile dintre diferitele noțiuni de convergență

Avem că convergența puternică implică o convergență slabă. De fapt, prin definiția normei unui operator liniar avem asta

Conversa nu este adevărată în general. Arătăm un contraexemplu. Pentru teorema reprezentării lui Rietsz, fiecare element a dualului de este reprezentat de un element din , cu În plus, forma fiecărui element al trebuie să fie definitiv, aproape peste tot, mai puțin decât orice constantă fix. Prin urmare, luăm succesiunea funcțiilor pentru fiecare Și pentru fiecare , avem asta Și , pentru fiecare fix și converge slab la funcție constant egal cu 0. Într-adevăr, fix ,pentru fiecare avem asta

pentru fiecare

În același timp, având asta pentru fiecare , avem asta nu converge în normă.

Dacă spațiul normat este un spațiu Hilbert , atunci avem că convergența slabă plus convergența normelor implică o convergență puternică. Intr-adevar

Mai mult, convergența puternică, dacă nu mergem la subsecvențe , implică convergență aproape peste tot.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică