Suprafaţă

Unele suprafețe
Podea	Elipsoid ( Quadric )
Şa ( Graficul unei funcții )	Hiperboloid ( Suprafață guvernată )
Helicoid ( Suprafata minima )	Taur
Benzi Mobius (Suprafață neorientabilă )	Suprafața de rotație

În matematică , o suprafață este o formă geometrică fără grosime, având doar două dimensiuni. O suprafață poate fi plană (ca un plan ) sau curbată (cum ar fi marginea unei sfere sau a unui cilindru ). Poate fi limitat sau nelimitat, închis sau deschis.

Există mai multe definiții matematice ale suprafeței: toate acestea sunt conținute în noțiunea de „suprafață abstractă” și de varietate diferențiată . În cele mai frecvente cazuri termenul este folosit pentru a se referi la suprafețe dintr-un spațiu tridimensional.

Definiție

În mod informal, o suprafață este un obiect geometric ideal, fără grosime, având două dimensiuni. Unele obiecte reale se apropie de această noțiune abstractă: de exemplu o folie foarte subțire.

În mod formal, definiția suprafeței în spațiu necesită noțiuni matematice non-banale tipice geometriei diferențiale

Un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a spațiului euclidian tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este o suprafață dacă pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cuprins în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ există un mediu deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și o funcție de clasă $C^{1}(U)$ ${\ displaystyle C ^ {1} (U)}$ ${\ displaystyle C ^ {1} (U)}$

F:U\to \mathbb {R} \,\!

{\ displaystyle F: U \ to \ mathbb {R} \, \!}

{\ displaystyle F: U \ to \ mathbb {R} \, \!}

astfel încât $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ se intersectează $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ tocmai în punctele în care $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ anulezi:

U\cap S=F^{-1}(0)

{\ displaystyle U \ cap S = F ^ {- 1} (0)}

{\ displaystyle U \ cap S = F ^ {- 1} (0)}

și având un gradient diferit de zero peste tot:

\nabla F\neq 0

{\ displaystyle \ nabla F \ neq 0}

{\ displaystyle \ nabla F \ neq 0}

Cu alte cuvinte, întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o suprafață dacă este local exprimabilă ca locus al zerourilor unei funcții. Condiția ca gradientul să fie diferit de zero garantează, prin teorema lui Dini , că suprafața este un obiect neted în fiecare punct.

Clădiri

Suprafața sferică a razei unitare centrată la origine poate fi descrisă sub formă parametrică:

x=\sin t\cos u,

{\ displaystyle x = \ sin t \ cos u,}

{\ displaystyle x = \ sin t \ cos u,}

y=\sin t\sin u,

{\ displaystyle y = \ sin t \ sin u,}

{\ displaystyle y = \ sin t \ sin u,}

z=\cos t.

{\ displaystyle z = \ cos t.}

{\ displaystyle z = \ cos t.}

sau sub formă implicită ca locus al zerourilor funcției:

F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1

{\ displaystyle F (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1}

{\ displaystyle F (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1}

.

O suprafață poate fi construită în diferite moduri.

Forma parametrică

Același subiect în detaliu: Suprafață parametrică .

O suprafață poate fi construită ca o imagine a unei funcții injectabile diferențiabile a două variabile reale în spațiul euclidian tridimensional

\varphi :A\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ varphi: A \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

{\ displaystyle \ varphi: A \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set de plan deschis $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ . Pentru a obține un obiect neted, este necesar diferențialul $d\varphi _{x}$ ${\ displaystyle d \ varphi _ {x}}$ ${\ displaystyle d \ varphi _ {x}}$ din $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este, de asemenea, injectiv în fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ : cu alte cuvinte $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ trebuie să fie o scufundare .

Cu această construcție, coordonatele punctelor suprafeței sunt ușor exprimate prin ecuațiile parametrice :

x=\varphi _{1}(u,v)

{\ displaystyle x = \ varphi _ {1} (u, v)}

{\ displaystyle x = \ varphi _ {1} (u, v)}

y=\varphi _{2}(u,v)

{\ displaystyle y = \ varphi _ {2} (u, v)}

{\ displaystyle y = \ varphi _ {2} (u, v)}

z=\varphi _{3}(u,v)

{\ displaystyle z = \ varphi _ {3} (u, v)}

{\ displaystyle z = \ varphi _ {3} (u, v)}

deoarece cei doi parametri variază $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ în aer liber $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Aceasta este definiția în general mai utilă în scopuri practice, deoarece permite calcularea suprafețelor și a integralelor de suprafață într-un mod ușor.

Formă implicită globală

Același subiect în detaliu: Suprafața carteziană implicită .

Această suprafață în formă de șa este graficul funcției

z=2(x^{2}-y^{2})

{\ displaystyle z = 2 (x ^ {2} -y ^ {2})}

{\ displaystyle z = 2 (x ^ {2} -y ^ {2})}

.

O suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ poate fi construit la nivel global ca un locus al zerourilor cu o singură funcție diferențiată

F:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}

numită ecuație cartesiană . Pentru a obține un obiect neted, gradientul de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ trebuie să fie diferit de zero în fiecare punct al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Rețineți că definiția generală a unei suprafețe necesită ca o astfel de funcție să existe doar local.

Graficul unei funcții

Această suprafață este graficul funcției

z=\cos(x^{2}+y^{2})

{\ displaystyle z = \ cos (x ^ {2} + y ^ {2})}

{\ displaystyle z = \ cos (x ^ {2} + y ^ {2})}

.

Hiperboloidul prezentat în figură este obținut prin rotirea unei hiperbole de -a lungul axei verticale.

Graficul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ diferențiat

f:A\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

definit pe un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a planului cartezian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ este o suprafata. ^[1] Suprafața poate fi indicată implicit prin ecuație

z=f(x,y)

{\ displaystyle z = f (x, y)}

z = f (x, y)

În cazul în care domeniul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atât întregul etaj $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , suprafața este așadar locusul zerourilor funcției implicite globale

F(x,y,z)=f(x,y)-z.

{\ displaystyle F (x, y, z) = f (x, y) -z.}

{\ displaystyle F (x, y, z) = f (x, y) -z.}

Suprafața poate fi descrisă și în formă parametrică prin luarea

x=u,

{\ displaystyle x = u,}

{\ displaystyle x = u,}

y=v,

{\ displaystyle y = v,}

{\ displaystyle y = v,}

z=f(u,v).

{\ displaystyle z = f (u, v).}

{\ displaystyle z = f (u, v).}

Cu toate acestea, multe suprafețe nu reprezintă un grafic de funcții, cum ar fi suprafața sferică .

Suprafața de rotație

Același subiect în detaliu: Suprafața rotației .

O suprafață de rotație (sau rotație ) este obținută prin rotirea unei curbe în jurul unei axe. Axa poate fi una dintre cele trei axe carteziene sau orice linie dreaptă.

Noțiuni de bază

Zonă

Același subiect în detaliu: Area și Surface Integral .

Un plan tangent și un vector normal perpendicular pe acesta sunt definite într-un punct de pe suprafață.

Zona $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a unei suprafețe exprimate în formă parametrică printr-o funcție $\varphi (u,v)$ ${\ displaystyle \ varphi (u, v)}$ ${\ displaystyle \ varphi (u, v)}$ condominiu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este definit folosind instrumentele de calcul integrale după cum urmează:

A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.

{\ displaystyle A = \ iint _ {D} \ left | {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial v}} \ right | \ , \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v.}

{\ displaystyle A = \ iint _ {D} \ left | {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial v}} \ right | \ , \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v.}

În formulă există o integrală multiplă , derivatele parțiale ale funcției $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ și produsul vector $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle \ times}$ . În mod similar, este definită integralul unei funcții care are suprafața ca domeniu: această operație se numește integrală de suprafață .

Normal

Același subiect în detaliu: Normal (suprafață) .

În fiecare moment $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a unei suprafețe se definește un plan tangent . Planul tangent este descris cu instrumentele furnizate de algebra liniară și de calcul în mai multe variabile.

Un normal în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un vector perpendicular pe planul tangent, având lungimea unității. În fiecare moment $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are două normale, în direcții opuse.

Curbură

Același subiect în detaliu: curbura Gaussiană .

Un hiperboloid , un cilindru și o sferă : aceste suprafețe au curbură gaussiană negativă, zero și respectiv pozitivă (respectiv).

Curbura este o proprietate fundamentală a suprafețelor din spațiu. În fiecare punct de pe suprafață există două curburi principale, iar curbura Gauss este definită ca produsul acestor două cantități.

Curbura Gaussiană poate fi pozitivă, zero sau negativă. Într-un plan, curbura este zero și se menține geometria euclidiană obișnuită; pe suprafețe cu curbură pozitivă sau negativă este posibilă definirea geometriilor neeuclidiene , numite respectiv eliptice și hiperbolice . În aceste geometrii, liniile euclidiene obișnuite sunt înlocuite cu geodezice , curbe la suprafață care minimizează (local) distanța dintre două puncte.

Proprietăți topologice

Topologia este o ramură a geometriei care studiază proprietățile obiectelor geometrice care rămân neschimbate atunci când deformarea este efectuată fără „smucitură”.

Această suprafață are genul doi. Genul (sau „numărul de mânere”) este o proprietate topologică: rămâne neschimbat dacă suprafața este deformată continuu.

Tip

Același subiect în detaliu: Sex (matematică) .

Genul unei suprafețe este informal „numărul de mânere” pe care le conține.

Reglabilitate

Același subiect în detaliu: ajustabilitate .

O bandă Möbius este o suprafață unilaterală (neorientabilă).

O suprafață este orientabilă dacă are două fețe (un „deasupra” și un „dedesubt”), altfel nu poate fi orientat . Contrar a ceea ce sugerează intuiția, există de fapt suprafețe cu o singură față: prototipul este banda Möbius .

Tipologie

Suprafețe algebrice

O ecuație polinomială în cele trei variabile $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ , De exemplu

2x^{2}-y^{3}+xz-1=0

{\ displaystyle 2x ^ {2} -y ^ {3} + xz-1 = 0}

{\ displaystyle 2x ^ {2} -y ^ {3} + xz-1 = 0}

definește o suprafață algebrică . Pentru ca locusul zerourilor să fie de fapt o suprafață netedă, diferențialul ecuației trebuie să fie diferit de zero în fiecare punct. În general, totuși, se vorbește despre o „suprafață algebrică” chiar și atunci când această condiție nu este satisfăcută: în acest caz, pot apărea puncte non-netede numite singularități .

Dacă polinomul este de gradul I, suprafața este un plan. Suprafețele care pot fi descrise cu ecuații de gradul 2, 3, 4, 5 se numesc cvadrici , cubice , quartice , chintice și așa mai departe. Sexticul prezentat în figură are unele singularități.

Podea	Quadric	Quartica	Sextica

Cvadrici

Același subiect în detaliu: Quadrica .

Un cvadric este o suprafață algebrică de gradul doi. Quadricele sunt clasificate cu instrumentele algebrei liniare (în esență teorema spectrală ). Cadrele nedegenerate sunt împărțite în cinci tipuri:

Elipsoid	Paraboloid eliptic	Paraboloid hiperbolic	Hiperboloid cu o singură clapă	Hiperboloid cu două clape

Suprafețe guvernate

Același subiect în detaliu: suprafața guvernată .

O suprafață este guvernată dacă este o uniune de linii (infinite).

Podea	Cilindru	Paraboloid hiperbolic	Helicoid	Suprafață dezvoltabilă

Suprafețe minime

Același subiect în detaliu: Suprafața minimă .

O suprafață este minimă dacă are o suprafață (locală) minimă dintre toate cele care au o margine fixă. Din punct de vedere matematic, această condiție este echivalentă cu necesitatea ca suprafața să aibă curbura medie zero peste tot. În natură, unele structuri tind să se aranjeze în așa fel încât să minimizeze zona și, prin urmare, să formeze suprafețe minime.

Catenoid	Helicoid	Suprafata Scherk

Suprafețe închise

O suprafață este închisă dacă este limitată și fără margini, ca într-o sferă . Cu limbajul strict al topologiei , o suprafață este închisă dacă este compactă . ^[2]

Suprafata sferica	Taur	Marginea unui corp cu mânere	Taur înnodat

Generalizări

Suprafață abstractă

Sticla Klein este o suprafață în care nu se poate scufunda

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

.

În topologie , o ramură importantă a geometriei , se studiază o noțiune mai generală de suprafață. Suprafața studiată în acest context este un obiect mai abstract, care „are o viață proprie”, nu neapărat conținut în spațiul tridimensional.

În mod formal, o suprafață abstractă este o varietate topologică Hausdorff cu dimensiunea 2. Multe suprafețe abstracte pot fi reprezentate în spațiu, dar nu toate: de exemplu, sticla Klein nu este vizibilă în interiorul spațiului tridimensional (poate fi totuși reprezentabilă în patru - spațiul euclidian dimensional).

În multe contexte este mai util să se definească o suprafață mai degrabă ca o varietate diferențială decât una topologică. Cu toate acestea, diferența nu este substanțială.

Un alt exemplu de suprafață abstractă (sau algebrică) este suprafața Veronese , care poate fi reprezentată doar într-un spațiu proiectiv de cel puțin cinci dimensiuni, în timp ce Trompeta lui Torricelli este o altă suprafață paradoxală care poate fi desenată în trei dimensiuni.

Suprafețe imersate

O suprafață scufundată este o suprafață care se poate intersecta. Mai exact, este imaginea unei scufundări

f:S\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle f: S \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

{\ displaystyle f: S \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

a unei suprafețe abstracte $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Prin urmare, necesită acest lucru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are diferențial injectiv peste tot: această ipoteză garantează că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv local, dar nu la nivel global.

Suprafața băiatului este o suprafață cufundată în spațiu.

De exemplu, sticla Klein este prezentată în general în spațiul tridimensional printr-o imersiune: suprafața se intersectează de-a lungul unei circumferințe. O altă suprafață scufundată este suprafața Boy : în acest caz $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un plan proiectiv real , o suprafață neorientabilă care, la fel ca sticla Klein, nu poate fi conținută în spațiu.

Suprafețe complexe

În contextul geometriei complexe , o suprafață complexă este o varietate complexă de dimensiunea 2. Este un obiect complet diferit de suprafața obișnuită, deoarece are dimensiunea topologică reală 4.

În cele din urmă, în funcție de contexte, termenul de suprafață poate fi folosit pentru a indica structuri cu caracteristici diferite de cele menționate mai sus; de exemplu, o suprafață într-un spațiu euclidian (sau într-o varietate diferențiată ) poate fi numită pe scurt o suprafață, adică o varietate cu o dimensiune mai mică decât cea a spațiului ambiental (dar nu neapărat 2), uneori vorbim și despre suprafețe fractale , indicând structuri fractale construite dintr-o suprafață, dar care, în cele din urmă, nu păstrează nicio caracteristică specifică.

Teoreme

Teorema lui Gauss-Bonnet

Același subiect în detaliu: teorema lui Gauss-Bonnet .

Teorema lui Stokes

Același subiect în detaliu: teorema lui Stokes .

Clasificarea topologică a suprafețelor

Același subiect în detaliu: Clasificarea suprafeței .

Suprafețele compacte sunt clasificate în topologie până la homeomorfism după trei parametri: sex , numărul componentelor muchiei și ajustabilitate .

Suprafețele de tip finit sunt, de asemenea, adesea luate în considerare în topologie, obținute pornind de la suprafețe compacte prin îndepărtarea unui număr finit de puncte și astfel creând puncții . O suprafață înțepată nu este niciodată compactă. La fel ca suprafețele compacte, cele de tip finit sunt clasificate după patru parametri: tipul, numărul componentelor muchiei, orientabilitatea și numărul puncțiilor.

Teorema uniformizării

Același subiect în detaliu: teorema uniformizării Riemann .

Notă

^ În acest caz, diferențialitatea este suficientă pentru a obține un obiect neted.
^ În unele contexte, suprafața este rugată să fie "fără margini": cu definiția dată în acest articol, această condiție suplimentară nu este necesară.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « suprafață »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de suprafață

linkuri externe

( EN ) Surface , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( FR ) Exemple de suprafețe din Mathcurve , Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 21329 · NDL (EN, JA) 00.567.234

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În acest caz, diferențialitatea este suficientă pentru a obține un obiect neted.

[2] În unele contexte, suprafața este rugată să fie "fără margini": cu definiția dată în acest articol, această condiție suplimentară nu este necesară.

[1]

[2]