Suprafața Bézier

O suprafață Bézier este un fel de spline matematică utilizată în grafica computerizată , CAD și metoda elementelor finite . La fel ca o curbă Bézier , o suprafață Bézier este definită de un set de puncte de control. Similar cu interpolare în multe privințe, o diferență cheie este că suprafața, în general, nu trece prin punctele centrale de control; mai degrabă, este „strâns” spre ei de parcă fiecare ar avea o forță atractivă. Aceste suprafețe sunt intuitive din punct de vedere vizual și sunt convenabile din punct de vedere matematic pentru multe aplicații.

Istorie

Suprafețele Bézier au fost descrise pentru prima dată în 1962 de inginerul francez Pierre Bézier , care le-a folosit pentru proiectarea caroseriei auto . Suprafețele Bézier pot fi de orice grad, dar suprafețele bicubice oferă în general suficiente grade de libertate pentru majoritatea aplicațiilor.

Ecuaţie

Exemplu de suprafață Bézier; roșu = puncte de control, albastru = grilă de control, negru = aproximarea suprafeței

O suprafață de grad Bézier ( n , m ) este definită de un set de puncte de control ( n + 1) ( m + 1) k _{i, j} . Acesta mapează pătratul unității într-o suprafață netedă-continuă încorporată într-un spațiu de aceeași dimensiune { k _{i, j} }. De exemplu, dacă k sunt toate punctele dintr-un spațiu cu patru dimensiuni, atunci suprafața se va afla într-un spațiu cu patru dimensiuni.

O suprafață Bézier bidimensională poate fi definită ca o suprafață parametrică unde poziția unui punct p , în funcție de coordonatele parametrice u , v este dată de: ^[1]

\mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {k} _{i,j}

{\ displaystyle \ mathbf {p} (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {m} B_ {i} ^ {n} (u) \ ; B_ {j} ^ {m} (v) \; \ mathbf {k} _ {i, j}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {m} B_ {i} ^ {n} (u) \ ; B_ {j} ^ {m} (v) \; \ mathbf {k} _ {i, j}}

considerat pe pătratul unității, unde

B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}

{\ displaystyle B_ {i} ^ {n} (u) = {n \ alege i} \; u ^ {i} (1-u) ^ {ni}}

{\ displaystyle B_ {i} ^ {n} (u) = {n \ alege i} \; u ^ {i} (1-u) ^ {n-i}}

este un polinom Bernstein și

{n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}

{\ displaystyle {n \ choose i} = {\ frac {n!} {i! (ni)!}}}

{\ displaystyle {n \ choose i} = {\ frac {n!} {i! (n-i)!}}}

este coeficientul binomial .

Unele proprietăți ale suprafețelor Bézier sunt:

O suprafață Bézier se va transforma în același mod ca punctele sale de control sub fiecare transformare liniară și translație .
Toate liniile u = constante și v = constante, în spațiu ( u , v ) și, în special, toate cele patru margini ale pătratului unitar deformat ( u , v ), sunt curbe Bézier.
O suprafață Bézier se va afla complet în învelișul convex al punctelor sale de control și, prin urmare, și în caseta de limitare a acestora, în orice sistem cartezian de referință .
Punctele din patch-uri corespunzătoare colțurilor pătratului unității deformate coincid cu patru dintre punctele de control.
Cu toate acestea, o suprafață Bézier nu trece în general prin celelalte puncte de control ale sale.

În general, suprafețele Bézier sunt utilizate în mod obișnuit ca rețele de patch-uri bicubice (unde m = n = 3). Geometria unui singur patch bicubic este astfel complet definită de un set de 16 puncte de control. Acestea sunt de obicei conectate pentru a forma o suprafață B-spline într-un mod similar cu modul în care curbele Bézier sunt conectate la curbele B-spline.

Suprafețele Bézier mai simple sunt formate din patch-uri biquadratice ( m = n = 2) sau triunghiuri Bézier.

Suprafețele Bézier în grafica computerizată

Modelul „Gumbo” al lui Ed Catmull , compus din patch-uri

Oțelurile realizate din plasturi Bézier sunt superioare ochiurilor realizate din triunghiuri, ca reprezentare a suprafețelor netede. Acestea necesită mai puține puncte (deci mai puțină memorie) pentru a reprezenta suprafețe curbate, sunt mai ușor de manipulat și au proprietăți de continuitate mai bune. Mai mult, alte suprafețe parametrice comune, cum ar fi sferele și cilindrii, pot fi bine aproximate pentru un număr relativ mic de patch-uri cubice Bézier.

Cu toate acestea, ochiurile realizate din patch-uri Bézier sunt dificil de redat direct. O problemă cu patch-urile Bézier este că calcularea intersecțiilor lor cu linii este dificilă, ceea ce le face problematice pentru urmărirea razelor pure sau alte tehnici geometrice directe care nu utilizează tehnici de subdiviziune sau de aproximare succesive. De asemenea, sunt dificil de combinat direct cu algoritmi de proiecție în perspectivă.

Din acest motiv, ochiurile realizate din patch-uri Bézier sunt în general descompuse în cele din urmă în ochiuri de triunghiuri plate prin conducte de redare 3D. În randările de înaltă calitate, subdiviziunea este ajustată pentru a fi atât de precisă încât marginile triunghiurilor individuale nu pot fi văzute. Pentru a evita un aspect de „picurare”, detaliile fine sunt adesea aplicate pe suprafețele Bézier în acest pas, utilizând hărți de textură , hărți cu bump și alte tehnici de pixel shader .

Un patch Bézier de grad ( m , n ) ar putea fi construit din două triunghiuri Bézier de grad m + n sau dintr-un singur triunghi Bézier de grad m + n , cu domeniul de intrare drept pătrat în loc de triunghi.

Un triunghi Bézier de grad m ar putea fi, de asemenea, construit dintr-o suprafață de grad ( m , m ) Bézier, cu puncte de control astfel încât o margine să fie aplatizată către un punct sau cu domeniul de intrare ca un triunghi în loc de un pătrat.