Plan (geometrie)

Reprezentarea a două planuri care se intersectează

Planul este un concept primitiv de geometrie , adică un concept pentru care nu există o definiție formală și care se presupune a fi ușor de înțeles și / sau dobândit prin experiență, deci o idee universal acceptată și unică care poate fi reprezentată cu obiecte concrete care servesc ca un exemplu dar care prin însăși existența lor nu rezolvă pe deplin conceptul (celelalte concepte primitive de geometrie sunt punctul și linia dreaptă ).

În cazul planului, pentru a-l reprezenta în mod ideal, gândiți-vă la o foaie de hârtie de dimensiuni infinite: planul este ideea, conceptul abstract, dar nu este nici foaia de hârtie, deoarece are o grosime și un plan ideal nu și și pentru că nu este posibil să se producă sau să se găsească o coală de hârtie de dimensiuni infinite.

În cele din urmă, acesta:

Conceput ca un loc geometric al punctelor, are o extensie de suprafață: planul, în spațiul tridimensional, este mulțimea tuturor acelor puncte identificate prin combinația liniară a 2 liniar independente vectori aplicate în același punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .
Din punct de vedere al geometriei diferențiale, planul este acea suprafață care are ambele curburi fundamentale zero.

Relațiile dintre un plan și punctele și liniile pe care le conține sunt exprimate prin axiomele lui Euclid și axiomele lui Hilbert .

Avioane în spațiul tridimensional

Ecuația canonică a planului în spațiul tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este de tipul:

ax+by+cz+d=0,

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

cu $a,b,c,d\in \mathbb {R} ,$ ${\ displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {R},}$ Și $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ nu toate nule.

Ecuația cartesiană

Planificați trecerea prin trei puncte

Lasa-i sa fie $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), P_ {3 } = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), P_ {3 } = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ trei puncte din spațiu care nu sunt aliniate. Pentru aceste trei puncte trece un singur etaj $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Un punct $P=(x,y,z)$ ${\ displaystyle P = (x, y, z)}$ $P = (x, y, z)$ aparține planului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ numai dacă transportatorul $P-P_{1}$ ${\ displaystyle P-P_ {1}}$ $P-P_ {1}$ este o combinație liniară de vectori $P_{2}-P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {2} -P_ {1}}$ $P_ {2} -P_ {1}$ Și $P_{3}-P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {3} -P_ {1}}$ $P_ {3} -P_ {1}$ , adică dacă

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = 0. }

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = 0. }

Dezvoltând determinantul cu regula lui Laplace față de primul rând obținem:

a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,

{\ displaystyle a (x-x_ {1}) + b (y-y_ {1}) + c (z-z_ {1}) = 0,}

{\ displaystyle a (x-x_ {1}) + b (y-y_ {1}) + c (z-z_ {1}) = 0,}

unde este

a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.

{\ displaystyle a = {\ begin {vmatrix} y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1 } \ end {vmatrix}}, \; b = - {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}}, \; c = {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} \\ x_ {3 } -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} \ end {vmatrix}}.}

{\ displaystyle a = {\ begin {vmatrix} y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1 } \ end {vmatrix}}, \; b = - {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}}, \; c = {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} \\ x_ {3 } -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} \ end {vmatrix}}.}

În cele din urmă, pentru a obține ecuația canonică a planului, acesta este definit $\;d\;$ ${\ displaystyle \; d \;}$ ${\ displaystyle \; d \;}$ după cum urmează:

d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),

{\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}),}

{\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}),}

unde este $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ este un punct care aparține planului, deci în acest caz puteți utiliza coordonatele oricărui punct dintre $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ , $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ Și $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ .

Poziții reciproce de două etaje

Avioane paralele

Poziția reciprocă a două planuri poate fi studiată prin plasarea ecuațiilor lor într-un sistem. Când matricea de coeficienți are rangul 2, sistemul este compatibil și admite un infinit simplu ( $\infty ^{1}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {1}}$ ) soluții, care reprezintă toate punctele liniei de intersecție dintre cele două planuri. Când matricea coeficientului are rangul 1, soluțiile acceptate sunt dublu infinit ( $\infty ^{2}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {2}}$ ) și planurile sunt paralele și coincidente (paralelism necorespunzător). În cele din urmă, dacă matricea coeficienților are rangul 0, sistemul este incompatibil și planurile sunt paralele și distincte (paralelism propriu).

Distanța unui punct față de un plan

Este posibil să se calculeze distanța până la un punct $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ dintr-un etaj $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ folosind următoarea formulă:

d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

{\ displaystyle d (\ pi, P) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle d (\ pi, P) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

În special, dacă $d(\pi ,P)=0$ ${\ displaystyle d (\ pi, P) = 0}$ $d (\ pi, P) = 0$ , atunci punctul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ aparține planului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în plan

Controlul autorității	Tezaur BNCF 23216

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică