Dezvoltare asimptotică

În matematică cu termenul de dezvoltare asimptotică , sau cu seria asimptotică echivalentă și dezvoltarea Poincaré , ne referim la o serie formală de funcții, nu neapărat convergente , astfel încât, trunchiată la un număr finit de termeni, oferă o aproximare a unei funcții date de un anumit valoare.

Definiție matematică

Este $\{\phi _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ phi _ {n} \}}$ $\ {\ phi _ {n} \}$ o secvență de funcții continue într-un domeniu dat astfel încât, pentru fiecare n (conform notației lui Landau ):

$\phi _{n+1}(x)=o(\phi _{n}(x))\ {\mbox{ per }}x\rightarrow x_{0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n + 1} (x) = o (\ phi _ {n} (x)) \ {\ mbox {per}} x \ rightarrow x_ {0}}$ $\ phi _ {{n + 1}} (x) = o (\ phi _ {{n}} (x)) \ {\ mbox {per}} x \ rightarrow x _ {{0}}$ unde este $x_{0}\!$ ${\ displaystyle x_ {0} \!}$ $x _ {{0}} \!$ este un punct de dominare.

Data $f(x)\!$ ${\ displaystyle f (x) \!}$ $f (x) \!$ o funcție continuă în $x_{0}\!$ ${\ displaystyle x_ {0} \!}$ $x _ {{0}} \!$ , este posibil să se determine coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a _ {{n}}$ astfel încât să fie valabil pentru fiecare N:

$f(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}\phi _{n}(x)+O(\phi _{N+1}(x))\ {\mbox{ per }}x\rightarrow x_{0}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ phi _ {n} (x) + O (\ phi _ {N + 1} (x)) \ { \ mbox {per}} x \ rightarrow x_ {0}}$ $f (x) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} a_ {n} \ phi _ {{n}} (x) + O (\ phi _ {{N + 1}} (x) ) \ {\ mbox {per}} x \ rightarrow x _ {{0}}$

Seria obținută $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {n} (x)}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {{n}} (x)$ este definită dezvoltarea asimptotică a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în $x_{0}\!$ ${\ displaystyle x_ {0} \!}$ $x _ {{0}} \!$ în ceea ce privește funcțiile $\{\phi _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ phi _ {n} \}}$ $\ {\ phi _ {n} \}$ .

În mod similar, putem scrie:

f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)\ {\mbox{per }}(x\rightarrow x_{0})

{\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {n} (x) \ {\ mbox {per}} (x \ rightarrow x_ {0 })}

f (x) \ sim \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {n} (x) \ {\ mbox {per}} (x \ rightarrow x _ {{ 0}})

Trebuie remarcat faptul că coeficienții seriei, astfel încât să satisfacă condițiile de mai sus, sunt determinate în mod unic de relația:

$a_{N+1}={\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\phi _{n}(x)}{\phi _{N+1}}}\ {\mbox{per }}(x\rightarrow x_{0})$ ${\ displaystyle a_ {N + 1} = {\ frac {f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ phi _ {n} (x)} {\ phi _ { N + 1}}} \ {\ mbox {per}} (x \ rightarrow x_ {0})}$ $a _ {{N + 1}} = {\ frac {f (x) - \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} a _ {{n}} \ phi _ {{n}} (x )} {\ phi _ {{N + 1}}}} \ {\ mbox {per}} (x \ rightarrow x _ {{0}})$

În acest fel, seria asimptotică se dovedește a fi o generalizare a seriei Taylor . Metodele pentru construirea unor astfel de dezvoltări includ formula Euler-Maclaurin și transformatele integrale, cum ar fi transformata Laplace și transformata Mellin . Deseori este posibil să se identifice o dezvoltare asimptotică prin efectuarea integrărilor repetate pe părți.

Un exemplu explicativ

Luați în considerare următoarea funcție integrală:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{x+t}}dt$ ${\ displaystyle f (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {x + t}} dt}$ $f (x) = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {e ^ {{- t}}} {x + t}} dt$

Căutăm dezvoltarea sa asimptotică pentru $x>>1$ ${\ displaystyle x >> 1}$ $x >> 1$ . În acest caz, soluția se găsește direct prin exploatarea identității seriei geometrice :

${\frac {1}{x+t}}={\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+t/x}}\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{x^{n+1}}}t^{n}-{\frac {1}{x^{N+1}}}{\frac {t^{N+1}}{x+t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x + t}} = {\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + t / x}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} {\ frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {n + 1}}} t ^ {n} - {\ frac {1} {x ^ {N + 1}}} {\ frac {t ^ {N + 1}} {x + t}}}$ ${\ frac {1} {x + t}} = {\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + t / x}} \ right) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} {\ frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {{n + 1}}}} t ^ {n} - {\ frac {1} {x ^ {{ N + 1}}}} {\ frac {t ^ {{N + 1}}} {x + t}}$

substituind această expresie obținem imediat că:

$f(x)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{x^{n+1}}}\Gamma (n+1)+R_{N}(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} {\ frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {n + 1}}} \ Gamma (n + 1) + R_ {N} (x)}$ $f (x) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} {\ frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {{n + 1}}}} Gamma (n + 1 ) + R _ {{N}} (x)$

unde este $R_{N}(x)=-{\frac {1}{x^{N+1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{N+1}e^{-t}}{x+t}}dt$ ${\ displaystyle R_ {N} (x) = - {\ frac {1} {x ^ {N + 1}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {N + 1} e ^ {- t}} {x + t}} dt}$ $R _ {{N}} (x) = - {\ frac {1} {x ^ {{N + 1}}}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {t ^ {{N + 1}} e ^ {{- t}}} {x + t}} dt$

Această expresie îndeplinește toate proprietățile de mai sus, deci este posibil să concluzionăm că:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}$ ${\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n + 1}}}}$ $f (x) \ sim \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {{n + 1}}} }$

Aceeași dezvoltare se obține și prin aplicarea integrării pe părți de mai multe ori sau cu metoda asimptotică a lui Laplace.

Dezvoltări asimptotice notabile

Funcția gamma

{\frac {\exp(x)}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )

{\ displaystyle {\ frac {\ exp (x)} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ rightarrow \ infty)}

{\ frac {\ exp (x)} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ rightarrow \ infty)

Integrală exponențială

x\exp(x)E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )

{\ displaystyle x \ exp (x) E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ { n}}} \ (x \ rightarrow \ infty)}

x \ exp (x) E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} \ (x \ rightarrow \ infty)

Funcția zeta Riemann

\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} n ^ {- s} + {\ frac {N ^ {1-s}} {s-1}} + N ^ {- s} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2m} s ^ {\ overline {2m-1}}} {(2m)! N ^ {2m-1 }}}}

\ zeta (s) \ sim \ sum _ {{n = 1}} ^ {{N-1}} n ^ {{- s}} + {\ frac {N ^ {{1-s}}} {s -1}} + N ^ {{- s}} \ sum _ {{m = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {B _ {{2m}} s ^ {{\ overline {2m-1} }}} {(2m)! N ^ {{2m-1}}}}

unde i $B_{k}$ ${\ displaystyle B_ {k}}$ $B _ {{k}}$ sunt numerele lui Bernoulli și $s^{\overline {2m-1}}$ ${\ displaystyle s ^ {\ overline {2m-1}}}$ $s ^ {{\ overline {2m-1}}}$ denotă un factorial în creștere . Această evoluție este valabilă pentru toate e complexe și este adesea folosit pentru a calcula funcția zeta folosind o valoare destul de mare de N, de exemplu , $N>|s|$ ${\ displaystyle N> | s |}$ $N> | s |$ .

Funcția de eroare

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n)!} {n! (2x) ^ {2n}}}.}

{\ sqrt {\ pi}} xe ^ {{x ^ {2}}} {{\ rm {erfc}}} (x) = 1 + \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ frac {(2n)!} {N! (2x) ^ {{2n}}}}.

Convergenţă

Convergența seriei asimptotice $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {n} (x)}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} \ phi _ {{n}} (x)$ poate fi studiat cu ușurință recurgând la criteriul rădăcină sau criteriul relației.

Convergența punctelor

Dacă ne interesează convergența punctuală, pentru fiecare x fix seria asimptotică devine o serie numerică, care converge (condiție suficientă) dacă converge absolut, adică dacă converge seria $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}||\phi _{n}(x)|$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} || \ phi _ {n} (x) |}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} | a_ {n} || \ phi _ {{n}} (x) |$ . Criteriul rădăcină sau criteriul raportului pot fi aplicate acestei serii dacă:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}||\phi _{n}(x)|}}<1

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} || \ phi _ {n} (x) |}} <1}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} || \ phi _ {{n}} (x) |}} <1

sau

\lim _{n\to \infty }\ {\frac {|a_{n+1}||\phi _{n+1}(x)|}{|a_{n}||\phi _{n}(x)|}}<1

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {| a_ {n + 1} || \ phi _ {n + 1} (x) |} {| a_ {n} || \ phi _ {n} (x) |}} <1}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {| a _ {{n + 1}} || \ phi _ {{n + 1}} (x) |} {| a_ {n} | | \ phi _ {{n}} (x) |}} <1

În cazul în care există limita:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = L

sau

\lim _{n\to \infty }\ {\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {| a_ {n + 1} |} {| a_ {n} |}} = L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {| a _ {{n + 1}} |} {| a_ {n} |}} = L

atunci condițiile suficiente pentru convergența absolută a seriei asimptotice devin:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|\phi _{n}(x)|}}<l(x)<1/L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| \ phi _ {n} (x) |}} <l (x) <1 / L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| \ phi _ {{n}} (x) |}} <l (x) <1 / L

sau

\lim _{n\to \infty }\ {\frac {|\phi _{n+1}(x)|}{|\phi _{n}(x)|}}=l(x)<1/L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {| \ phi _ {n + 1} (x) |} {| \ phi _ {n} (x) |}} = l (x ) <1 / L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {| \ phi _ {{n + 1}} (x) |} {| \ phi _ {{n}} (x) |}} = l (x) <1 / L

Prin urmare, o condiție suficientă pentru ca seria asimptotică să convergă în A este să ia:

A\subseteq \{x:l(x)<1/L\}

{\ displaystyle A \ subseteq \ {x: l (x) <1 / L \}}

A \ subseteq \ {x: l (x) <1 / L \}

Convergență uniformă

Dorind să stabilim dacă seria asimptotică converge uniform în $A'\subseteq A$ ${\ displaystyle A '\ subseteq A}$ $A '\ subseteq A$ , se poate considera că o condiție suficientă este aceea că converge total sau că converge seria $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\sup _{A'}|\phi _{n}(x)|$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} | \ sup _ {A '} | \ phi _ {n} (x) |}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} | a_ {n} | \ sup _ {{A '}} | \ phi _ {{n}} (x) |$ .

Loc:

c_{n}(A'):=\sup _{A'}|\phi _{n}(x)|

{\ displaystyle c_ {n} (A '): = \ sup _ {A'} | \ phi _ {n} (x) |}

c_ {n} (A '): = \ sup _ {{A'}} | \ phi _ {{n}} (x) |

aplicând criteriul rădăcină sau criteriul raportului, condiția suficientă pentru convergența acestei serii este:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{c_{n}(A')}}<1/L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {c_ {n} (A ')}} <1 / L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {c_ {n} (A ')}} <1 / L

sau

\lim _{n\to \infty }\ {\frac {c_{n+1}(A')}{c_{n}(A')}}<1/L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {c_ {n + 1} (A ')} {c_ {n} (A')}} <1 / L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {c _ {{n + 1}} (A ')} {c_ {n} (A')}} <1 / L

Serie de puteri

Cel mai notabil și important caz este cel al seriei de putere:

\phi _{n}(x)=(x-x_{0})^{n}\;

{\ displaystyle \ phi _ {n} (x) = (x-x_ {0}) ^ {n} \;}

\ phi _ {{n}} (x) = (x-x_ {0}) ^ {n} \;

în care avem:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|\phi _{n}(x)|}}=\lim _{n\to \infty }\ {\frac {|\phi _{n+1}(x)|}{|\phi _{n}(x)|}}=|x-x_{0}|<1/L\qquad \Leftrightarrow \qquad x\in (x_{0}-1/L,x_{0}+1/L)

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| \ phi _ {n} (x) |}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {| \ phi _ {n + 1} (x) |} {| \ phi _ {n} (x) |}} = | x-x_ {0} | <1 / L \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x \ în (x_ {0} -1 / L, x_ {0} + 1 / L)}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| \ phi _ {{n}} (x) |}} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {| \ phi _ {{n + 1}} (x) |} {| \ phi _ {{n}} (x) |}} = | x-x_ {0} | <1 / L \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x \ in (x_ {0} -1 / L, x_ {0} + 1 / L)

astfel încât să putem lua:

A=(x_{0}-1/L,x_{0}+1/L)\;

{\ displaystyle A = (x_ {0} -1 / L, x_ {0} + 1 / L) \;}

A = (x_ {0} -1 / L, x_ {0} + 1 / L) \;

Mai mult, dacă luăm în considerare un interval ca:

A'=[x_{0}-R,x_{0}+R]\;

{\ displaystyle A '= [x_ {0} -R, x_ {0} + R] \;}

A '= [x_ {0} -R, x_ {0} + R] \;

avem:

c_{n}(A'):=\sup _{A'}|(x-x_{0})^{n}|=R^{n}

{\ displaystyle c_ {n} (A '): = \ sup _ {A'} | (x-x_ {0}) ^ {n} | = R ^ {n}}

c_ {n} (A '): = \ sup _ {{A'}} | (x-x_ {0}) ^ {n} | = R ^ {n}

de la care:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{c_{n}(A')}}=\lim _{n\to \infty }\ {\frac {c_{n+1}(A')}{c_{n}(A')}}=R<1/L

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {c_ {n} (A ')}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ frac {c_ { n + 1} (A ')} {c_ {n} (A')}} = R <1 / L}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {c_ {n} (A ')}} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ {\ frac {c_ {{n + 1}} (A ')} {c_ {n} (A')}} = R <1 / L

pentru care seria converge uniform în fiecare interval închis conținut în intervalul deschis pe care converge punctual.

Metode de calcul al dezvoltărilor asimptotice

Principiul fazei staționare

I(k)=\int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)}\,dx

{\ displaystyle I (k) = \ int _ {a} ^ {b} g (x) e ^ {ikf (x)} \, dx}

{\ displaystyle I (k) = \ int _ {a} ^ {b} g (x) e ^ {ikf (x)} \, dx}

Este egal cu:

De sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este staționar într-un singur punct $a<x_{0}<b$ ${\ displaystyle a <x_ {0} <b}$ ${\ displaystyle a <x_ {0} <b}$

I(k)\cong g(x_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{k\left|{f''(x_{0})}\right|}}}e^{i\left[kf(x_{0})\pm {\frac {\pi }{4}}f''(x_{0})\right]}

{\ displaystyle I (k) \ cong g (x_ {0}) {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {k \ left | {f '' (x_ {0})} \ right |}}} și ^ {i \ left [kf (x_ {0}) \ pm {\ frac {\ pi} {4}} f '' (x_ {0}) \ right]}}

{\ displaystyle I (k) \ cong g (x_ {0}) {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {k \ left | {f '' (x_ {0})} \ right |}}} și ^ {i \ left [kf (x_ {0}) \ pm {\ frac {\ pi} {4}} f '' (x_ {0}) \ right]}}

De sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ are un singur punct staționar corespunzător limitei inferioare a integralei $x_{0}=a$ ${\ displaystyle x_ {0} = a}$ $x_ {0} = a$

I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}

{\ displaystyle I (k) \ cong {\ frac {g (b)} {ikf '(b)}} e ^ {ikf (b)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {k | f '' (x_ {0}) |}}} g (x_ {0}) și ^ {ikf (x_ {0})} e ^ {i \ pm {\ frac { \ pi} {4}}}}

{\ displaystyle I (k) \ cong {\ frac {g (b)} {ikf '(b)}} e ^ {ikf (b)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {k | f '' (x_ {0}) |}}} g (x_ {0}) și ^ {ikf (x_ {0})} e ^ {i \ pm {\ frac { \ pi} {4}}}}

De sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ are un singur punct staționar corespunzător limitei superioare a integralei $x_{0}=b$ ${\ displaystyle x_ {0} = b}$ ${\ displaystyle x_ {0} = b}$

I(k)\cong -{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}

{\ displaystyle I (k) \ cong - {\ frac {g (a)} {ikf '(a)}} e ^ {ikf (a)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ frac {2 \ pi} {k | f '' (x_ {0}) |}}} g (x_ {0}) și ^ {ikf (x_ {0})} e ^ {i \ pm {\ frac {\ pi} {4}}}}

{\ displaystyle I (k) \ cong - {\ frac {g (a)} {ikf '(a)}} e ^ {ikf (a)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ frac {2 \ pi} {k | f '' (x_ {0}) |}}} g (x_ {0}) și ^ {ikf (x_ {0})} e ^ {i \ pm {\ frac {\ pi} {4}}}}

Metoda Laplace ^[1]

\int _{a}^{b}\exp(\lambda f(x))g(x)dx\thicksim {\sqrt {\frac {-2\pi }{f''(x_{0})\lambda }}}g(x_{0})\exp(\lambda f(x_{0}))

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ exp (\ lambda f (x)) g (x) dx \ thicksim {\ sqrt {\ frac {-2 \ pi} {f '' (x_ {0 }) \ lambda}}} g (x_ {0}) \ exp (\ lambda f (x_ {0}))}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ exp (\ lambda f (x)) g (x) dx \ thicksim {\ sqrt {\ frac {-2 \ pi} {f '' (x_ {0 }) \ lambda}}} g (x_ {0}) \ exp (\ lambda f (x_ {0}))}

Cu f (t) și g (t) două funcții definite în [a, b], finite sau semi-infinite astfel încât:

$f(x)<f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x) <f (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x) <f (x_ {0})}$ în orice interval pe care nu îl conține $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$
$f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ este continuu diferențiat de două ori într-un cartier al $x_{0}:f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0$ ${\ displaystyle x_ {0}: f '(x_ {0}) = 0, f' '(x_ {0}) <0}$ ${\ displaystyle x_ {0}: f '(x_ {0}) = 0, f' '(x_ {0}) <0}$
$g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ ${\ displaystyle g (x)}$ este continuu într-un cartier al $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$
Integrala este absolut convergentă pentru $Re(\lambda )>\sigma >0$ ${\ displaystyle Re (\ lambda)> \ sigma> 0}$ ${\ displaystyle Re (\ lambda)> \ sigma> 0}$

Bibliografie

Arthur Erdélyi (1956): Asymptotic Expansions , Dover
N. Bleistein, RA Handelsman (1986): expansiuni asimptotice ale integralelor , Dover
FWJ Olver (1974): Introducere în asimptotice și funcții speciale , presa academică
Godfrey Harold Hardy (1949): Seria divergentă , Oxford University Press
RB Paris, D. Kaminsky (2001): Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press
ET Copson (2004): Asymptotic Expansions , Cambridge University Press
E. Whittaker, GN Watson (1963): Un curs de analiză modernă , ed. IV, Cambridge University Press ( ed. I , P. 150, 1915)
M. Abramowitz și I. Stegun (1964): Manual de funcții matematice , Biroul de tipărire guvernamental

Notă
^ Carlo Bernardi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metode matematice pentru fizică , p. 204 .

Carlo Bernarnidi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metode matematice de fizică , Carocci, 2014 [1993] , ISBN 978-88-430-1517-7 .

linkuri externe

FWJ Olver și R. Wong Aproximări asimptotice în Biblioteca digitală a funcțiilor matematice
Seria asimptotică în MathWorld

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57807 · LCCN (EN) sh85009056 · BNF (FR) cb11981949k (data) · NDL (EN, JA) 00.574.603

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Carlo Bernardi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metode matematice pentru fizică , p. 204 .

[1]