Tăiere (topologie)

În ramura geometriei dedicată topologiei , este obișnuit să tăiați și să lipiți câteva spații topologice pentru a crea altele noi. Această operație este utilă în special în cazul în care spațiile topologice sunt multiple . Prin urmare, este o operație frecvent utilizată în topologia diferențială și topologia cu dimensiuni reduse .

A tăia

Operația de tăiere este definită mai ales în contextul topologiei diferențiale și, prin urmare, a varietăților diferențiate .

varietate

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o varietate diferențiată e $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un submanifold diferențiat compact al acestuia , de codimensiune 1 (adică $\dim X=\dim Y+1$ ${\ displaystyle \ dim X = \ dim Y + 1}$ ${\ displaystyle \ dim X = \ dim Y + 1}$ ). Ambele soiuri pot avea margine : totuși, este necesar ca. $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este cufundat corespunzător , adică asta

\partial Y=Y\cap \partial X.

{\ displaystyle \ partial Y = Y \ cap \ partial X.}

{\ displaystyle \ partial Y = Y \ cap \ partial X.}

Prin teorema cartierului tubular , există un cartier tubular deschis $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Operația lungă de tăiere $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ consta in indepartarea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Cu alte cuvinte, spațiu $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ obținută prin tăiere $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ lung $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este spațiu

X'=X\setminus T.

{\ displaystyle X '= X \ setminus T.}

{\ displaystyle X '= X \ setminus T.}

Spaţiu $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ este o nouă varietate diferențiată cu graniță . Nu depinde de alegerea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ (deoarece cartierul tubular este unic până la o izotopie ambientală ).

Reglabilitate

Luăm în considerare cazul în care $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ nu are frontieră și, prin urmare, este în întregime cuprinsă în interiorul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ambele sunt orientabile , tubulare înconjurătoare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un produs $Y\times (-1,1)$ ${\ displaystyle Y \ times (-1,1)}$ ${\ displaystyle Y \ times (-1,1)}$ . Marginea $\partial X'$ ${\ displaystyle \ partial X '}$ ${\ displaystyle \ partial X '}$ a noului soi $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ are deci două componente mai mult decât $\partial X$ ${\ displaystyle \ partial X}$ ${\ displaystyle \ partial X}$ , ambele difeomorfe la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Prin tăierea unei benzi Mobius de -a lungul inimii, se obține un inel .

Fără aceste ipoteze de orientabilitate, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este posibil să nu fie un produs: în acest caz, „tăietura” nu separă de fapt împrejurimile $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în două piese distincte, dar într-o singură piesă și, prin urmare $\partial X'$ ${\ displaystyle \ partial X '}$ ${\ displaystyle \ partial X '}$ are o singură componentă mai mult decât $\partial X$ ${\ displaystyle \ partial X}$ ${\ displaystyle \ partial X}$ . Acesta este cazul, de exemplu, dacă inima benzii Mobius este tăiată: rezultatul este un inel , a cărui margine are 2 componente, în timp ce banda Mobius are doar una.

Exemple

Prin tăierea unei sfere de-a lungul ecuatorului, se obțin două capace (colorate aici în roșu și albastru), fiecare dintre ele fiind diferențiat de un disc.

Prin tăierea unei sfere

S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\ |\ |x|=1\}

{\ displaystyle S ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ | \ | x | = 1 \}}

{\ displaystyle S ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ | \ | x | = 1 \}}

de-a lungul ecuatorului

S^{n-1}=\{x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ |\ |x|=1,x_{0}=0\}

{\ displaystyle S ^ {n-1} = \ {x = (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ | \ | x | = 1 , x_ {0} = 0 \}}

{\ displaystyle S ^ {n-1} = \ {x = (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ | \ | x | = 1 , x_ {0} = 0 \}}

se obțin două capace sferice, fiecare dintre ele fiind diferențiat de disc

D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}.

{\ displaystyle D ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | \ leq 1 \}.}

{\ displaystyle D ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | \ leq 1 \}.}

Alte spații

Operația de tăiere în spații topologice arbitrare este definită în mod analog atunci când un sub spațiu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ a unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are o noțiune de „vecinătate tubulară” similară cu cea valabilă pentru varietăți diferențiate. De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt complexe simpliciale , această noțiune există și se numește vecinătate obișnuită .

Pastă

Definiție generală

Operația de lipire în topologie este mai generală. Se aplică în prezența oricăror două spații topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , care conține două subspatii $A\subset X$ ${\ displaystyle A \ subset X}$ ${\ displaystyle A \ subset X}$ Și $B\subset Y$ ${\ displaystyle B \ subset Y}$ ${\ displaystyle B \ subset Y}$ , legat de un homeomorfism

f:A\to B.

{\ displaystyle f: A \ to B.}

{\ displaystyle f: A \ to B.}

În acest caz, spațiul $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ obținută prin lipire $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ lung $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este spațiul coeficient

Z=X\sqcup Y/_{\sim }

{\ displaystyle Z = X \ sqcup Y / _ {\ sim}}

{\ displaystyle Z = X \ sqcup Y / _ {\ sim}}

unde este $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ este relația de echivalență pe uniunea disjunctă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ indus de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care identifică $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Mai precis,

x\sim y\Leftrightarrow x=y\ {\rm {oppure}}\ x=f(y)\ {\rm {oppure}}\ y=f(x).

{\ displaystyle x \ sim y \ Leftrightarrow x = y \ {\ rm {or}} \ x = f (y) \ {\ rm {or}} \ y = f (x).}

{\ displaystyle x \ sim y \ Leftrightarrow x = y \ {\ rm {or}} \ x = f (y) \ {\ rm {or}} \ y = f (x).}

varietate

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt două soiuri cu chenar și seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt două submanifolduri compacte (cu sau fără margine) conținute respectiv în $\partial X$ ${\ displaystyle \ partial X}$ ${\ displaystyle \ partial X}$ Și $\partial Y$ ${\ displaystyle \ partial Y}$ ${\ displaystyle \ partial Y}$ , rezultatul lipirii $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ este din nou un soi tivit. În cazul soiurilor inițiale și a hărții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ sunt diferențiabile , va fi și el $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ .

De sine $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ se obține din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ tăind de-a lungul unei suprafețe cu un înconjurător tubular produs, acesta are două componente de margine suplimentare. Prin lipirea corespunzătoare a acestor două componente de margine, se obține din nou $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Exemple

Prin lipirea a două discuri (adică două soiuri homeomorfe a $D^{n}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ $D ^ {n}$ ) obținem întotdeauna o sferă (adică o varietate homeomorfă a $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ ), indiferent de alegerea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Suma conectată este o operație între varietăți de aceeași dimensiune, care constă din două faze: în prima, bile deschise sunt îndepărtate, iar apoi cele două bile noi de margine sunt lipite.

În mărimea 3, operația lui Dehn constă în tăierea și lipirea de-a lungul taurilor. În acest caz, rezultatul depinde de alegerea funcției de lipire, dar este suficient să se stabilească un număr rațional pentru a determina varietatea rezultată.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică