Tangentă (geometrie)

Două linii tangente la un cerc.

Linia tangentă ia pe diferite semnificații în geometria analitică .

Cuvântul tangent provine de la verbul latin tangere , adică atingere. Ideea intuitivă a unei linii tangente la o curbă este aceea a unei linii care „atinge” curba fără a o „tăia” sau „asigura” (imaginându-și curba ca și cum ar fi un obiect fizic nepenetrabil). O linie care traversează curba „tăind-o” se numește în schimb secantă .

Mai mult, având în vedere o secantă care trece prin două puncte distincte P și Q ale unei curbe, tangenta din P poate fi considerată drept linia spre care tinde secanta (posibil) atunci când punctul Q se apropie de P de-a lungul curbei.

Avem un alt mod de a privi conceptul de tangență gândindu-ne că tangenta la un punct P la o curbă γ este linia care aproxima cel mai bine γ în jurul lui P.

Chiar și din aceste definiții informale ne dăm seama că pot exista cazuri în care linia tangentă nu este definită. De exemplu, dacă curba constă din perimetrul unui triunghi și P este un vârf, niciuna dintre cele două definiții de mai sus nu corespunde în mod unic unei linii prin P.

În contextul geometriei sintetice putem da definiții riguroase alternative ale unei linii drepte tangente la curbe specifice care funcționează numai pentru astfel de curbe. De exemplu, tangenta la un cerc cu centrul O și raza r la unul dintre punctele sale P poate fi definită ca linia dreaptă care trece prin P și care are distanța r de O, sau ca singura dreaptă a planului care are doar punctul P .

Într-o geometrie multidimensională, se poate defini planul tangent la o suprafață într-un mod similar și, generalizând, spațiul tangent .

Pentru a defini tangenta în cazul unei curbe generice, sunt utilizate în general instrumentele de calcul infinitesimal .

Calcul infinitesimal

Tangenta lui f în c.

Tangenta este poziția limită a liniilor secante pe măsură ce al doilea punct de intersecție se apropie de prima.

Presupunând o curbă este graficul unei funcții $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , și că ne interesează punctul său (x ₀ , y ₀ ), unde y ₀ = f (x ₀ ), vom spune că curba are o tangentă non-verticală la punctul (x ₀ , y ₀ ) dacă și numai dacă funcția este derivabilă la x _0. În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei este dat de f '(x ₀ ). Există o tangentă verticală dacă și numai dacă curba atinge înălțimea infinitului plus sau minus.

Ecuația tangentei la curbă în punctul (x ₀ , y ₀ ) este dată de formula:

(y-y_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})

{\ displaystyle (y-y_ {0}) = f '(x_ {0}) (x-x_ {0})}

(y-y_ {0}) = f '(x_ {0}) (x-x_ {0})

.

Aceeași formulă poate fi scrisă în notația următoare, unde variabila m reprezintă coeficientul unghiular al funcției.

(y-y_{0})=m(x-x_{0})

{\ displaystyle (y-y_ {0}) = m (x-x_ {0})}

(y-y_ {0}) = m (x-x_ {0})

.

Dacă tangenta atinge curba într-un punct și a doua derivată a funcției în punct este zero, în timp ce a treia derivată nu este, tangenta este o tangentă de inflexiune , adică o tangentă la un punct de inflexiune al funcției. În acest caz există o vecinătate finită a punctului tangent în care curba traversează tangenta și rămâne pe cele două laturi opuse ale acesteia. Acest lucru se întâmplă și atunci când toate derivatele sunt zero până la o derivată impară diferită de zero.