Tangent (matematică)

Figura 1. Dat fiind un triunghi dreptunghiular , tangenta unui unghi este definită ca raportul dintre sinus și cosinusul aceluiași unghi

În matematică , în special în trigonometrie , tangenta este o funcție trigonometrică definită ca proiecție pe axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a punctului de întâlnire dintre extensia celei de-a doua laturi a unghiului orientat și linia dreaptă care atinge circumferința goniometrică în punctul $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ ; foarte des este definit și ca raportul dintre sinus și cosinusul aceluiași unghi. În mod convențional, această funcție este indicată ca bronz (mai rar tg ) ^[1] .

Proprietate

Figura 2. Funcții trigonometrice pe circumferința goniometrică

Dacă ne uităm la figura 2, vedem că triunghiurile OAB și TOC sunt similare , deci:

{\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}};\quad \quad {\frac {\tan x}{1}}={\frac {DC}{OC}}

{\ displaystyle {\ frac {AB} {OA}} = {\ frac {DC} {OC}}; \ quad \ quad {\ frac {\ tan x} {1}} = {\ frac {DC} {OC }}}

{\ displaystyle {\ frac {AB} {OA}} = {\ frac {DC} {OC}}; \ quad \ quad {\ frac {\ tan x} {1}} = {\ frac {DC} {OC }}}

expresie care justifică grafic definiția trigonometrică a tangentei ^[2] .

\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}.

{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}}.}

{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}}.}

Tangenta este o funcție periodică cu o perioadă egală cu $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radiani care este ^[3] :

\tan x=\tan(x+k\pi ),\quad k\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle \ tan x = \ tan (x + k \ pi), \ quad k \ in \ mathbb {Z}}

\ tan x = \ tan (x + k \ pi), \ quad k \ in \ mathbb {Z}

.

Prima derivată a tangentei este ^[4] :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x,

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ tan x = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2 } x = \ sec ^ {2} x,}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ tan x = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2 } x = \ sec ^ {2} x,}

în timp ce funcția sa primitivă este:

\int \tan {x}\,\mathrm {d} x=-\ln {\left|\cos {x}\right|+c}.

{\ displaystyle \ int \ tan {x} \, \ mathrm {d} x = - \ ln {\ left | \ cos {x} \ right | + c}.}

{\ displaystyle \ int \ tan {x} \, \ mathrm {d} x = - \ ln {\ left | \ cos {x} \ right | + c}.}

Dezvoltarea de către Taylor a funcției tangente arestate la ordinul al șaptelea este:

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+o(x^{8}).

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + sau (x ^ {8}).}

\ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + sau (x ^ {8}).

Tangenta este o funcție ciudată , adică ^[5] :

\tan(-x)=-\tan x,

{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x,}

{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x,}

iar funcția sa inversă se numește arctangentă ^[6] .

Reciprocitatea tangentei se numește cotangentă ^[7] : $\cot x={\frac {1}{\tan x}}.$ ${\ displaystyle \ cot x = {\ frac {1} {\ tan x}}.}$ $\ cot x = {\ frac 1 {\ tan x}}.$

Figura 3. Tangentoidul

Următorul tabel listează principalele valori notabile asumate de funcția tangentă:

$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în radiani	0	${\frac {\pi }{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}$ ${\ frac {\ pi} {6}}$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ frac {\ pi} {4}}$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ frac {\ pi} {3}}$	${\frac {5\pi }{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {12}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}$ ${\ frac {3 \ pi} {2}}$	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$
$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în grade	0 °	15 °	30 °	45 °	60 °	75 °	90 °	180 °	270 °	360 °
$\tan(\alpha )$ ${\ displaystyle \ tan (\ alpha)}$ $\ tan (\ alfa)$	0	$2-{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}}$ ${\ frac {{\ sqrt 3}} 3}$	1	${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt 3}$	$2+{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$	$\nexists$ ${\ displaystyle \ nexists}$ $\ nexists$	0	$\nexists$ ${\ displaystyle \ nexists}$ $\ nexists$	0

Functia $\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ nu există în unghiuri de valoare ^[8] ${\frac {\pi }{2}}+k\pi ,$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi,}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi,}$ cu $k\in \mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z},}$ și este continuu în domeniul său.

Geometrie analitică

Amintind că coeficientul unghiular al unei linii drepte care trece prin două puncte coordonate $P=(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$ $P = (x_ {0}, y_ {0})$ Și $Q=(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle Q = (x_ {1}, y_ {1})}$ $Q = (x_ {1}, y_ {1})$ este exact ${\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}$ ${\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}$ ^[9] , avem că acest raport este echivalent cu cel dintre sinus și cosinus al unghiului dintre linie și axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; obținem astfel relația:

\tan \alpha =m={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y}{x}}.

{\ displaystyle \ tan \ alpha = m = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} = {\ frac {y} {x}}.}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = m = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} = {\ frac {y} {x}}.}

Analiza matematică

Amintind că derivata unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ intr-un loc $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este valoarea coeficientului unghiular al liniei tangente la curbă în punct, este posibil să se afirme că această derivată este egală cu tangenta trigonometrică a unghiului pe care linia tangentă la funcție o formează cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ : ^[10]

f'(x_{0})=m=\tan \alpha .

{\ displaystyle f '(x_ {0}) = m = \ tan \ alpha.}

{\ displaystyle f '(x_ {0}) = m = \ tan \ alpha.}

Sinus și cosinus

Pentru a obține valorile sinusului și cosinusului lui $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ cunoscând tangenta putem face un raționament simplu. Mai întâi ne gândim $\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ ca raport între ordonată și abscisa unui punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe circumferința centrată la origine $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a axelor ( raza este irelevantă deoarece valoarea tangentei este determinată în mod unic). Putem considera aceste abscise și ordonate ca laturile triunghiului dreptunghiular care are raza $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ ca o hipotenuză . Din acest punct de vedere sânul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este raportul ordonatei de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar hipotenuza $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ , în timp ce cosinusul lui $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este raportul dintre abscisa lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar hipotenuza $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ .

Aplicând teorema lui Pitagora putem spune, dat

\tan \alpha ={\frac {a}{b}},

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {a} {b}},}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {a} {b}},}

acea:

\sin \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}},}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}},}

\cos \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

{\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Aplicații

Într-un triunghi dreptunghiular, tangenta unui unghi acut este raportul dintre partea opusă unghiului acut considerat și cealaltă parte ^[11] .

Originea numelui

Numele derivă din faptul că poate fi definit ca lungimea unui segment al tangentei (în sens geometric) la circumferința goniometrică . De fapt, având în vedere o circumferință goniometrică (de rază unitară), tangenta unui unghi α este ordonata punctului de intersecție dintre partea a doua (sau extensia sa) a unghiului în poziție normală (vârful unghiului coincide cu originea axelor carteziene și a primei laturi coincid cu semiaxa pozitivă a absciselor) și linia tangentă la circumferință la punctul de coordonate (1,0).

Notă

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.168
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.169
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.179
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.V18
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.180
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.187
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.179
^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corci Editori, 1995, ISBN 88-801-3173-7 . p. 233
^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 206
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.376

Bibliografie

Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
În Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi Editori, 1995, ISBN 88-801-3173-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ tangentă) ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de mită)

linkuri externe

Math.it: tangenta în goniometrie , pe math.it. Adus la 29 noiembrie 2007 (arhivat din original la 15 noiembrie 2007) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.168

[2] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.169

[3] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.179

[4] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.V18

[5] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.180

[6] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.187

[7] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182

[8] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.179

[9] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corci Editori, 1995, ISBN 88-801-3173-7 . p. 233

[10] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 206

[11] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.376

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice