Rata de crestere

Tendința unei variabile date $X\;$ ${\ displaystyle X \;}$ ${\ displaystyle X \;}$ în timp poate fi exprimat prin intermediul unui număr index , dat de raportul dintre valoare și timp $t\;$ ${\ displaystyle t \;}$ $t \;$ și asta în acel moment $t-1\;$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ , ${\frac {X_{t}}{X_{t-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}}}$ , sau prin rata de creștere , dată de raportul dintre creșterea de $X\;$ ${\ displaystyle X \;}$ ${\ displaystyle X \;}$ din timp $t-1\;$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ la momentul $t\;$ ${\ displaystyle t \;}$ $t \;$ și valoarea sa la momentul respectiv $t-1\;$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ ${\ displaystyle t-1 \;}$ :

g_{t}={\frac {\Delta X_{t}}{X_{t-1}}}={\frac {X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}}={\frac {X_{t}}{X_{t-1}}}-1

{\ displaystyle g_ {t} = {\ frac {\ Delta X_ {t}} {X_ {t-1}}} = {\ frac {X_ {t} -X_ {t-1}} {X_ {t- 1}}} = {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}} - 1}

{\ displaystyle g_ {t} = {\ frac {\ Delta X_ {t}} {X_ {t-1}}} = {\ frac {X_ {t} -X_ {t-1}} {X_ {t- 1}}} = {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}} - 1}

De exemplu, PIB-ul real al Italiei (anul de referință 2000) a trecut de la 1.232.773 milioane EUR în 2005 la 1.255.848 milioane EUR în 2006, ^[1] cu o rată de creștere de 0,0187 (1, 87%):

{\frac {1255848-1232773}{1232773}}={\frac {23075}{1232773}}=0.0187

{\ displaystyle {\ frac {1255848-1232773} {1232773}} = {\ frac {23075} {1232773}} = 0,0187}

{\ displaystyle {\ frac {1255848-1232773} {1232773}} = {\ frac {23075} {1232773}} = 0,0187}

Numărul index este în schimb (cu excepția cazului în înmulțirea obișnuită cu 100):

{\frac {1255848}{1232773}}=1.0187

{\ displaystyle {\ frac {1255848} {1232773}} = 1.0187}

{\ displaystyle {\ frac {1255848} {1232773}} = 1.0187}

Rata de creștere a unui produs de variabile

Dacă variabila care ne interesează este produsul altor două variabile, rata sa de creștere este aproximativ egală cu suma ratelor de creștere ale celor doi factori.

De exemplu, valoarea $V\;$ ${\ displaystyle V \;}$ $V \;$ a unui bun este dat de produsul din prețul unitar $P\;$ ${\ displaystyle P \;}$ $P \;$ pentru cantitate $Q\;$ ${\ displaystyle Q \;}$ ${\ displaystyle Q \;}$ și avem:

{\frac {\Delta V_{t}}{V_{t-1}}}\approx {\frac {\Delta P_{t}}{P_{t-1}}}+{\frac {\Delta Q_{t}}{Q_{t-1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V_ {t}} {V_ {t-1}}} \ approx {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} + {\ frac { \ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V_ {t}} {V_ {t-1}}} \ approx {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} + {\ frac { \ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}}}

Intr-adevar:

{\begin{aligned}V_{t}&=P_{t}Q_{t}=(P_{t-1}+\Delta P_{t})(Q_{t-1}+\Delta Q_{t})=\\&=P_{t-1}Q_{t-1}+P_{t-1}\Delta Q_{t}+\Delta P_{t}Q_{t-1}+\Delta P_{t}\Delta Q_{t}=\\&=V_{t-1}+P_{t-1}\Delta Q_{t}+\Delta P_{t}Q_{t-1}+\Delta P_{t}\Delta Q_{t}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {t} & = P_ {t} Q_ {t} = (P_ {t-1} + \ Delta P_ {t}) (Q_ {t-1} + \ Delta Q_ {t}) = \\ & = P_ {t-1} Q_ {t-1} + P_ {t-1} \ Delta Q_ {t} + \ Delta P_ {t} Q_ {t-1} + \ Delta P_ {t} \ Delta Q_ {t} = \\ & = V_ {t-1} + P_ {t-1} \ Delta Q_ {t} + \ Delta P_ {t} Q_ {t-1} + \ Delta P_ {t} \ Delta Q_ {t} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {t} & = P_ {t} Q_ {t} = (P_ {t-1} + \ Delta P_ {t}) (Q_ {t-1} + \ Delta Q_ {t}) = \\ & = P_ {t-1} Q_ {t-1} + P_ {t-1} \ Delta Q_ {t} + \ Delta P_ {t} Q_ {t-1} + \ Delta P_ {t} \ Delta Q_ {t} = \\ & = V_ {t-1} + P_ {t-1} \ Delta Q_ {t} + \ Delta P_ {t} Q_ {t-1} + \ Delta P_ {t} \ Delta Q_ {t} \ end {align}}}

de la care:

{\begin{aligned}{\frac {V_{t}-V_{t-1}}{V_{t-1}}}&={\frac {P_{t-1}\Delta Q_{t}}{P_{t-1}Q_{t-1}}}+{\frac {\Delta P_{t}Q_{t-1}}{P_{t-1}Q_{t-1}}}+{\frac {\Delta P_{t}}{P_{t-1}}}\cdot {\frac {\Delta Q_{t}}{Q_{t-1}}}\\&\approx {\frac {\Delta Q_{t}}{Q_{t-1}}}+{\frac {\Delta P_{t}}{P_{t-1}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {V_ {t} -V_ {t-1}} {V_ {t-1}}} & = {\ frac {P_ {t-1} \ Delta Q_ { t}} {P_ {t-1} Q_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta P_ {t} Q_ {t-1}} {P_ {t-1} Q_ {t-1}} } + {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {\ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}} \\ & \ approx { \ frac {\ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {V_ {t} -V_ {t-1}} {V_ {t-1}}} & = {\ frac {P_ {t-1} \ Delta Q_ { t}} {P_ {t-1} Q_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta P_ {t} Q_ {t-1}} {P_ {t-1} Q_ {t-1}} } + {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {\ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}} \\ & \ approx { \ frac {\ Delta Q_ {t}} {Q_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta P_ {t}} {P_ {t-1}}} \ end {align}}}

deoarece, de obicei, produsul a două rate de creștere semnificativ mai mici de 1 este foarte mic.

Rata de creștere a unei sume de două variabile

Dacă variabila dobânzii este suma altor două variabile, rata de creștere a acesteia este egală cu suma ratelor de creștere ale celor două addende, ponderate cu acțiunile lor respective în perioada inițială.

De exemplu, forța de muncă totală $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în Italia, din primul trimestru al anului 2011 până în primul trimestru al anului 2012, acesta a crescut de la 24.402 la 24.931 mii unități, cu o rată de creștere de 0,022 (2,2%). Creșterea a fost determinată de creșterea simultană a ocupării forței de muncă $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ (de la 22.846 la 23.170 mii unități) și persoanele care caută un loc de muncă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ (de la 1.556 la 1.761 mii unități). ^{[2] Avem} :

{\begin{aligned}{\frac {\Delta F_{t}}{F_{t-1}}}&={\frac {\Delta (O_{t}+D_{t})}{O_{t-1}+D_{t-1}}}={\frac {\Delta O_{t}}{O_{t-1}+D_{t-1}}}+{\frac {\Delta D_{t}}{O_{t-1}+D_{t-1}}}=\\&={\frac {\Delta O_{t}}{O_{t-1}}}\cdot {\frac {O_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}}+{\frac {\Delta D_{t}}{D_{t-1}}}\cdot {\frac {D_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}}=\\&=\alpha {\frac {\Delta O_{t}}{O_{t-1}}}+(1-\alpha ){\frac {\Delta D_{t}}{D_{t-1}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta F_ {t}} {F_ {t-1}}} & = {\ frac {\ Delta (O_ {t} + D_ {t})} { O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta D_ {t}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = \\ & = {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {O_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {D_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = \\ & = \ alpha {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1} }} + (1- \ alpha) {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta F_ {t}} {F_ {t-1}}} & = {\ frac {\ Delta (O_ {t} + D_ {t})} { O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta D_ {t}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = \\ & = {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {O_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} + {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} \ cdot {\ frac {D_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = \\ & = \ alpha {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1} }} + (1- \ alpha) {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} \ end {align}}}

unde cele două addende se numesc contribuții la creșterea $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de, respectiv, de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ .

În exemplul luat în considerare avem:

$\alpha ={\frac {O_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}}={\frac {22846}{22846+1556}}=0.9632$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {O_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = {\ frac {22846} {22846 + 1556}} = 0.9632}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {O_ {t-1}} {O_ {t-1} + D_ {t-1}}} = {\ frac {22846} {22846 + 1556}} = 0.9632}$
${\frac {\Delta O_{t}}{O_{t-1}}}={\frac {23170-22846}{22846}}=0.0142$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1}}} = {\ frac {23170-22846} {22846}} = 0,0142}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta O_ {t}} {O_ {t-1}}} = {\ frac {23170-22846} {22846}} = 0,0142}$
$1-\alpha =1-0.9632=0.0638$ ${\ displaystyle 1- \ alpha = 1-0.9632 = 0.0638}$ ${\ displaystyle 1- \ alpha = 1-0.9632 = 0.0638}$
${\frac {\Delta D_{t}}{D_{t-1}}}={\frac {1761-1556}{1556}}=0.1317$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} = {\ frac {1761-1556} {1556}} = 0.1317}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta D_ {t}} {D_ {t-1}}} = {\ frac {1761-1556} {1556}} = 0.1317}$
${\frac {\Delta F_{t}}{F_{t-1}}}=0.9632\cdot 0.0142+0.0638\cdot 0.1317=0.022$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta F_ {t}} {F_ {t-1}}} = 0.9632 \ cdot 0.0142 + 0.0638 \ cdot 0.1317 = 0.022}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta F_ {t}} {F_ {t-1}}} = 0.9632 \ cdot 0.0142 + 0.0638 \ cdot 0.1317 = 0.022}$

Rata medie de creștere

Dacă știți ratele de creștere ale unei variabile $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe mai multe perioade, se poate calcula rata medie de creștere de la perioada inițială la cea finală.

În acest scop, considerăm că numărul indexului din când în când $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este produsul numerelor indexului rulant din fiecare perioadă:

I_{0,t}={\frac {X_{1}}{X_{0}}}\cdot {\frac {X_{2}}{X_{1}}}\cdot {\frac {X_{3}}{X_{2}}}\dots {\frac {X_{t}}{X_{t-1}}}

{\ displaystyle I_ {0, t} = {\ frac {X_ {1}} {X_ {0}}} \ cdot {\ frac {X_ {2}} {X_ {1}}} \ cdot {\ frac { X_ {3}} {X_ {2}}} \ dots {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}}

{\ displaystyle I_ {0, t} = {\ frac {X_ {1}} {X_ {0}}} \ cdot {\ frac {X_ {2}} {X_ {1}}} \ cdot {\ frac { X_ {3}} {X_ {2}}} \ dots {\ frac {X_ {t}} {X_ {t-1}}}

Numărul indicelui mediu mobil este media geometrică a celor cunoscute. Pentru a obține rata medie de creștere, trebuie doar să scădem $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

De exemplu, PIB-ul real italian a înregistrat următoarea tendință:

	2002	2003	2004	2005	2006
PIB	1.216.588	1.217.040	1.231.689	1.232.773	1.255.848
Numere index indexate pe mobil		1.0004	1,0120	1.0009	1,0187

Numărul mediu al indicelui de rulare este: ${\sqrt[{4}]{1.0004\cdot 1.0120\cdot 1.0009\cdot 1.0187}}=1.0080$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {1.0004 \ cdot 1.0120 \ cdot 1.0009 \ cdot 1.0187}} = 1.0080}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {1.0004 \ cdot 1.0120 \ cdot 1.0009 \ cdot 1.0187}} = 1.0080}$ , pentru o rată medie anuală de creștere de 0,0080 (0,8%).

De fapt, începând cu valoarea din 2002, obținem: $1216588(1+0.0080)^{4}=1255848$ ${\ displaystyle 1216588 (1 + 0,0080) ^ {4} = 1255848}$ ${\ displaystyle 1216588 (1 + 0,0080) ^ {4} = 1255848}$ .

Dacă, pe de altă parte, erau cunoscute doar valorile inițiale și finale:

1+i={\sqrt[{2006-2002}]{\frac {1255848}{1216588}}}={\sqrt[{4}]{1.03227}}=1.0080

{\ displaystyle 1 + i = {\ sqrt [{2006-2002}] {\ frac {1255848} {1216588}}} = {\ sqrt [{4}] {1.03227}} = 1.0080}

{\ displaystyle 1 + i = {\ sqrt [{2006-2002}] {\ frac {1255848} {1216588}}} = {\ sqrt [{4}] {1.03227}} = 1.0080}

deci i = 0,0080.

Rata de creștere instantanee

Până în prezent, am descris rata de creștere discretă , utilă atunci când aveți serii cronologice $\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{t-1},X_{t},X_{t+1},\ldots ,X_{T}\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {t-1}, X_ {t}, X_ {t + 1}, \ ldots, X_ {T} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {t-1}, X_ {t}, X_ {t + 1}, \ ldots, X_ {T} \}}$ . Dacă, pe de altă parte, se dorește modelarea creșterii continue a unei variabile teoretice, poate fi util să se facă referire la rata de creștere instantanee , reprezentată de limita raportului incremental atunci când intervalul de timp tinde la zero:

g={\frac {\dot {X}}{X}}

{\ displaystyle g = {\ frac {\ dot {X}} {X}}}

{\ displaystyle g = {\ frac {\ dot {X}} {X}}}

unde este

{\dot {X}}={\mathop {\lim _{h\to 0}} {{X\left({t+h}\right)-X\left(t\right)} \over h}}

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{X \ left ({t + h} \ right) -X \ left (t \ right)} \ peste h}}}

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{X \ left ({t + h} \ right) -X \ left (t \ right)} \ peste h}}}

Această formalizare permite utilizarea instrumentelor de calcul pentru a descrie evoluția variabilei în timp continuu.

Rata de creștere anuală compusă

Rata de creștere anuală compusă (CAGR) este generalizarea ratei medii de creștere exponențială pe un orizont de timp de doi sau mai mulți ani. Indică o rată de creștere anuală constantă în perioada de timp luată ca referință, diminuând efectul volatilității randamentelor periodice individuale, care poate fi de o natură încât să facă rata medie a randamentului nesemnificativă. ^[3] ^[4]
CAGR este definit după cum urmează:

\mathrm {CAGR} (t_{0},t_{n})=\left({\frac {V(t_{n})}{V(t_{0})}}\right)^{\frac {1}{t_{n}-t_{0}}}-1

{\ displaystyle \ mathrm {CAGR} (t_ {0}, t_ {n}) = \ left ({\ frac {V (t_ {n})} {V (t_ {0})}} \ right) ^ { \ frac {1} {t_ {n} -t_ {0}}} - 1}

{\ displaystyle \ mathrm {CAGR} (t_ {0}, t_ {n}) = \ left ({\ frac {V (t_ {n})} {V (t_ {0})}} \ right) ^ { \ frac {1} {t_ {n} -t_ {0}}} - 1}

unde este $V(t_{0})$ ${\ displaystyle V (t_ {0})}$ ${\ displaystyle V (t_ {0})}$ este valoarea inițială, $V(t_{n})$ ${\ displaystyle V (t_ {n})}$ ${\ displaystyle V (t_ {n})}$ este valoarea finală și $t_{n}-t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {n} -t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {n} -t_ {0}}$ este numărul de ani luați în considerare.
CAGR nu este o cantitate contabilă, ci este utilizată mai degrabă pentru a descrie tendința temporală a veniturilor, numărul de unități de produse livrate, numărul de utilizatori înregistrați, de asemenea, pentru a compara companiile care operează în același sector. ^[5]