Temperatura Planck

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Temperatura Planck
Informații generale
Sistem P.
mărimea temperatura
Simbol T P
Eponim Max Planck
Conversii
1 T P în ... ...echivalentă cu...
Unitatea SI1,41679 × 10 32 K

Temperatura Planck este unitatea de măsură Planck care reprezintă unitatea naturală de măsură a temperaturii , de obicei notată cu T P.

La fel ca multe dintre unitățile de măsură ale lui Planck, aceasta constituie o limită insuperabilă: cea mai înaltă temperatură permisă de mecanica cuantică . Se crede că este temperatura la care se evaporă o gaură neagră și temperatura inițială a Big Bang-ului , conform modelului standard de cosmologie .

Definiție

Temperatura Planck este definită ca cea corespunzătoare masei Planck (până la constante):

= 1,41679 × 10 32 K

unde este:

Se poate deduce din legile mecanicii clasice pornind de la faptul că un oscilator armonic ideal (fără disipare) în echilibru termic cu un gaz ideal la o temperatură închis într-o cutie cu pereți perfect reflectanți și fără frecare are o energie totală de mișcare (energie cinetică + energie potențială) egală cu :

Această afirmație este adevărată și poate fi dovedită de legile mecanicii clasice (a fost dovedită pentru prima dată de Boltzmann ) și a fost ulterior confirmată de mecanica cuantică. [1]

Punerea acestei energii egală cu masa lui Planck pentru îl primești pentru temperatura dorită:

Pentru un oscilator armonic în echilibru termic care schimbă fotonii de frecvență există probabilitatea ca o gaură neagră să fie generată de fiecare dată când se schimbă o cuantică de energie iar o frecvență mai mare ar încălca relativitatea generală a lui Einstein (vezi lungimea lui Planck ). De aceea temperatura Planck este o limită superioară.

În teorie, ar fi posibil să se încălzească un corp la temperatura lui Planck și, în consecință, ar emite radiația corpului său negru , dar în acest caz rezultatele prezise de distribuția spectrală a corpului negru (în special din corolari ca Legea lui Wien ) sugerează că la temperatura lui Planck este necesar să se recurgă la o analiză mai scrupuloasă și ceva mai profund.

Pentru a fi conștienți de acest lucru, luați în considerare, în primul rând, o cutie perfect închisă, cu pereți perfect reflectanți în care există o grămadă de oscilatoare în echilibru termic la temperatura calculată cu formula anterioară și calculați energia medie pentru frecvența unghiulară a lui Planck . După cum se știe, formula pentru energia medie pentru frecvență este dat de [1] :

Observați că temperatura Planck obținută anterior este strâns legată de din raport:

Odată ce s-au făcut substituțiile adecvate, obținem că:

Numărul mediu de fotoni pentru mod este dat de:

Care sunt relativ puține. În mod logic, s-ar putea crede că fiind extrem de energici, puțini sunt suficienți pentru a menține echilibrul termic, dar ar trebui, de asemenea, să se țină cont de faptul că la niveluri de energie similare oscilatoarele armonice nu sunt cu siguranță atomi unici: materia ar trebui dezmembrată în unitățile fundamentale existente la scara Planck , pentru care încă nu există modele adecvate.

În al doilea rând, observați că un corp negru în echilibru termic la temperatura lui Planck ar trebui să-și radieze energia în principal la următoarea lungime de undă (modul de distribuție obținut prin aplicarea legii lui Wien ):

Și la frecvență:

Aceste valori sunt apropiate de unitățile lui Planck, dar evident distante. Pare ciudat faptul că maximul de emisie nu apare la frecvența unghiulară Planck (sau la lungimea Planck, dacă preferați). Trebuie avut în vedere, de fapt, că doar o frecvență specifică corespunde unei anumite temperaturi de echilibru și dacă temperatura Planck, lungimea Planck și frecvența unghiulară Planck sunt limite insuperabile, Legea lui Wien, care este derivata corpului negru spectral de distribuție ar trebui să le unească.

Mai mult, funcția de distribuție spectrală este pozitivă și continuă chiar și pentru frecvențe mai mari decât cele ale lui Planck. Această din urmă posibilitate este interzisă de relativitatea generală a lui Einstein. Astfel de fotoni nu se pot manifesta fizic, dar distribuția le atribuie o probabilitate de zero de a exista.

În cele ce urmează vom încerca să oferim un răspuns la întrebările de mai sus, chiar dacă se înțelege că pentru a fi exhaustiv ar fi necesar să existe o teorie care să explice în mod coerent fenomenele care apar la scara Planck .

Deoarece relativitatea generală interzice existența fotonilor cu o frecvență mai mare de , să presupunem că nu există, de aceea este rezonabil să ne gândim că fiecare frecvență posibilă din punct de vedere fizic este un adevărat submultiplu al frecvenței Planck . Pe scurt, fiecare frecvență va fi asumată este egal cu cu:

evident:

Distribuția spectrală a corpului negru la temperatura Planck este dată de formula:

Reprezintă intensitatea radiației emise în gama de frecvențe .

Considerat , faptul că și faptul că:

vă permite să rescrieți formula după cum urmează:

după plasare:

Primii doi termeni sunt constanți, prin urmare, ne putem concentra pe funcția in care este în al treilea termen, neglijând . Calculați prima derivată și studiați semnul pentru :

În numitorul dispare, dar într-un vecinătate dreaptă de zero rămâne pozitiv. Mai mult, singularitatea primei derivate poate fi eliminată, de fapt, prin alegerea a nu zero într-un vecinătate dreaptă de zero avem:

Prin aplicarea regulii de l'Hôpital la prima fracțiune, ea converge la zero, iar a doua suferă o soartă similară. De fapt, aplicând aceeași regulă, avem:

Reaplicarea acestuia duce la:

care converge și la zero.

Extinderea prin continuitate în și considerat semnul factorilor implicați, pentru a găsi soluția inegalității menționate mai sus este suficient să studiem semnul numărătorului care, împărțit la iar pentru 3, întotdeauna pozitiv, se reduce la studierea inegalității:

Din simple observații geometrice este posibil să observăm că linia:

curba este secantă , deoarece coeficientul său unghiular (-1/3) este diferit de cel al ad tangentei în sens (-1). Se intersectează axa absciselor pentru , unde este merita . Prin urmare, în acest moment, este deasupra liniei. Dar pentru taxa este de 2/3 ed valorează 1 / e. Atâta timp cât:

Linia este deasupra și așa rămâne până

În concluzie: distribuția spectrală a corpului negru crește mereu pentru (condiția necesară existenței fizice a fotonilor implicați), prin urmare, Legea lui Wien nu este valabilă și se atinge emisia maximă pentru , adică la frecvența unghiulară a lui Planck (și, prin urmare, la lungimea lui Planck). Condiția care unifică distribuția spectrală a corpului negru cu frecvența și lungimea Planck este deci restabilită: un corp negru ipotetic la temperatura Planck atinge maximul de emisie la frecvența Planck .

În acest moment devine logic să ne întrebăm la ce temperaturi se întoarce Legea lui Wien și admisibilitatea fotonilor și vom începe prin a observa că temperatura Planck este extremă în același mod ca frecvența unghiulară a lui Planck și lungimea lui Planck. Prin urmare, este logic să ne gândim că fiecare temperatură T este un submultiplu real al temperaturii Planck, prin urmare:

cu

Rescriind în mod adecvat distribuția spectrală a corpului negru pentru a ține seama de variabilitatea temperaturii, obținem că:

Derivând pentru tot în acest caz și studiind semnul ajungem la următoarea inegalitate:

Pentru care considerații similare celor făcute mai sus sunt valabile, dar interceptarea axei abscisei are loc acum pentru iar acest punct tinde la 1 când tinde 1/3 din dreapta.

Observați că, pentru condițiile stabilite anterior, un foton pentru a fi „admisibil” și, prin urmare, pentru a nu încălca relativitatea generală , trebuie să respecte condiția: , cu și starea:

tocmai ceea ce, într-un anumit sens, interzice existența fotonilor „inadmisibili” și face ca Legea Wien să rămână valabilă (presupunând că ), înțelegându-se că distribuția spectrală atribuie în continuare, unor astfel de fotoni, posibilitatea de a exista! Dar ce concluzii se pot trage când depășește valoarea de mai sus? Punctul de intersecție va tinde să se apropie de 3 din stânga și vor apărea fotoni „inadmisibili” (pentru care ). Legea lui Wien, la un moment dat, va începe să-și exprime maximul înainte pentru , apoi se va muta în regiunea inadmisibilității fotonilor ( ). Între timp, temperatura Planck este atinsă, dar emisia maximă observabilă în tot acest proces de creștere a temperaturii va rămâne întotdeauna la frecvența Planck, ca și cum energia introdusă în continuare ar fi „aspirată” (rețineți că valoarea maximă a emisiilor, derivată din Legea Wien , se ajunge în regiunea „inadmisibilității”, unde ). Trebuie subliniat că tot acest proces are loc în condiții în care relativitatea generală este în contrast cu mecanica cuantică , cu excepția cazului în care intervine un mecanism al naturii care împiedică un foton să se comporte într-un mod atât de absurd sau că cele două teorii din examinare sunt doar aproximări a ceva mai profund (ceea ce este mai probabil).

Acest lucru sugerează un fapt care, în principiu, ar putea depăși problema: energia suplimentară introdusă adaugă, de asemenea, o masă suplimentară într-un spațiu limitat, ipotetic, (corpul negru încălzit) și aceasta se transformă într-o spumă care clocotește de "mini găuri negre", unde numai gravitația cuantică poate da răspunsuri. Poate că fenomene precum cele descrise mai sus se produc în nucleele stelelor care se prăbușesc gravitațional și se transformă în găuri negre.

Cu toate acestea, este bine să subliniem că cele de mai sus reprezintă doar o „împingere la limită”, o formulă pentru a evidenția „lucrurile care nu funcționează” și a încerca să înțeleagă semințele unei teorii mai profunde. După cum se poate observa, există unele lucruri care „nu funcționează”, pe de altă parte, s-a presupus în calcule că spațiul continuă să fie un „continuu imuabil”, în realitate, adăugarea de energie afectează câmpul gravitațional și, prin urmare, și asupra spațiului și acesta este unul dintre principalele puncte de dezacord între mecanica cuantică și relativitate.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că formula de temperatură a lui Planck este analogă (minus un factor ) la cea a radiației Hawking provenind dintr-o gaură neagră Schwarzschild cu o masă egală cu masa Planck (care va fi definită „ gaura neagră Planck ”). Acest lucru ar întări ipoteza că este temperatura „fulgerului final” al unei găuri negre imediat înainte ca aceasta să fie consumată definitiv de procesul cuantic de evaporare și, poate, de temperatura inițială a Big Bang-ului .

Mai mult, potrivit lui Hawking , o gaură neagră Planck s-ar evapora într-un timp egal cu:

acest lucru ar consolida și mai mult ipoteza „clocotirii” mini găurilor negre în structura spațiului la scara Planck .

Notă

  1. ^ a b Fizica lui Feynman , Vol. I, par. 42-5: Legile radiației lui Einstein (vezi Bibliografia ).

Bibliografie

Elemente conexe